1、1动态综合专题动态综合型试题是近年来各级各类考试命题的热点和焦点，她集多个知识点于一体，综合性高，探究型强. 解决这类问题的主要思路是：在动中取静，在静中探动，也就是用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，特别关注一些不变量、不变关系和特殊位置关系. 点动型例 1 菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图 1 所示，顶点 B（2，0），DOB60，点 P 是对角线 OC 上一个动点，E（0，1），当 EPBP 最短时，点 P 的坐标为_.图 1分析：点 B 的对称点是点 D，如图 2，连接 ED 交 OC 于点 P，易知 ED 的长度即为EP
2、BP 的最短值.图 2解：如图 2，连接 ED，因为点 B 的对称点是 D，所以 DPBP，所以 ED 的值即为EPBP 的最短值.因为四边形 ABCD 是菱形，顶点 B（2，0），DOB60，所以点 D 的坐标为（1，），所以点 C 的坐标为（3， ），所以可得直线 OC 的解析式为 . 33 xy3因为点 E 的坐标为（0，1），所以可得直线 ED 的解析式为 . 1因为点 P 事直线 OC 和直线 ED 的交点，所以点 P 的坐标为方程组 的3xy解，解方程组可得 ，所以点 P 的坐标为（ -3,2- ），故填（ -32yx 3223,2- ）.32评注：本题中的变量是 EPBP 的值，
3、不变量是点 B 与点 D 的位置关系，借助菱形的对称性将 EPBP 的值转化为 ED 的值，由“两点间线段最短”即可知道此时 EPBP 的值最短，将变量转化为不变量是解决运动型问题常用的解题思路.跟踪训练：1.（2015贵港）如图，已知 P 是O 外一点，Q 是O 上的动点，线段 PQ 的中点为M，连接 OP、OM. 若O 的半径为 2，OP4，则线段 OM 的最小值是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3 第 1 题图 第 2 题图2.如图，已知线段 AB=10，AC=BD=2，点 P 是 CD 上一动点，分别以 AP、PB 为边向上、向 下作正方形 APEF 和 PHKB，设正方形对角线的交
4、点分别为 O1、O 2，当点 P 从点 C 运动到点 D 时，线段 O1O2中点 G 的运动路径的长是_. 线动型例 2 如图 3，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（4，3）.平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点 M、N，直线 m 运动的时间为 t（秒）.（1）点 A 的坐标是_,点 C 的坐标是_；（2）当 t=_秒或_秒时，MN= AC；21（3）设OMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；（4）在（3）中得到的函数 S 有没有最大值？若有求
5、出最大值；若没有，要说明理由. 图 3分析：（1）根据 B 点的坐标即可求出 A、C 点的坐标；（2）当 MN= AC 时，有两种情况：Mn 是OAC 的中位线，此时 OM OA2，因此1t2；当 MN 是ABC 的中位线时，OM OA6，因此 t6；23（3）本题要分类讨论：大直线 m 在 AC 下方或与 AC 重合时，即当 0t4 时，可根据OMNOAC，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出 S 与 t 之间的函数关系式；当直线 m 在 AC 上方时，即当 4t8 时，可用矩形 OABC 的面积-BMN 的面积-OCN 的面积-OAM 的面积求得；（4）根据（3）得出的函数的性质和自变量
6、的取值范围即可求出面积 S 的最大值及对应3的 t 的值.解：（1）A（4，0），C（0，3）；（2）当 MN= AC 时，有两种情况：Mn 是OAC 的中位线，此时 OM OA2，因此1t2；当 MN 是ABC 的中位线时，AM AB ，OA4，AD 2，21343tanEDOAM所以 ODOAAD426，故 t6；（3）当 0t4 时，OMt，因为OMNOAC，所以 ，所以CNAON t，S .428当 4t8 时，如图 4，因为 ODt，所以 ADt-4，由DAMAOC，可得AM ，所以 BM6- ；由BMNBAC，可得 BN BM8-t，所以 CNt-4，3334所以 S矩形 OABC
