1、 函数与微积分初步 2 第 1页 第 2 讲 函数与微积分初步 2 一、知识要点： 1、函数及函数的综合应用 2、导数定义及几何、物理意义 3、导数公式及运算法则 4、导数的应用（切线、单调区间、极最值） 5、定积分（反导数）及应用 二、例题分析 （一）选择题 1、已知函数 () f x 为 R 上的减函数，则满足 1 () ( 1 ) f f x 的实数 x的取值范围是（ ） A （-1，1） B （0 ，1） C （1，0） U（0，1） D （ ，1） U（1，+ ） 2、设 aR，函数 的导函数是 ，且 是奇函数。若曲线 的 一条切线的斜率是 ，则切点的横坐标为（ ） A Bln 2
2、C D ln 2 第 2页 3、函数 2 44 ,1 () 43 , (1 ) xx fx xxx = + 的图像和函数 2 () l o g gx x = 的图像的交点个数为（ ） A4 B3 C2 D1 4、设 2 ,1 () ,1 xx fx xx = , () gx是二次函数，若 () ) f gx 的值域是 ) 0, + ,则 () gx的值域是（ ） A . ( ) ,1 1 , + U B. ( ) ,1 0 , + U C. ) 0, + D. ) 1, + 5、已知函数 () yfx = 是定义在 , ab 上的增函数，其中 , ab R ，且 0 ba 。设函数 22 (
3、) ( ) ( ) Fx fx f x = 且 () Fx不恒等于 0，则对于 () Fx有如下说法： （1）定义域为 , bb ， （2）是奇函数 （3）最小值为 0， （4）在定义域内单调递增 其中正确说法的个数有（ ） A4 个 B 3 个 C2 个 D 1 个 6、关于 x的方程() 0 1 1 2 2 2 = + k x x ，给出下列四个命题： 存在实数 k ，使得方程恰有 2 个不同的实根； 存在实数 k ，使得方程恰有 4 个不同的实根； 存在实数 k ，使得方程恰有 5 个不同的实根； 存在实数 k ，使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是 （ ） A0 B1
4、C2 D 3 7、 4 2 1 dx x 等于 A 2ln2 B 2ln2 C ln 2 D ln 2 第 3页 8、若曲线 1 2 y x = 在点 1 2 , aa 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，则 a = A64 B32 C16 D 8 9、如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出水面部 分的图形面积为 () ( ) () 00 StS = ，则导函数 ( ) ySt = 的图像大致为 10、给出下列三个命题： 函数 11c o s ln 21c o s x y x = + 与 ln tan 2 x y = 是同一函数； 若函数
5、) yfx = 与 ( ) ygx = 的图像关于直线yx = 对称，则函数 ( ) 2 yfx = 与 () 1 2 y gx = 的图像也关于直线yx = 对称； 若奇函数 () f x 对定义域内任意 x 都有 () (2 ) fxfx = ，则 ( ) f x 为周期函数。 其中真命题是 A B C D （二）填空题： 11、如图，函数 y=f (x)的图象在点 P 处的切线方程是 y = x+5， 则 f（3）+ f (3)= . 第 4页 12、设函数 f (x)= x (e x + ae -x ) (x R)是偶函数，则实数 a=_ 13、已知函数 2 1, 0 () 1, 0
6、 xx fx x + = 的 x 的范围是_。 14、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 2 ( S = 梯形的周长） 梯形的面积 ,则 S 的最小值是_ 15、设函数 2 () 1 fx x = ，对任意 2 , 3 x + ， 2 4( )(1 )4 ( ) x f mfx fx fm m + 恒成立，则 实数 m的取值范围是_. 16、已知定义域为 0 + （， ） 的函数 () f x 满足： 对任意x0 + （， ） ，恒有 (2 ) 2 ( ) fxf x = 成立；当 x （1，2 时， () 2 - fxx = 。给出如下结论： 对
7、任意mZ ， 有 (2 ) 0 m f = ； 函数 () f x 的值域为0 + ，） ； 存在nZ ， 使得 (2 1) 9 n f +=； “函数 () f x 在区间(,) ab上单调递减”的充要条件是 “存在 Z k ，使得 1 (,) ( 2, 2 ) kk ab + ”。 其中所有正确结论的序号是 。 第 5页 （三）解答题 17、已知向量 (cos ,sin ), ( cos ,cos ) axx bxx = ，函数 () 2 1 . fx ab = + （ ）求：函数 () f x 的最小正周期； （ ）当 2 , 0 x 时，求： () f x 的单调减区间. 18、对于函
8、数 a x x x f + + = 5 2 ) ( 有适合 x x f = ) ( 的 x时,这个 x叫做 ) (x f 的不动点. （I）为使 ) (x f 有绝对值相等且符号相反的两个不动点,求 a的值. （II）在（I）的条件下, 将 ) (x f 的图象向右平移 2 个单位得到函数 ) (x g 的图象。数列 n a 的首项 ) 3 ( 1 = f a , ) ( ) ( 1 1 + = N n a g a n n ,求数列 n a 的通项公式。 （III）对于（II）的数列 n a ,若数列 n b 满足 1 + = n n n a a b ,数列 n b 的前 n项和为 n S ,
9、 求证： 2 1 n S 第 6页 19、已知函数 22 () ( 2 3)( ) , x fxxa xaa exR =+ 其中aR （1） 当 0 a = 时，求曲线 () ( 1 ,( 1 ) ) yfx f = 在点 处的切线的斜率；w. （2） 当 2 3 a 时，求函数 () f x 的单调区间与极值。 20、已知函数 * () , , yfxx y = NN ，满足： 对任意 * , ab a b N ，都有 ) ( ) ( ) ( ) ( a bf b af b bf a af + + ； 对任意 * n N 都有 () 3 f fn n = . 则（1）求 ) (x f 在 * N 上的单调性； （2）求 ) 28 ( ) 6 ( ) 1 ( f f f + + 的值； （3）求证 12 11 11 42 4 n n naaa + + + L
