1、1荆门市 2019 年高三年级元月调考数学（理科）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。1已知全集 ，集合 ， ，则UR20Ax2logBxUABA B C D|2x|或 |24x或2已知复数 ，则 的值是1iZ2ZA1 B C D1
2、i i3某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于 10 分钟的概率为A B C D2654 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 5 若将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，且()cos2)fx6()gx的图象关于原点对称，则 的最小值为()gA B C D6323566 已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 若 成等差数列，则数列nanS132,S的公比为naA B C D1312
3、227设函数 ，则不等式 的解集是121()logxf , ()2fxA B C D0,0,21,28方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是2213xymA B C D03m43m9设实数 ,abc分别满足 ， ， ，则 的大小关系为125alnb31c,abcA B C Dcbc10正项等比数列 满足 , ，则下列结论正确的是n126358aA ， B ，nNS n*N12nnC ， D ，*21nna312naa11已知圆 E: rypx（与抛物线 )0(2:pxy相交于 A， B两点，分别以点 ， B为切点作圆 的切线若切线恰好都经过抛物线 C的焦点 F，则 EsiA 215 B 23
4、C 1 D 212两个半径都是 的球 和球 相切，且均与直二面角 的两个半平面都r()1O2 l相切，另有一个半径为 的小球 与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球 和球1O都外切，则 的值为2OA B C D17312732二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若 满足 ，则 的最小值为 ,xy02yzxy14正六边形 ABCDEF 的边长为 1，则 AEBFur15学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有 5 名同学要求改修历史，但历史选修班每班至多可接收 2 名同学，那么安排好这 5 名同学的方案有种 （用数字作答） 16若函数
5、 在 上单调递增，则实数1()cos2(incos)(43)fxaxax0,的取值范围为a3三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ABCCabc3osinabAB（）求角 的值；（）若 的面积为 ，且 ，求 的周长314BC18 （本小题满分 12 分）如图（1） ，梯形 中， ，过 、 分别作 ， ，垂ABD/AEDFC足分别为 ，已知 ，将梯形 沿 、,EF2,5CA同侧折起，得空间几何体 ，如图（2） BEF（）若 ，证明： 平面 ；AFBDEABF（）若 ，
6、 ，线段 上存在一点 ，满足 与平面 所成/EC3PCAD角的正弦值为 ，求 的长520P19 （本小题满分 分）1在测试中，客观题难度的计算公式为 ，其中 为第 题的难度， 为答对该题的iiRNiPiR人数， 为参加测试的总人数N现对某校高三年级 240 名学生进行一次测试，共 5 道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5考前预估难度 iP0.9 0.8 0.7 0.6 0.4测试后，随机抽取了 20 名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号 1 2 3 4 5实测答对人数 16 16 14 14 4（）根据题中数据，估计这 240 名学生中第
7、 5 题的实测答对人数；（）从抽样的 20 名学生中随机抽取 2 名学生，记这 2 名学生中第 5 题答对的人数为X，求 X 的分布列和数学期望；图2图1AB EA BFCDD CEF4（）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设 为第 题的实测难度，并定义统iP计 量 ，若 ，本次测试的难度2221()()()nSPPn 0.5S预估合理，否则不合理，试检验本次测试对难度的预估是否合理20 （本小题满分 12 分）已知圆 ，点 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线2:(1)Cxy(1,0)ACAP交 于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹为曲线 PQQE（）求曲线 的方程；E（）若直线 与曲线
8、 相交于 两点， 为坐标原点，求 面:lkmE,MNOMON积的最大值21 （本小题满分 12 分）已知函数 2Rxfxaea（）若 ，求函数 的单调区间；0f（）若对任意的 ， 在 上恒成立，求实数 的取值ln1b0,xb范围请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑22 （本小题满分 10 分）选修 ：参数方程与极坐标选讲4在直角坐标系 中，直线 过点 ，其倾斜角为 ，圆 的参数方程为xoyl3,4M45C（ 为参数） ，再以原点为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并2csinxy x使得它与直角坐标系 有相