7、 的面积-RtBMN 的面积-RtOCN 的面积-RtOAM 的面积12- （t-234）- （8-t）（6- ）- （t-4）- 3t；21t4228t图 4（4）有最大值，当 0t4 时，因为抛物线 S 的开口向上，在对称轴 t0 的右边，283tS 随 t 的增大而增大，所以当 t4 时，S 可取到最大值 426；当 4t8 时，因为抛物线 S- 3t 的开口向下，顶点是（4，6），所以 S6. 综上所述，当 t4 时，S283有最大值 6.评论：相对于点的运动来讲，线的运动在中考中相对要少点儿， 解答这类问题时要用运动与变化的观点去观察和研究图形，把握直线运动与变化的全过程，抓住等量关
8、系和变4量关系，特别注意一些不变量、不变关系或特殊关系.跟踪训练：1.如图所示，已知等腰梯形 ABCD，ADBC，若动直线 垂直于 BC，且向右平移，设扫l过的阴影部分的面积为 S，BP 为 x，则 S 关于 x 的函数图象大致是（ ）AA B C D第 1 题图2.如图，在平面直角坐标系 xoy 中，二次函数 （a，b 是常数）的图32xy像与 x 轴交于点 A（-3.0）和点 B（1，0），与 y 轴交于点 C. 动直线 yt（t 为常数）与抛物线交于不同的两点 P、Q.（1）求 a 和 b 的值；（2）求 t 的取值范围；（3）若PCQ90，求 t 的值.第 2 题图面动型例 3 已知：
9、把 RtABC 和 RtABC 按如图 1 摆放（点 C 与点 E 重合），点 B、C(E)、F 在同一直线上，ACB=EDF=90，DEF=45，AC=8cm，BC=6cm,EF=9cm. 如图 2，DEF从图 1 的位置出发，以 1cm/s 的速度沿 CB 向ABC 匀速移动，在DEF 移动的同时，点 P从ABC 的顶点 B 出发，以 2cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移动，当DEF 的顶点 D 移动到AC 边上时，DEF 停止移动，点 P 也随之停止运动. DE 与 AC 相交于点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t(s)(0t4.5)，解答下列问题：当 t 为何值时，点 A 在线
10、段 PQ 的垂直平分线上？连接 PE，设四边形 APEC 的面积为 y(cm2),求 y 与 t 之间的函数关系式 ；是否存在某5一时刻 t，使得面积 y 最小？若存在，求出 y 的最小值，若不存在，请说明理由.是否存在某一时刻 t，使得 P、Q、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由. 解析:因为点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上，所以 AP=AQ. 因为DEF=45,ACB=90，DEF+ACB+EQC=180，所以EQC=45，所以DEF=EQC，所以CE=CQ. 又由题意得 CE=t, BP=2t，所以 CQ=t，所以 AQ=8-t，解得 t=2；过点
11、 P 作 PMBE，交 BE 与点 M，所以BMP=90，在 RtABC 和 RtBPM 中，sinB= = ,代入，解得 PM= t.因为 BC=6cm,CE=t,所以 BE=6-t，所以 y=SABC- SACABPMBP 85BPE= (BCAC-BEPM) 化简得 y= (t-3)2+ ，所以当 t=3 时，y 最小 = ；12 45 845 845假设存在某一时刻 t，使得点 P、Q、F 三点在同一条直线上，过 P 点作 PNAC，交AC 于点 N，所以ANP=ACB=PNQ=90. 因为PAN=BAC 所以PANBAC，所以=PN610-2t10= ，所以 PN=6- t, AN=
12、8- t. 因为 NQ=AQ-AN，所以 NQ=8-t-(8- t)= t. 因为AN8 65 85 85 35ACB=90,B、C(E)、F 在同一条直线上，所以QCF=90QCF=PNQ. 因为FQC=PQN，所以QCFQNP，所以 = ，所以 = ，因为 0t4.5，所以 t=1.PNFCNQCQ 6-1.2t9-t 35解后反思：面的运动相对来说比较复杂，但也是中考的热点之一，许多创新题、探究题都源于此，解决此类型问题的关键：一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性，充分利用不变量来解决问题；二是要运用特殊与一般的数学思想方法，探究图形运动变化过程中的不同阶段；三是要运
13、用类比转化的方法探究 相同运动状态下的共同性质，这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷，结论更加明确.跟踪训练：已知，在矩形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点 ， ,AB=12,BE=16,F 为线段 BE 上DEA一点，EF=7，连接 AF.如图 1，现有一张硬质纸片 , ,NG=6,MG=8,斜GMN09边 MN 与边 BC 在同一直线上，点 N 与点 E 重合，点 G 在线段 DE 上.如图 2， 从图 1GMN的位置出发，以每秒 1 个单位的速度沿 EB 向点 B 匀速移动，同时，点 P 从 A 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿 AD 向点 D 匀速移动，点 Q 为直线 GN 与
