1、1专题 6.1 变力做功【题型概览】在变力做功中，变力可以是大小的变化、方向的变化也可以是二者同时发生了变化；涉及的问题可以变力做功正负的判定、变力在不同阶段做功的比较也可以是变力做功的定量计算；涉及的方法可以由功的式、动能定理、功能原理、能量守恒，可以是图像、功率等【题型通解】1.变力做功情况的的判定(1)可利用功能关系来判定：力对物体做正功时物体的能量增加，力对物体做负功时物体的能量减少有对应形式的势能的变力（弹簧弹力、点电荷间静电力等）做功时，对应形式的势能增大时该力做负功，否则变力做正功例 1.如图所示，一根质量可以忽略不计的刚性轻杆，一端为固定转轴，杆可在竖直平面内无摩擦的转动，杆的
2、中心点及另一端各固定一个小球和。已知两球质量相同，现用外力使杆静止在水平方向，然后撤去外力，杆将摆下，从开始运动到杆处于竖直方向的过程中 例 1 图系统的机械能守恒杆的弹力对球做正功，对球做负功杆的弹力对球做负功，对球做正功杆的弹力对球和球均不做功 【答案】AC【解析】由于杆在竖直平面内无摩擦转动，可知正确与绳不同，杆的弹力不一定沿着杆，故需从功 能关系的角度来判定杆的弹力做功情况由于杆是刚性的轻杆，故两球在转动中角速度相等，因为是2（2）可利用力的方向与瞬时速度方向的夹角来判定：力与物体的瞬时速度方向之间的夹角始终保持为锐角（角度可以变化）时，力对物体做正功；力与物体的瞬时速度方向之间的夹角
3、始终保持为直角时力不对物体做功；力与物体的瞬时速度方向之间的夹角始终保持为钝角时力对物体做负功 （iii）可利用力的方向与位移方向的夹角来判定：当力的方向不变时，可由力与位移的方向间夹角来判定例 2.如图所示，把小球由图中位置同时由静止释放（绳开始时拉直） ，则在小球向左下摆动时，下列说法正确的是例 2 图绳对球做正功 绳对球不做功绳对球做负功 绳对球做正功【答案】CD【解析】 在小球下摆过程中，由于距点较远，转动较慢，位置落后于球从运动角例 2 答图度来看，球绕点转动，球一方面随球转动，同时还相对于球向后转动，如图所示则球的瞬时速度时刻与绳垂直，与绳之间夹角为钝角；而球相对球的速度 BAv方
4、向与绳垂直，其对地3的瞬时速度方向与绳之间夹角为锐角故可知绳对球不做功，绳对球做负功、对球做正功，错误正确 例 5.以初速度 v0竖直向上抛出一质量为 m 的小物体。假定物块所受的空气阻力 f 大小不变。已知重力加速度为 g，则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为A、20(1)fm和 0gfv B、20(1)vfg和 0mgfC、20()fg和 0fvg D、20()vfmg和 0f 【答案】A（3）变力的功率恒定时可由求解变力的功率也变化时可由平均功率 tPW求解当功率随时间线性变化时 例 6.一电动小车沿如图所示的路径运动， 小车从 A 点由静止出发，沿粗糙的水平直轨道运动 L
5、后，由 B 点进入半径为 R 的光滑竖直圆形轨道，运动一周后又从 B 点离开圆轨道进入水平光滑轨道 BC 段，在 C 与平面 D 间是一蓄水池.已知小车质量 m=0.1kg、L=10m、R=0.32m、h=1.25m、s=1.50m，在 AB 段所受阻力为0.3N.小车只在 AB 路段可以施加牵引力，牵引力的功率为 P=1.5W，其他路段电动机关闭.问：要使小车能够顺利通过圆形轨道的最高点且能落在右侧平台 D 上，小车电动机至少工作多长时间？（g 取 10m/s2）k.s.5.u4【答案】2.53s【解析】设车刚好越过圆轨道最高点，设最高点速度为 v2，最低点速度为 v1在最高点由牛顿第二定律