9、同的长度单位xy（）求圆 的极坐标方程；C（）设圆 与直线 交于 A、B，求 的值l B23 （本小题满分 10 分）选修 ：不等式选讲45已知 ， ，记关于 的不等式 的解集为 |fxa|3|gxxxfxgM（）若 ，求实数 的取值范围；3Ma（）若 ，求实数 的取值范围1,数学（理科）参考答案一、 选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C C A A B C B B D A D二、填空题：513 14 1590 16 13232a三、解答题：17解：（）由正弦定理： ，又由已知 ，sinibAB3cosinabAB所以 ，3 分3cosiaA， 因为
10、，所以 6 分tn(0,)3（）由正弦定理得， ，则 ，1sin24ABCSbcbc12bc中，由余弦定理， ，ABC 2os43a则 10 分26bc故 ，214bc5c所以 的周长为 122a分18.解：（）证明：由已知得四边形 ABFE 是正方形，且边长为 2，在图 2 中， AF BE，由已知得 AF BD， BE BD=B， AF平面 BDE2 分又 DE平面 BDE， AF DE，又 AE DE， AE AF=A， DE平面 ABFE，5 分 （）在图 2 中， AE DE， AE EF， DE EF=E，即 AE面 DEFC，在梯形 中，过点 作 / 交 于点 ，连接 ，DEFC
11、DMFCCE易得 ， ，则 DC CF，则 ， ，M162过 E 作 EG EF 交 DC 于点 G，可知 GE， EA， EF 两两垂直，以 E 为坐标原点，以分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，7 分,A则13(20),(,)(0,3)(,),2BCD,132,.C设平面 ACD 的一个法向量为 ，(,)nxyz由 得 取 得 9 分 0nAD3012z1x(,3)n设 ，则 ，得Pm(,)2m2CPm设 CP 与平面 ACD 所成的角为 ,6252sinco, .0357(1)mCPn所以 12 分23A19解：（）因 为 20 人 中 答 对 第 5 题 的
12、人 数 为 4 人 ，因 此 第 5 题 的 实 测 难 度 为 2 分40.2所 以 ， 估 计 240 人 中 有 人 实 测 答 对 第 5 题 38分（） 的 可 能 取 值 是 0， 1， 2X； ； 6 分2160C()9P16420C3()95PX240C3()95PX的 分 布 列 为 ：0 1 2P293597 分8 分12338209595EX（）将抽 样 的 20 名 学 生 中 第 题 的 实 测 难 度 ， 作 为 240 名 学 生 第 题 的 实 测 难 度 i i2 22(.8)(.0)(.7)(.76)(.04)S11 分1因 为 ，0.2.5所以，该次测试的
13、难度预估是合理的12 分20.解：（）点 在线段 的垂直平分线上， QAP|AQP又 ， 2|23CP|23|CC分曲线 是以坐标原点为中心， 和 为焦点，长轴长为 的椭圆E(1,0)(,)3设曲线 的方程为 ， 2xyabca2b曲线 的方程为 53分（）设 12(,)(,)MxyN7联立 消去 ，得 213ykxmy22(3)6360kxkm此时有 由一元二次方程根与系数的关系，得27480， 7 分126kx13xk 222 6| mMN2214(3)km原点 到直线 的距离 ，Ol2|1dk 10 分1|2MNS 26(3)由 ，得 又 ，由基本不等式，得0230km226()6ON当
14、且仅当 时，不等式取等号 面积的最大值为 12 分M6221.解：（1）由题意， 21xxfxaeae. 2 分2xe1x（）当 时， ，令 ，得 ； ，得 ，0axf 0f0f1x所以 在 单调递增， 单调递减；3 分f,（）当 时， ，令 ，得 ； ，得 或1af1xafa，1x所以 在 单调递增， ， 单调递减，5 分fx,（）令 ， ，当 时， ，21xgaeae0x210xe单调递增，则 ，6 分m()xge则 对 恒成立等价于 ，lnbx,maxln1bg即 ，对 恒成立.7 分xe（）当 时， ， ， ，此时 ，0,ln10bxxeln1eb不合题意，舍去.8 分（）当 时，令
15、， ，bhx,8则 ，其中 ， ， 211xxbbehxe0xe,令 ，则 在区间 上单调递增，2,0xpp,当 时， ，所以对 ， ，则 在phhx上单调递增，故对任意 ， ，即不等式0,x0hx在 上恒成立，满足题意. ln1xbe,10 分当 时，由 ， 及 在区间 上单调递01pbpbep,增，所以存在唯一的 使得 ，且 时， .,x0x0,x0x从而 时， ，所以 在区间 上单调递减，0,xhh则 时， ，即 ，不符合题意.ln1xe综上所述， . 121b分22解：（）消去参数可得圆的直角坐标方程式为 2 分224xy由极坐标与直角坐标互化公式得 2cosinp化简得 . 5 分4sinp（）直线 的参数方程 （ 为参数） ， 6 分l345sixtyt即 （ 为参数）代入圆方程得： ， 8 分234xty 2590tt设 、 对应的参数分别为 、 ，则 ， ，AB1t212t12t于是 10 分12|M|t|923解：（）依题意有： ， 1 分3a若 ，则 ， ，32a若 ，则 ， ，0202若 ，则 ，无解， 4 分33a综上所述， 的取值范围为 5 分,（）由题意可知，当 时 恒成立，1xfxg恒成立，即 ，当 时恒成立， |x a1, 10 分2a
