1、1本章总结提升 问题 1 抛物线的平移抛物线 y ax2经过怎样的平移可以得到抛物线 y a(x m)2 k?例 1 已知某抛物线和坐标轴的交点坐标分别为(3，0)，(1，0)和(0，3)，回答下列问题：(1)求该抛物线的函数表达式；(2)请对该抛物线给出一种平移方案，使平移后的抛物线经过原点2【归纳总结】问题 2 二次函数的图象及性质结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、顶点坐标，说明二次函数在什么情况下取得最大(小)值例 2 二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象如图 1T1 所示，有下列说法：2 a b0；当1 x3 时， y0；3若点( x1， y1)，
2、( x2， y2)在函数图象上，当 x1 x2时， y1 y2；9 a3 b c0.其中正确的是( )图 1T1A BC D【归纳总结】字母 项目 字母的符号 图象的特征a0 开口向上aa0 开口向下b0 对称轴为 y 轴bab0( b 与 a 同号) 对称轴在 y 轴左4侧ab0( b 与 a 异号) 对称轴在 y 轴右侧c0 经过原点c0 与 y 轴正半轴相交cc0 与 y 轴负半轴相交b24 ac0与 x 轴有唯一交点(顶点)b24 ac0与 x 轴有两个不同交点b24 acb24 ac0与 x 轴没有交点当 x1 时， y a b c当 x1 时， y a b c若 a b c0，即
3、x1 时， y0特殊关系若 a b c0，即 x1 时， y0问题 3 求二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的表达式的方法有哪些？例 3 已知一条抛物线与 x 轴的交点是 A(2，0)， B(1，0)，且经过点 C(2，8)(1)求该抛物线的函数表达式；(2)求该抛物线的顶点坐标5【归纳总结】用待定系数法求二次函数的表达式方法 适用条件及求法一般式 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数的表达式为y ax2 bx c，将已知三个点的坐标代入，求出 a， b， c 的值顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值(或最小值)，设所求二次函数的表达式为 y a(x m)2 k，将已
4、知条件代入，求出待定系数 a，最后将表达式化为一般形式交点式若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为( x1，0)，( x2，0)，设所求二次函数的表达式为 y a(x x1)(x x2)，将第三点的坐标( m， n)(其中m， n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数 a，最后将表达式化为一般形式问题 4 二次函数与一元二次方程的关系结合抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的位置关系，说明方程 ax2 bx c0 的根的各种情况例 4 2016荆门若二次函数 y x2 mx 的图象的对称轴是直线 x3，则关于 x 的方程x2 mx7 的解为( )A x10， x26 B x1
5、1， x27C x11， x27 D x11， x27例 5 已知抛物线 y x22( m1) x m27 与 x 轴有两个不同的交点(1)求 m 的取值范围；(2)若抛物线与 x 轴交于 A， B 两点，点 A 的坐标为(3，0)，求点 B 的坐标6【归纳总结】抛物线 y ax2 bx c 与 x轴的位置关系 判别式的值的情况一元二次方程ax2 bx c 0 的根的情况抛物线与 x 轴有两个交点 b24 ac0 方程有两个不相等的实数根抛物线与 x 轴有一个交点 b24 ac0 方程有两个相等的实数根抛物线与 x 轴没有交点 b24 ac0.又二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴的交
6、点坐标为(1，0)，(3，0)，当1x3 时，y0，故错误；抛物线的对称轴为直线 x1，开口向上，若点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在函数图象上，当 1y2，故错误；二次函数 yax 2bxc 的图象过点(3，0)，当 x3 时，y0，即 9a3bc0，故正确故选 B.例 3 解析 本题可用待定系数法求抛物线的函数表达式，求该抛物线的顶点坐标可11将表达式配方成顶点式解：(1)设这个抛物线的函数表达式为 yax 2bxc，由抛物线过 A(2，0)，B(1，0)，C(2，8)三点，得 解得4a 2b c 0，a b c 0，4a 2b c 8， ) a 2，b 2，c 4.)所求抛物线的
7、函数表达式为 y2x 22x4.(2)y2x 22x42(x 2x2)2(x )2 ，12 92该抛物线的顶点坐标为( ， )12 92点评 求抛物线的顶点坐标除了可以将一般式配方成顶点式外，还可以直接运用顶点坐标公式( ， )求得b2a 4ac b24a例 4 答案D例 5 解析 (1)根据 b24ac0 确定 m 的取值范围；(2)可以把 x3，y0 代入表达式，求出 m 的值，但要注意 m 的值应符合(1)中的要求解：(1)抛物线 yx 22(m1)xm 27 与 x 轴有两个不同的交点，方程 x22(m1)xm 270 有两个不同的实数根，b 24ac0，即 4(m1) 24(m 27
8、)0，解得 m4.(2)把 x3，y0 代入表达式，得96(m1)m 270，即 m26m80，解得 m12，m 24.m4，m2，函数表达式为 yx 22x3.令 y0，则 x22x30，解得 x13，x 21，点 B 的坐标为(1，0)例 6 解：(1)由题意得 10a b 30.4，20a b 30.8， )12解得 即 a 的值为 0.04，b 的值为 30.a 0.04，b 30. )(2)当 0t50 时，设 y 与 t 之间的函数表达式为 yk 1tn 1，把点(0，15)和(50，25)的坐标分别代入 yk 1tn 1，得 解得15 n1，25 50k1 n1， )k115，n
9、1 15.)y 与 t 之间的函数表达式为 y t15；15当 50t100 时，设 y 与 t 之间的函数表达式为 yk 2tn 2，把点(50，25)和(100，20)的坐标分别代入 yk 2tn 2，得 25 50k2 n2，20 100k2 n2， )解得 k2 110，n2 30. )y 与 t 之间的函数表达式为 y t30.110由题意得，当 0t50 时，W20000 (400t300000)3600t，(15t 15)36000，当 t50 时，W 最大值 180000；当 50t100 时，W(100t15000) (400t300000)(110t 30)10t 2110
10、0t15000010(t55) 2180250.100，当 t55 时，W 最大值 180250.180000180250，当 t55 天时，W 最大，最大值为 180250.例 7 解：(1)14(2)二次函数 yx 2bx(b0)的图象与 x 轴交于点 E，E(b，0)，OEb，EA4b.OEEAb(b4)b 24b(b2) 24.当 b2 时，OEEA 有最大值，其最大值为 4.此时二次函数的表达式为 yx 22x.(3)如图，过点 D 作 DGMN，垂足为 G，过点 F 作 FHCO，垂足为 H.13DMNFOC，MNCOt，DGFH2.D ，(b2， b24)N ，即 N( ， )(b2 t2， b24 2) t b2 8 b24把 x ，y 代入 yx 2bx，t b2 8 b24得 b ，解得 t2 .8 b24 (t b2 )2 t b2 2t0，t2 .2