6、得 mg= Rmv2由机械能守恒定律得 21mv12= mv22+mg(2R)解得 v 1= gh5=4m/s小车在离开 C 点后做平抛运动由 h= 2gt2 得 t=0.5sx=v1t=2mxs ，所以小车能够越过蓄水池小车的功率不变，根据 PFv知， 随着速度 v 的增大，牵引力将变小，不能用 WFl求电动机所做功设电动机工作时间为 t0，在 AB 段由动能定理得Pt0-fL= 21mv12解得 t0=2.53s（4）变力与位移的关系图象已知时，可利用图线与位移轴所围的面积求解力与位移的关系图象 xF中图线与位移轴所围面积等于力在该段位移内所做的功例 7如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原
7、点处的小物块，在水平拉力 F 作用下，沿 x 轴方向运动，拉力 F 随物块所在位置坐标 x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆则小物块运动到 x0处时的动能为 例 7 图A0 B. Fmx012C. Fmx0 D. x02 4 4【答案】C【解析】根据动能定理，小物块运动到 x0处时的动能为这段时间内力 F 所做的功，物块在变力作用下运动，不能直接用功的公式来计算，但此题可用根据图象求“面积”的方法来解决力 F 所做的功的大小等于半圆的“面积”大小即 Ek W S 圆 Fm . Fmx0，C 选项正确 12 12 x02 45（5）某些特殊情况下变力所做的功可通过转换求恒力所做功例 8.如图所示
8、，某人用大小不变的力 F 拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为 ，当拉力 F 作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为 。已知图中的高度是 h，滑轮的质量、绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力 T 对物体所做的功。例 8 图【答案】由图可知，在绳与水平面的夹角由 变到 的过程中，拉力 F 的作用点的位移为：所以绳对物体做功：（6）一般情况下变力所做的功可由功能原理或动能定理求解例 9.如图所示，一根 形状的轻支架上固定着两个小球，支架可以绕转轴在竖直平面内无摩擦的自由转动，已知 mA=2kg，mB=1kg，AC=BC=OC=1m在球上施加一个力，使装置静止，与转轴在同一
9、水平线上则撤去力，当球摆动到最低点时，杆对球做多少功？（取 g=10m/s2)6例 9 图【答案】.【解析】球到达最低点时，如图所示对两球根据机械能守恒得：其中两球具有相同的角速度，故 ABv2 得对球由动能定理得： 解得即球克服杆的作用力做功.4.滑动摩擦力做功（1）滑动摩擦力大小不变时，滑动摩擦力所做功等于摩擦力与路程的乘积。 （2）固定斜面上运动的物体，滑动摩擦力所做功 mgxWf取决于 、 及水平位移 x,与斜面倾角无关（3）曲面上运动的物体，速度变化影响压力、压力影响摩擦力，相同路程上摩擦力做功不同（4）一对滑动摩擦力做的总功等于摩擦力与相对路程乘积且一定小于零，绝对值等于产生的热量
10、例 10.将三个木板 1、2、3 固定在墙角,木板与墙壁和地面构成了三个不同的三角形,如图所示,其中 1 与 2底边相同,2 和 3 高度相同.现将一个可以视为质点的物块分别从三个木板的顶端由静止释放,并沿斜面下滑到底端,物块与木板之间的动摩擦因数 均相同.在这三个过程中,下列说法正确的是( )例 9 答图7A.沿着 1 和 2 下滑到底端时,物块的速度不同;沿着 2 和 3 下滑到底端时,物块的速度相同B.沿着 1 下滑到底端时,物块的速度最大C.物块沿着 3 下滑到底端的过程中,产生的热量是最多的D.物块沿着 1 和 2 下滑到底端的过程,产生的热量是一样多的【答案】BCD【解析】沿着 1
11、 和 2 下滑到底端时,物块的速度不同,沿着 2 和 3 下滑物块的速度也不相同,选项 A 错误;沿着 1 和 2 下滑到底端时,克服摩擦力做功相同,产生的热量是一样多的,所以沿着 1 下滑到底端时,物块的速度最大,选项 BD 正确;物块沿着 3 下滑到底端的过程中,克服摩擦力做功最多,产生的热量是最多的,选项 C正确.例 11.如图所示，质量为 m 的物块从斜面上 h 高处由静止下滑，恰好停在水平 面上的 C 点。已知斜面及水平地面与物块间的动摩擦因数处处相同，不计物块经过 B 点处的能量损失，现使物块返回 A 点，第一种方式是在 C 点给物块一个初速度 v1，物块恰好能到达 A 点；第二种
