1、- 1 -四川省眉山一中办学共同体 2019 届高三数学 10 月月考试卷 文（含解析）一、选择题（共 60 分，每小题 5 分，每个小题有且仅有一个正确的答案）1.已知集合 ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解一元二次不等式化简 B，再由交集运算得答案【详解】A=1，2，3，4，5，B=x|（x-2） （x-5）0=x|2x5，而 3，4B，AB=3，4，故选：B【点睛】本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题2.复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法法则进行运算即可.【详解】 ，故选 C.【点睛】本题
2、考查复数的除法运算，属基础题.3.设向量 , 满足 ， ，则 =（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 5【答案】A【解析】【分析】- 2 -给已知式子两边同时平方，然后两相减即可.【详解】由已知可得 ，两束相减可得 =1.故选 A.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，属基础题.4.若角 的终边经过点 ，则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为角 的终边经过点 ，所以 ，所以 .5.已知 ，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的单调性判断即可.【详解】 由函数 在 单调递增可知 ，由函数 在 单调递增可知 ，故 .选 D.【点睛】本题考查
3、幂函数的单调性，属基础题.6.如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则 3 个数构成一组勾股数的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】- 3 -【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可【详解】从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，有（1，2，3） ， （1，2，4） ， （1，2，5） ，（1，3，4） ， （1，3，5） ， （1，4，5） （2，3，4） ， （2，3，5） ， （2，4，5） ， （3，4，5）共 10种，其中只有（3，4，5）为勾
4、股数，故这 3 个数构成一组勾股数的概率为 故选：C【点睛】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题7.函数 的零点个数是 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】根据零点的判断定理，即可求出函数 f（x）的零点个数【详解】：f（x）=e x+3x 为增函数，f（0）=10，f（-1）=e -1-30，在（-1，0）内函数 f（x）存在唯一的一个零点，即零点的个数为 1 个，故选 B.【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，函数零点的判断条件是解决本题的关键8.已知函数 ，且 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解
5、析】【分析】利用分段函数，求出 a，再求 f（6-a） - 4 -【详解】由题意，a1 时，2 -1 -2=-3，无解；a1 时，-log 2（a+1）=-3，=7，f（6-a）=f（-1）=2 -1-1-2=- 故选：A【点睛】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础9.已知 是偶函数，它在 上是减函数，若 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：偶函数 在 上是减函数，则在 上为增函数，由 可知Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- to download image : http:/
6、qbm-images.oss-cn- B 正确考点：偶函数的单调性及其运用【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- to download image : http:/qbm-images.oss-cn- y轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解10.已知侧棱长为 的正四棱锥 PABCD 的五个顶点都在同一个球面上，且球心
7、 O 在底面正方形 ABCD 上，则球 O 的表面积为（ ）- 5 -A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用已知条件求出球的半径，然后求解球的表面积【详解】侧棱长为 的正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点都在同一球面上，且球心 O 在底面正方形 ABCD 上，可得APC=90，AC 是球的直径，侧棱长为 ，所以 AC=2，球的半径为 r=1，所以球 O 的表面积为：4r 2=4故选：D【点睛】本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力11.函数 与 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A. Failed to download image : htt
8、p:/qbm-images.oss-cn- B. Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- C. Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- D. Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- A 和 B 的对数函数图象正确，由二次函数的图象推出矛盾，所以得- 6 -到 A 和 B 错误；同理假设 C 和 D 的对数函数图象正确，根据二次函数图象推出矛盾，得到 C错误，D 正确【详解】对于 A、B 两图， ，而 ax
9、2+bx=0 的两根为 0 和 ，且两根之和为 ，由图知0 1 得-1 0，矛盾，对于 C、D 两图，0 1，在 C 图中两根之和 -1，即 1 矛盾，C 错，D 正确故选：D【点睛】本题考查学生会利用反证法的思想解决实际问题，要求学生掌握二次函数和对数函数的图象和性质12.已知可导函数 的导函数为 ， ，若对任意的 ，都有 ，则不等式 的解集为（ ）A. (0,+) B. C. D. (,0)【答案】A【解析】【分析】根据题意，设 g ，对 g（x）求导分析可得 g（x）单调性，由 f（0）的值可得g（0）=2018；原问题可以转化为 g（x）g（0） ，由函数 g（x）的单调性分析可得答案
10、【详解】根据题意，设 ，其导数 ，又由对任意的 xR，都有 f（x）f（x） ，则有 g（x）0，则函数 g（x）在 R 上为减函数，又由 f（0）=2018，则 =2018，f（x）2018e x 2018g（x）g（0） ，又由函数 g（x）为减函数，则有 x0，即不等式的解集为（0，+） ；- 7 -故选：A【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的应用，构造 g（x）是解题关键二、填空题（共 20 分，每小题 5 分）13.若函数 ，则 _【答案】【解析】【分析】分别利用求导法则（ 及（x n）=nx n-1求出 f（x） ，把 x=1 代入 f（x）中即可求出 f
11、（1）的值【详解】 把 x=1 代入 f（x）中得 f（1）=1-2f（1）+3，f (1) 故答案为 【点睛】本题考查学生灵活运用求导法则求函数的导函数，会利用自变量的取值求出函数所对应的值，是一道中档题14.已知圆 ： , 则圆 在点 处的切线的方程是 _.【答案】【解析】【分析】先求出 kOA= ，从而圆 O 在点 处的切线的方程的斜率 ，由此能出圆 O 在点处的切线的方程【详解】k OA= ，圆 O 在点 处的切线的方程的斜率 ，圆 O 在点 A 处的切线的方程 ，整理，得 - 8 -即答案为 .【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题.15.已知 是定义域为 的奇函数，满足 若
12、，则_.【答案】2【解析】【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是 4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可【详解】f（x）是奇函数，且 f（1-x）=f（1+x） ，f（1-x）=f（1+x）=-f（x-1） ，f（0）=0，则 f（x+2）=-f（x） ，则 f（x+4）=-f（x+2）=f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=-2，f（4）=f（0）=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0-2+0=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1
