1、1课时跟踪检测（二十四） 导数的简单应用（小题练）A 级124 提速练一、选择题1已知 f(x) ax33 x22，若 f(1)3，则 a( )A. B.193 163C. D3133解析：选 D f(x) ax33 x22， f( x)3 ax26 x， f(1)3 a6， f(1)3，3 a63，解得 a3.故选 D.2(2018合肥模拟)已知直线 2x y10 与曲线 y aex x 相切，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的值是( )Ae B2eC1 D2解析：选 C y aex x， y aex1，设直线 2x y10 与曲线 y aex x 相切的切点坐标为( m， n)，则
2、 y| x m aem12，得 aem1，又n aem m2 m1， m0， a1，故选 C.3(2018成都模拟)已知函数 y f(x)的导函数 y f( x)的图象如图所示，则函数y f(x)在区间( a， b)内的极小值点的个数为( )A1 B2C3 D4解析：选 A 如图，在区间( a， b)内， f( c)0，且在点 x c 附近的左侧 f( x)0，所以在区间( a， b)内只有 1 个极小值点，故选 A.4(2018重庆调研)若函数 f(x)( x a)ex在(0，)上不单调，则实数 a 的取值范围是( )A(，1) B(，0)C(1,0) D1，)解析：选 A f( x)e x
3、(x a1)，由题意，知方程 ex(x a1)0 在(0，)上2至少有一个实数根，即 x a10，解得 a1.5已知 f(x)2 x36 x2 m(m 为常数)在2,2上有最大值为 3，那么此函数在2,2上的最小值为( )A0 B5C10 D37解析：选 D 由题意知， f( x)6 x212 x，由 f( x)0 得 x0 或 x2，当 x0或 x2 时， f( x)0，当 0 x2 时， f( x)0， f(x)在2,0上单调递增，在0,2上单调递减，由条件知 f(0) m3， f(2)5， f(2)37，最小值为37.6(2018广州模拟)设函数 f(x) x3 ax2，若曲线 y f(
4、x)在点 P(x0， f(x0)处的切线方程为 x y0，则点 P 的坐标为( )A(0,0) B(1，1)C(1,1) D(1，1)或(1,1)解析：选 D 由题意知， f( x)3 x22 ax，所以曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率为 f( x0)3 x 2 ax0，又切线方程为 x y0，所以 x00，且Error!解得20a2， x0 .所以当Error!时，点 P 的坐标为(1，1)；当Error!时，点 P 的坐标为a2(1,1)，故选 D.7(2018昆明检测)若函数 f(x)e 2x ax 在(0，)上单调递增，则实数 a 的取值范围为( )A1，)
5、 B(1，)C2，) D(2，)解析：选 C f(x)在(0，)上单调递增，且 f( x)2e 2x a， f( x)2e 2x a0 在(0，)上恒成立，即 a2e 2x在(0，)上恒成立，又 x(0，)时，2e 2x2， a2.8(2018陕西模拟)设函数 f(x) x312 x b，则下列结论正确的是( )A函数 f(x)在(，1)上单调递增B函数 f(x)在(，1)上单调递减C若 b6，则函数 f(x)的图象在点(2， f(2)处的切线方程为 y10D若 b0，则函数 f(x)的图象与直线 y10 只有一个公共点解析：选 C 对于选项 A，B，根据函数 f(x) x312 x b，可得
6、 f( x)3 x212，令 3x2120，得 x2 或 x2，故函数 f(x)在(，2)，(2，)上单调递增，在(2,2)上单调递减，所以选项 A，B 都不正确；对于选项 C，当 b6 时， f(2)0， f(2)10，故函数 f(x)的图象在点(2， f(2)处的切线方程为 y10，选项 C正确；对于选项 D，当 b0 时， f(x)的极大值为 f(2)16，极小值为 f(2)16，故3直线 y10 与函数 f(x)的图象有三个公共点，选项 D 错误故选 C.9已知定义在 上的函数 y f(x)的导函数为 f( x)，若 f( x)cos x1ln (0， 2)x f(x)sin x，则下
7、列不等式成立的是( )A. f f3( 4) 2( 6) 3( 3) ( 6)解析：选 D 令 g(x) ，则 g( x) f xcos x f x cos x f x sin xcos2x，由Error!解得 ，所以 g g ，所以 ，即 f f(1e， 2) 3 61e ( 3) ( 6)f( 3)cos 3f( 6)cos 6 3( 3)，B 错，D 正确同理因为 ，所以 g g ，所以 ，即 f ( 6) 4 61e ( 4) ( 6)f( 4)cos 4f( 6)cos 6 3( 4)f ，C 错因为 ，所以 g g ，所以 ，即 f f ，A2( 6) 3 41e ( 3) ( 4