12、方式是给块施加一方向始终平行于接触面的拉力 F，使物块缓慢运动到 A 点，拉力 F 外做功为 W1.若将斜面 AB 换作半径为 h、与水平地面相切于 B点的四分之一圆弧轨道，物块从圆弧轨道顶点 A 静止下滑也恰停在 C 点，仍由以上两种方式使物块返回 A点时，初速度与外力 F 做功分别为 v2、W 2，则A. ghv21 B.W1=2mgh C. ghv2 D.W2=2mgh 【答案】AB【解析】由能量守恒：从 A到 C 知 mghWf。当 AB 间是斜面时，第一种方式 ，由于从A 到 C 与从 C 到 A 物块在经过每一个相同位置时摩擦力相同，故 1ffW，解得 ghv21，A 正确；第二种
13、方式 ，同理 1ff，故 W1=2mgh，B 正确。当 AB 间是圆弧面时，对第一种方式，从 B到 C 与从 C 到 B 摩擦力做功仍相同，但在圆弧面上比较从 A 下滑与从 B 上滑到距 A 为 h同一点时，由于下滑时 、上滑时 ，可见经过同一点时速度 上下 v，则在下滑过程中物块经过圆弧上每一点时所需向心力小、压力小、摩擦力也就小，下滑过程中在圆弧上克服摩擦力所做功就小于上滑过程中克服摩擦力做的功，故 2ffW，而对从 C 到 A 的过程有 ，可得8ghv2，C 错误；同理对第二种方式，上滑时速度近似为零，在圆弧上同一点摩擦力小于下滑时的摩擦力，则上滑过程中克服摩擦力所做功 2ffW，而从
14、C 到 A 有 ，故 W2L2.今在水平位置由静止释放，则在下降过程中，杆对球的作用力：2 图方向沿，不做功方向沿，做正功方向与成一定夹角，做正功9方向与成一定夹角，做负功【答案】C【解析】在球上升过程中，b 球的重力势能和动能均增大，即 b 球的机械能增大，只能是杆对 b 球做了正功而 b 球绕点沿圆弧运动，速度方向与杆垂直，则杆对 b 球的弹力一定不沿方向，否则杆对球不做功，故正确 7.如图所示，半圆形轨道 MON 竖直放置且固定在地面上，直径 MN 是水平的。一小物块从 M 点正上方高度为 H 处自由下落，正好在 M 点滑入半圆轨道，测得其第一次离开 N 点后上升的最大高度为 2H。小物
15、块接着下落从 N 点滑入半圆轨道，在向 M 点滑行过程中（整个过程不计空气阻力）A.小物块正好能到达 M 点 B小物块一定到不了 M 点C小物块一定能冲出 M 点 D不能确定小物块能否冲出 M 点【答案】C8.一根弹性细绳劲度系数为 K，将其一端固定，另一端穿过一光滑小孔 O 系住一质量为 m 的滑块，滑块放在水平地面上。当细绳竖直时，小孔 O 到悬点的距离恰为弹性细绳原长，小孔 O 到正下方水平地面上 P 点的距离为 h(hmg/k 滑块与水平地面间的动摩擦因数为 u，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹性细绳始终在其弹性限度内。求：108 图(1)当滑块置于水平面能保持静止时，滑块到 P 点的
16、最远距离； (2)如果滑块从 P 点向右匀速运动，就需给滑块一水平向右的力 F，力 F 与时间 t 的关系为如图所示的直线，已知图线的斜率为 b。根据图线求滑块匀速运动的速度；(3)若在上述匀速运动的过程中，滑块从 P 点向右运动了 S 的距离，求拉力 F 所做的功。【答案】 （1） khmg)(（2） kb（3）【解析】 （）设滑块离点最远时，弹性绳 伸长 x，弹性绳与水平面夹角为 ，滑块到点最远距离为，受力如图甲所示 NkxcossinxhcoL由解得（）滑块向右匀速运动时受力如图乙所示cosxvt由解得结合与 t 的关系图线可 得bkv所以甲 乙 丙8 答图11(3)设滑匀速运动的位移为 S,有vtS由得由此作出 F-S 关系图线如图丙,则图线所围成的面积即为外力 F 所做的功
