1、26.1.2 反比例函数的图象和性质,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用,第二十六章 反比例函数,学习目标,1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点) 2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难点) 3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. (重点、难点),导入新课,反比例函数的图象是什么？,反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？,反比例函数的图象是双曲线,当 k 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在
2、每个象限内，y 随 x 的增大而减小；,当 k 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.,复习引入,问题1,问题2,典例精析,例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？,解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.,(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？,解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.,因为点 B，C 的坐标
3、都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.,所以反比例函数的解析式为 .,练一练,已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)(1) 求这个函数的表达式；,解： 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，,解得 k = 6. 这个函数的表达式为 .,(2) 判断点 B (1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；,解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上
4、,(3) 当 3 x 1 时，求 y 的取值范围,解： 当 x = 3时，y =2；当 x = 1时，y =6，且 k 0， 当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小， 当 3 x 1 时，6 y 2.,(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？,例2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：,解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.,由因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以m50， 解得m5.,(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样
5、的大小关系？,解：因为 m5 0，所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1x2时，y1y2.,练一练,如图，是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是 ( ),A1 B3 C1 D0,B,1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：,合作探究,5,P,S1,S2,4,4,S1=S2,S1=S2=k,5,4,3,2,1,4,3,2,3,2,4,5,1,Q,2. 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：,4,4,S1=S2,S1=S2=k,S1,S2,由前面的探究过程，可以猜想
6、：,若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k 的关系是S矩形 AOBP=|k|.,S,我们就 k 0 的情况给出证明：,设点 P 的坐标为 (a，b),A,B,点 P (a，b) 在函数 的图 象上，, ，即 ab=k., S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；,若点 P 在第二象限，则 a0，,若点 P 在第四象限，则 a0，b0，, S矩形 AOBP=PBPA =a (b)=ab=k.,综上，S矩形 AOBP=|k|.,自己尝试证明 k 0的情况.,点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于
7、x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= .推理：QAO与QBO的面积和 k 的关系是SQAO=SQBO= .,Q,对于反比例函数 ，,A,B,|k|,归纳：,反比例函数的面积不变性,A. SA SBSC B. SASBSC C. SA =SB=SC D. SASCSB,如图，在函数 (x0)的图像上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作 的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ， SB，SC，则 ( ),C,做一做,例3 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC 垂直 x 轴于点 C，且 AOC 的面积为 2，求该反比例 函数的表达
8、式,解：设点 A 的坐标为(xA，yA)， 点 A 在反比例函数 的图象上， xAyAk， SAOC k2， k4， 反比例函数的表达式为,1. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PAx 轴于A. 若POA 的面积为 6，则 k = .,12,提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k0.,练一练,2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是.,或,例4 如图，P，C是函数 (x0) 图像上的任意两点， PA，CD 垂直于 x 轴. 设 POA 的面积为 S1，则 S
9、1 =；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是 S2 S3.,2,S1,S2,S3,如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点， AOC 的面积 S1、 BOD 的面积 S2、 POE 的面积 S3 的大小关系为 .,S1 = S2 S3,练一练,解析：由反比例函数面积的不变 性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一 支交于点 F，连接 OF，易知， SOFE = S1 = S2，而 S3SOFE， 所以 S1，S2，S3的大小关系为 S1 = S2 S3,F,S1,S2,S3,y,D,B,A
10、,C,x,例5 如图，点 A 是反比例函数 (x0)的图象上 任意一点，AB/x 轴交反比例函数 (x0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中 点 C，D 在 x 轴上，则 S ABCD =_.,3,2,5,方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.,如图，函数 yx 与函数 的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别 为C，D，则四边形ACBD的面积为 ( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8,D,C,A,B,D,练一练,4,4,在同一坐标系中，函数 和 y= k2 x+b 的
11、图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？,k2 0 b 0,k1 0,k2 0 b 0,k1 0,合作探究,k2 0 b 0,k1 0,k2 0,k1 0,例6 函数 y=kxk 与 的图象大致是 ( ),D.,x,y,O,y,y,x,B.,x,y,O,D,O,O,k0,k0,k0,k0,由一次函数增减性得k0,由一次函数与y轴交点知k0， 则k0,x,在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a0) 的图象可能是 ( ),B,练一练,例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1y2 时，x 的取值范围为 .,23,解析：y1y2 即一次函
12、数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知23.,方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.,练一练,如图，一次函数 y1= k1x + b (k10) 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当 y1y2时，x 的取值范围是 ,A,B,12,例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.,由于这两个函数的图象交于点 P (3，4)，则点 P (3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个解析式.,解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和 .,所以 ， .,解
13、得 ， .,P,则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示.,这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？,想一想：,反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ,(2，6)，(2，6),解析：联立两个函数解析式，解方程即可.,练一练,当堂练习,A. 4 B. 2 C. 2 D.不确定,1. 如图， P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 作 PB x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ),O,B,A,P,x,y,A,2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的图象的一个交点
14、是 (1，k)，则反比例函数的解析式是_,3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b 的解集是_,1x5,4. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，4).(1) 求 k 的值；,解： 反比例函数 的图象经过点 A(2，4)， 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，,解得 k = 8.,(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化?,解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.,(3) 画出该函数的图象；,解：如图所示：,(4) 点 B (1，8) ，C (3，5)是
15、否在该函数的图象上？,因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标 不满足该解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数 的图象上.,解：该反比例函数的解析式为 .,5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点A(1，2)，B(m，4)两点，(1) 求直线与双曲线的解析式；,所以一次函数的解析式为 y = 4x2.,把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a =4，b =2.,解：把 B(1，2)代入双曲线解析式中，得 k = 2，故其解析式为 . 当y =4时，m= .,(2) 求不等式 ax + b 的解集.,6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =x +
16、2 的图象交于 A，B 两点.(1) 求 A，B 两点的坐标；,解：,解得,所以A(2，4)，B(4，2).,或,作ACx轴于C，BDx轴于D， 则AC=4，BD=2.,(2) 求AOB的面积.,解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)，OM=2.,M,C,D,SOMB=OMBD2=222=2，,SOMA=OMAC2=242=4，,SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.,课堂小结,面积问题,面积不变性,与一次函数的综合,判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负,反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称,反比例函数图象和性质的综合运用,