13、）+f（2）+f（3）+f（4）+f（45）+f（46）=f（1）+f（2）=2+0=2，即答案为 2.【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键16.已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积为 ，则该圆锥的体积为_【答案】8【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线 ，高 ，底面圆半径 的长，代入公式计算即可.- 9 -详解：如下图所示，又 ，解得 ，所以 ，所以该圆锥的体积为 .Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- 70 分） （
14、17-21 为必做题.，22、23 为选做题）17.在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且 （1）求 A 的大小；（2）若 ，求 ABC 的面积【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得 cosB 的值，进而求得 B（2）用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，由余弦定理可得， ，即可求出 ABC 的面积.【详解】 （1）由正弦定理得 ，即 ，由余弦定理可得, 所以 ， , 又 ，所以（2） ， ，又 代入数据可得 ，所以【点睛】本题主要考查了解三角形问题考查了对正弦定理和余弦定理
15、的灵活运用， ，属于中档题18.在等差数列 中， ， - 10 -（ ）求数列 的通项公式（ ）设 ，求 的值【答案】(1) .(2)1112.【解析】分析：（ ）根据等差数列 ， 列出关于首项 、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，从而可得数列 的通项公式；（ ）由（ ）知 ，利用分组求和法，结合等差数列的求和公式与等比数列的求和公式求解即可.详解：（ ）设等差数列 的公差为 ，由已知得 ，解得 ， ，即 （ ）由（ ）知 ，点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的求和公式，以及利用“分组求和法”求数列前 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前 项和常见类型有两
16、种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.19.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- 11 -求 40 名工人完成生产任
17、务所需时间的中位数 ，并根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工人数填入下面的列联表：超过 不超过 合计第一种生产方式第二种生产方式合计根据列联表能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附： ， 【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论【详解】 （1）由茎叶图数据得到 ；第一种生产方式的平均数为 ，第二种生产方式平均数为 ， ，所以第一
18、种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，第二种生产方式的效率更高.（2）列联表为Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- ，- 12 -有的把握认为两种生产方式的效率有差异.【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题20.在如图所示的几何体中，四边形 是正方形， 平面 ， ， 分别是线段 ，的中点， Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- 平面 ；（2）求点 到平面 的距离【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)取 中点 ，连接 ,易证四边形
19、为平行四边形，从而 ，所以 平面 ；（2） 平面 , 到平面 的距离等于 到平面 的距离,利用等体积法构建所求距离的方程即可.试题解析：（1）取 中点 ，连接分别是 中点, ,为 中点， 为正方形， , 四边形 为平行四边形平面 ， 平面 ， 平面（2） 平面 , 到平面 的距离等于 到平面 的距离,平面 ， , ,在 中 ，平面 ， , , , 平面 ，,则 为直角三角形， ,设 到平面 的距离为 ，则 到平面 的距离 .- 13 -21.已知函数 .（1）若函数在点 处的切线与直线 平行，求实数 的值；（2）若对任意 ，都有 恒成立，求实数 m 的取值范围.【答案】 （1）1；（2）【解析
20、】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为 在 x1，e上恒成立，令 g(x) ，x1，e，根据函数的单调性求出 g（x）的最大值，从而求出 m 的范围即可.【详解】 （1）由题知： ，函数在 处的切线斜率为 2，即 ，所以 .（2）由题知：Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- to download image : http:/qbm-images.oss-cn- 即Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- to
21、download image : http:/qbm-images.oss-cn- 令Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- 14 - 令 g( x)0，则Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- g( x)0，则Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- to download image : http:/
22、qbm-images.oss-cn- to download image : http:/qbm-images.oss-cn- to download image : http:/qbm-images.oss-cn- Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- 中, 以 为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系, 取相同的长度单位, 已知曲线 的极坐标方程为 , 直线 的参数方程为 ( 为参数).（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程.（2）若点 ，直线 与曲线 相交于 , 两点, 求 的值.【答案】 （1） ， ；（2）-
23、15 -【解析】【分析】（1）曲线 C 的极坐标方程为 ，即 2=2 sin，利用 2=x2+y2，y=sin，即可化为直角坐标方程直线 l 的参数方程为 （t 为参数）消去参数 t 可得普通方程（II）把直线 l 的方程代入圆的方程可得：t 2-3 t+4=0，利用根与系数的关系可得PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|【详解】(1)曲线 的极坐标方程为 ,即 ,可得直角坐标方程: .由 ( 为参数)消去参数 可得普通方程: .(2)把直线 的方程代入圆的方程可得: ,则 , , .【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相交、一元二次方程的
24、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）设函数 .当 时， ，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）当 a=2 时，解不等式|2x+2|-26 得-5x3，即可求不等式 f（x）6 的解集；（2）当 xR 时，f（x）+g（x）=|2x+a|-a+|2x-1|2x+a+1-2x|-a=|a+1|-a，当 时等号成立，所以当 xR 时 f（x）+g（x）3 等价于|a+1|-a3，即可求 a 的取值范围【详解】 （1）当 时， .解不等式 ，得 .- 16 -因此， 的解集为 . （2）当 时，当 时等号成立，所以当 时， 等价于 . 当 时，等价于 ，无解.当 时，等价于 ，解得 .所以 的取值范围是 .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