8、)f( 3)cos 3f( 4)cos 4 2( 3) ( 4)错故选 D.10已知函数 f(x)(xR)为奇函数，当 x(0,2时， f(x)ln x m2x ，当(m22)x2,0)时， f(x)的最小值为 3，则 m 的值为( )A1 B2Ce De 2解析：选 C f(x)在 R 上是奇函数，当 x2,0)时， f(x)的最小值为 3， f(x)在(0,2上的最大值为3.当 x(0,2时， f( x) m2，令 f( x)0，解得1xx m2 ；由 m 知 00， f(x)单调递增，当 x( m2, 222时， f( x)0，故 g(x)的单调递减区间为(， a1)，单调递增区间为(
9、a1，)因为存在区间 D，使 f(x)和 g(x)在区间 D 上的单调性相同，所以 a10，即 a0 或 f( x)0，则 f(x)log 3x m，由 ff(x)log 3x4 可得 f(m)log 3m m4，即 m3 4 m，解得 m3，所以 f(x)log 3x3， f( x) ，1xln 3从而 f 1，即所求切线的斜率为 1.(1ln 3)答案：1B 级难度小题强化练1(2018西安八校联考)已知函数 f(x)ln x ax2，若 f(x)恰有两个不同的零点，则 a 的取值范围为( )A. B(12e， ) 12e， )C. D.(0，12e) (0， 12e解析：选 C 函数 f
10、(x)的定义域为(0，)， f( x) 2 ax .当 a0 时，1x 1 2ax2xf( x)0 恒成立，函数 f(x)在(0，)上单调递增，则函数 f(x)不存在两个不同的零点当 a0 时，由 f( x)0，得 x ，当 00，函数 f(x)单调递增，12a 12a6当 x 时， f( x)0，即 ln 2a2，则方程 f(x)f xx x 的根的个数为( )1xA1 B1 或 2C0 D0 或 1解析：选 C 由题意知，方程 f(x) x 的根，即为 0 的根记1x xf x x2 1xg(x) xf(x) x21，则 g( x) f(x) xf( x)2 x.当 x0 时，由 f( x
11、) 2 得 0，故当 x0 时， xf( x)f xx xf x f x 2xx f(x)2 x0，即 g( x)0，当 x0，若函数 y f(x1)的图象关于原点对称， a f ， b3 f(2)，f 2 xx 1 12(12)c2 f(3)，则 a， b， c 的大小关系是( )A a0 可得 f( x) 0，即f 2 xx 1 f xx 10，即 0.当 x1 时， g( x)0，函数 g(x)单调递 x 1 f x f xx 1 g xx 17增而 a g ， b g(2)， c g(3)由函数 y g(x)的图象关于直线 x1 对称可得(12)a g g ， b g(2) g(4)，
12、因为 0， f(x)单调递增，当 x(1,2时， f( x) 4x 5 x 12 x 10， f(x)单调递减由于方程 ln(x1) x2 x a 在区间0,2上有两个不同的实数根，32即 f(x)0 在区间0,2上有两个不同的实数根，则Error!解得 ln 31 aln 2 .所以12方程 ln(x1) x2 x a 在区间0,2上有两个不同的实数根时，实数 a 的取值范围是32.ln 3 1， ln 212)5已知函数 f(x) x(ln x ax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是_解析： f(x)的定义域为(0，) f( x)ln x ax x ln x2 ax1，令(1x a)
13、f( x)ln x2 ax10，得 ln x2 ax1，因为函数 f(x) x(ln x ax)有两个极值点，所以 f( x)ln x2 ax1 有两个零点，等价于函数 yln x 与 y2 ax1 的图象有两个交点在同一平面直角坐标系中作出它们的图象，如图所示，过点(0，1)作曲线 yln x 的切线，设切点为( x0， y0)，则切线的斜率 k，所以切线方程为 y x1，又切点在切线上，所以1x0 1x0y0 10，又切点在曲线 yln x 上，则 ln x00 ，解得 x01，所以切点为(1,0)，x0x0所以切线方程为 y x1.再由直线 y2 ax1 与曲线 yln x 有两个交点，
14、知直线y2 ax1 位于两直线 y1 和 y x1 之间，其斜率 2a 满足 02a1，解得实数 a 的取值范围是 .(0，12)8答案： (0，12)6已知函数 g(x) a x2 与 h(x)2ln x 的图象(1e x e， e为 自 然 对 数 的 底 数 )上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是_解析：因为函数 g(x) a x2 与 h(x)2ln x 的图(1e x e， e为 自 然 对 数 的 底 数 )象上存在关于 x 轴对称的点，所以方程 a x22ln x，即 a2ln x x2在 上有1e， e解令 f(x)2ln x x2，则 f( x) 2 x ，因为 xe，所以2x 2 1 x 1 xx 1ef(x)在 x1 处有唯一的极大值点因为 f 2 ， f(e)2e 2， f(x)的极大值为(1e) 1e2f(1)1，且 f(e)f ，故方程 a2ln x x2在 上有解等价于(1e) 1e， e2e 2 a1，即 1 ae 22，故实数 a 的取值范围是1，e 22答案：1，e 22
