1、 高三实验 理数 1 / 4 2018 2019 第一学期 期中考试 高三年级 理 科 班数学试卷 本试卷共 22小题，满分 150分，考试用时 120分钟 注意事项： 1、答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座号。 2、答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上。 1.已知集合 | 2 4A x x ， | lg 2 B x y x ， 则 RA C B A. 2,4 B. 2,4 C. 2,2 D. 2,2 2.以下有关命题的说法 错误 的是 A. 命题 “ 若 2 20xx ，则 1x ” 的逆否命题为 “ 若
2、1x ，则2 20xx ” B. “ 2 20xx ” 是 “ 1x ” 成立的必要不充分条件 C. 对于命题 0p x R： ，使得 20010xx ， 则 :p x R ，均有 2 10xx D. 若 pq 为真命题，则 p 与 q至少有一个为真命题 来源 :学 _科 _网 Z_X_X_K 3.已知函数 fx的定义域是 0,2 ，则函数 1122g x f x f x 的定义域是 A. 1 ,12 B. 1 ,22 C. 13,22 D. 31, 2 4.若任意 xR 都有 2 3cos sinf x f x x x ，则函数 fx的图象的对称轴方程为 A. 4xk ， kZ B. 4xk
3、 ， kZ C. 8xk ， kZ D. 6xk ， kZ 5已知 a0， b0， a， b 的等比中项是 1，且 m b 1a， n a 1b，则 m n 的最高三实验 理数 2 / 4 小值是 A 3 B 4 C 5 D 6 6若 x， y 满足 x 3，x y 2，y x，则 x 2y 的最大值为 A 1 B 3 C 5 D 9 7已知 Sn是数列 an的前 n 项和，且 Sn 1 Sn an 3， a4 a5 23，则 S8 A 72 B 88 C 92 D 98 8函数 f(x) xa满足 f(2) 4，那么函数 g(x) |loga(x 1)|的图象大致为 9若函数 f(x) x3
4、 2cx2 x 有极值点，则实数 c 的取值范围为 A 32 ， B ， 32 32 ， C 32 ， D ， 32 32 ， 10已知向量 (3,1)， ( 1,3)， m n (m0， n0)， 若 m n 1，则 | OC |的最小值为 A 52 B 102 C 5 D 10 11已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 cos C 2 23 ， bcos A acos B 2，则 ABC 的外接圆面积为 A 4 B 8 C 9 D 36 12设函数 f(x) ex x 2， g(x) lnx x2 3若实数 a， b 满足 f(a) 0， g(b) 0，则
5、 高三实验 理数 3 / 4 A g(a)0f(b) B f(b)0g(a) C 0g(a)f(b) D f(b)g(a)0 第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分 , 13 若 )(xfy 是函数 )1,0( aaay x 的反函数，且 1)2( f ，则 )( xf _ 14 若 tan 3，则 sin 21 cos 2 _ 15已知)1(log)1()3()(xxxaxaxfa,是 (- ,+ )上的增函数 ,那么实数 a的取值范围_ 16.设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根 ;q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根 ,则使
6、 p q 为真 ,p q 为假的实数 m 的取值范围是 _. 三、解答题：本题 共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题满分 10 分） 已知数列 an是公差不为 0 的等差数列，首项 a1 1，且 a1， a2， a4成等比数列 (1)求数列 an的通项公式； (2)设数列 bn满足 nann ab 2 ，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 18 （本题满分 12 分） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c已知 sin A 3 cos A 0，a 2 7 ， b 2 (1)求 c； (2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC
7、，求 ABD 的面积 高三实验 理数 4 / 4 19 （本题满分 12 分） 已知函数 f(x) ex ax 1，其中 e 是自然对数的底数，实数 a 是常数 (1)设 a e，求函数 f(x)的图象在点 (1， f(1)处的切线方程； (2)讨论函数 f(x)的单调性 20 （本题满分 12 分） 设函数 f(x) sin x 6 sin x 2 ，其中 03已知 f 6 0 (1)求 ； (2)将函数 y f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍 (纵坐标不变 )，再将得到的图象向左平移 4 个单位，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)在 4 ，34 上的最小值 21 （本题