14、线段 AE 的交点，连接 PQ.当点N 到达终点 B 时， 和点 P 同时停止运动.设运动时间为 t 秒，解答下列问题：GM（1）在整个运动过程中，当点 G 在线段 AE 上时，求 t 的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点 P，使 是等腰三角形，若存在，求出 t 的A6值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设 与 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与GMNAEFt 之间的函数关系式以及自变量 t 的取值 范围.动态综合型专题点动型：1.B 2. 23线动型：1.A2.解：（1）将点 A、点 B 的坐标代入可得 ，解得 ；039ba21ba（2）抛物线的解析式为 ，直线 yt，
15、联立两解析式可得 ，32xy tx3即 . 因为动直线 yt（t 为常数）与抛物线交于不同的两点，所以03tx44（3t）0，解得 t-4；（3）因为 ，所以抛物线的对称轴为直线 x1. 当 x0 时，4122xyy-3，所以 C（0.-3). 设点 Q 的坐标为（m，t），则 P（-2-m，t）. 如图，设 PQ 与 y 轴交于点 D，则 CDt3，DQm，DPm2. 因为PCQPCDQCD90，DPCPCD90，所以QCDDPC. 因为PDCQDC90，所以QCDCDP，所以 ，即 ，整理得 .Pt23t mt2962因为 Q（m，t）在抛物线上，所以 t ，即 ，所以3t，化简得 ，解得
16、 ， .3962t 0652t 21tt当 t-3 时，动直线 yt 经过点 C，故不合题意，舍去，所以 t-2.7面动型：解：（1）在 RtGMN 中，GN6，GM8，所以 MN10. 由题意，易知点 G 的运动线路平行于 BC. 由题意易知点 G 的运动线路平行于 BC. 如答图 1 所示，过点 G 作 BC 的平行线，分别交 AE、AF 于点 Q、R. 因为AEDEGM90，所以 AEGM，所以四边形 QEMG为平行四边形，所以 QGEM10，所以 t 10 秒；10答图 1（2）存在符合条件的点 P，在 RtABE 中，AB12，BE16，由勾股定理得 AE20. 设AEB ，则 si
17、n ，cos . 因为 NEt，所以 QENEcos ，AQAE-534t54QE20 .t54APQ 是等腰三角形，有 三种可能的情形： APPQ，如答图 2 所示，过点 P 作 PKAE 于点 K，则 AKAPcos . 因为t54AQ2AK，所以 20 2 ，解得 t ；t54t325APAQ，如答图 3 所示，有 t20 ，解得 t ；4910AQPQ，如答图 4 所示，过点 Q 作 QKAP 于点 K，则 AKAQcos （20 ）t54 16 . 因为 AP2AK，所以 t2（16 ），解得 t .54t216 t256780综上所述，当 t ， 或 秒时，存在点 P，使APQ 是
18、等腰三角形.359078（3）如答图 1 所示，点 N 到达点 F 的时间为 t7；由（1）知，点 G 到达点 Q 的时间为t10；QE10 8，AQ20812，因为 GRBC，所以 ，即 ，4 AEFR2017所以 QR ，所以点 G 到达点 R 的时间为 t10 ；点 N 到达终点 B 的时间为52 52t16. 在GMN 运动的过程中：8当 0t7 时，如答图 5 所示：QENEcos ，QNNEsin ，S QEQN ；t4t321t54326t当 7t10 时，如答图 6 所示：设 QN 与 AF 交于点 I，因为tanINF ，tanIFN ，所以INFIFN，IFN 为等腰三角形
19、. 3GNM4BFA底边 NF 上的高 h NFtanINF （t7） （t7）. S21213INF （t7） （t7） ，所以 SS QNE S INF 21256t2731；3495当 10t 时，如答图 7 所示：由得 SINF ，所以 SS GMN S 5712731tINF24 ；23t 32142t当 t16 时，如答图 8 所示：FMFEMEFE（NEMN）17t. 设 GM 与 AF交于点 I，过点 I 作 IKMN 于点 K. 因为 tanIFK ，所以可设34BFAIK4x，FK3k，则 KM3x17t. 因为 tanIMF ，解得 x (17t），所以4317txKM7IK4x （17x)，所以 S FMIK .7122216t综上所述，S 与 t 之间的函数关系式为：9S .16571603249175622tttt