8、满分 12 分） 已知函数 f(x) xln x (1)若函数 g(x) f(x) ax 在区间 e2， )上为增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若对任意 x (0， )， f(x) x2 mx 32 恒成立，求实数 m 的最大值 22（本题满分 12 分） 设曲线 1*: ( ) ( )nnC f x x n N在点 11, ( )22Pf处的切线与 y 轴交于点 (0, )nnQy （）求数列 ny 的通项公式； （）设 数列 ny 的前 n项和为 nS ，猜测 nS 的最大值并证明你的结论 . 高三实验 理数 1 / 42019届高三期中考试数学(理科)参考答案一选择题题号 1 2
9、 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D D C A B D C C D C C A二填空题13. x2log 14. 3 15. )3,23 16. (-,-2-1,3)三解答题17.解：(1)设数列an的公差为d，由已知得，a22a1a4，即(1d)213d，解得d0或d1.又d0，d1，可得ann.(2)由(1)得bnn2n， .6分Tn(121)(222)(323)(n2n)(123n)(222232n)n n12 2n12. .12分18解：(1)由已知可得tan A 3，所以A23 .在ABC中，由余弦定理得284c24ccos 23，即c22c240. 解得c4(负
10、值舍去) .6分(2)由题设可得CAD2，所以BADBACCAD23 26.故ABD的面积与ACD的面积的比值为12ABADsin612ACAD 1.又ABC的面积为1242sin23 2 3，所以ABD的面积为 3. （方法不唯一） .12分19解：(1)ae，f(x)exex1，高三实验 理数 2 / 4f(x)exe，f(1)1，f(1)0.当ae时，函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y1.4分(2)f(x)exax1，f(x)exa.当a0时，f(x)0，故f(x)在R上单调递增；当a0时，由f(x)exa0，得xln a，当xln a时，f(x)0，当xln a时，f
11、(x)0，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上，当a0时，f(x)在R上单调递增；当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.12分20.解：(1)因为f(x)sin x6 sin x2 ，所以f(x) 32sin x12cos xcos x 32sin x32cos x 312sin x 32cos x 3sin x3 .因为f 6 0，所以6 3k，kZ.故6k2，kZ.，又03，所以2. .6分(2)由(1)得f(x) 3sin2x3 ，所以g(x) 3sin x43 3sin x12.因为x4，34 ，所以x123，23 ，当
12、x123，即x4时，g(x)取得最小值32. .12分21.解：(1)由题意得g(x)f(x)aln xa1.函数g(x)在区间e2，)上为增函数，当xe2，)时，g(x)0，即ln xa10在e2，)上恒成立a1ln x.高三实验 理数 3 / 4令h(x)ln x1，ah(x)max，当xe2，)时，ln x2，)，h(x)(，3，a3，即实数a的取值范围是3，) .6分(2)2f(x)x2mx3，即mx2xln xx23，又x0，m2xln xx23x 在x(0，)上恒成立记t(x)2xln xx23x 2ln xx3x.mt(x)min.t(x)2x13x2x22x3x2 x3 x1x
13、2 ，令t(x)0，得x1或x3(舍去)当x(0,1)时，t(x)0，函数t(x)在(0,1)上单调递减；当x(1，)时，t(x)0，函数t(x)在(1，)上单调递增t(x)mint(1)4.mt(x)min4，即m的最大值为4. .12分22解：（） / *( ) ( 1) ( )nf x n x n N , 1分点 P处的切线斜率 1( 1) 2 nnk n , 2 分切线方程为: 11 1 1( 1) ( )2 2 2n ny n x , 3分令 0x 得: 11 1 12 2 2n nn ny ,故数列 ny 的通项公式为: 12 2 nn ny . 4分(2) 2 31 1 2 1
14、3 1 12 2 2 2 2 2 2 2 nn nS -两边同乘 12 得: 2 3 4 11 1 1 2 1 3 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 nn nS -高三实验 理数 4 / 4得: 2 3 13 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n nn ns 6分2 3 11 1 1 1 13 2 2 2 2 2n nnS n 1 11 1 12 21 21 2 n nn 111 123 2n nn 1 2 3 1 19 2 2 nn nS 8 分其中 1 1 14S y , 2 1 2 0S y y , 3 316S , 4 116S 猜测 nS 的最大值为 2 0S .证明如下: 10分(i)当n为奇数时， 1 2 3 1 1 09 2 2 nn nS ； 11分(ii)当n为偶数时， 11 2 3 19 2n n nS ,设 12 3( ) 2n nh n ,则 38 3( 2) 2n nh n .3 1 38 3 2 3 9( 2) ( ) 02 2 2n n nn n nh n h n , ( 2) ( )h n h n . 12分故12 3( ) 2n nh n 的最大值为 (2) 1h ,即 nS 的最大值为 2 0S .
