1、1南京市、盐城市 2019 届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分 160 分，考试时间 120 分钟)参考公式锥体的体积公式： ，其中 为底面积, 为高.13VShh一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 .不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答题 纸 的 指 定 位 置 上 .1.若集合 ， ，则 = (,A,2BAB2.设复数 （其中 为虚数单位） ，若 ，则实数 的值为 zaii 2za3.某工厂生产 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，现用分层抽样的方,C2:35法抽取一个容量为 的样本，其中
2、样本中 型号产品有 件，n16那么此样本的容量 = 4.从 中选 个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是1,23偶数的概率为 5.如图所示流程图中，若输入 的值为 ，则输出 的值为 x4c6.若双曲线 的离心率为 ，则实数 的值为 21xym2m7.已 知 为定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 且 当 时，fR0x，则 的 值 为 +xfelnf8.已知等比数列 为单调递增数列，设其前 项和为 ，若 ， ，则 的值为annS2a3=7S5a 9.如图， 平面 ， ， ， ， ，PABCA4P3AC1B分别为 的中点，则三棱锥 的体积为 ,EF, BEF10.设 ，点 ，过点 引圆347xy2
3、2+=0xyr的两条切线 ，若 的最大值为 ，则 的值为 ,PAB3r11.设函数 ，其中 .若函数 在 上恰有 个零点，则 的()sin)3fx0fx0,2开始输入 x是否结束02cx输出第 5题2xC第 9 题ABPEF2取值范围是 12.若正实数 满足 ， ，则 的最大值为 ,abc2ab2cabc13.设函数 ， 为坐标原点， ， ，对函数图象320,fxxO3,1A,0Ca上的任意一点 ，都满足 成立，则 的值为 BABCa14.若数列 满足 ， ，其中 ，且na141243,nnaa412nnN对任意 都有 成立,则 的最小值为 Nm二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解
4、答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. (本小题满分 14 分)在 中，设 分别为角 的对边，记 的面积为 ，若 .ABC,abc,ABCABCS2ABC（1）求角 的大小；（2）若 ， ，求 的值.7c4os5a16. (本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 中， 分别是棱 上的点(其中点 不同于点1ABC,DE1,BCD)，且 ， 为棱 上的点， 于点 .CDEF1AF求证：(1)平面 平面 ；1(2) 平面 .1/A17. (本小题满分 14 分) 盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进第 16 题3行了
5、大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客.某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数 ，其中 为每天260ln42,1xfxmmRx的时刻，若凌晨 点时，测得空气质量指数为 .69（1）求实数 的值；（2）求近期每天在4,22时段空气质量指数最高的时刻.（参考数值： ）ln61.818. (本小题满分 16 分)已知椭圆 的两焦点之间的距离为 2，两条准线间的距离为 ，2:10xyCab 8直线 与椭圆交于 两点.lkmRPQ、（1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆的左顶点为 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， .AA
6、1k2若 ，求 的值；012k若 ，求实数 的值.124m19. (本小题满分 16 分) 若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点.(yfx0 0x()yfx4设函数 .32()1fxtR（1）若函数 在 上无极值点，求 的取值范围；(0,)t（2）求证：对任意实数 ，函数 的图象总存在两条切线相互平行； t()fx（3）当 时，函数 的图象存在的两条平行切线之间的距离为 ，求满足此条=t()fx 4件的平行切线共有几组.20. (本小题满分 16 分) 已知数列 , 其中 .naN（1）若 满足 . 1+10nnaqN， 当 求 的值；2, q且 时 ， 4 若存在互不相等
7、的正整数 ，满足 ，且 成等差数列，求,rst2srt,rsta的值；（2）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ， ，nanbnnc+2=3,nbN若 恒成立，求 的最小值 .2121+2, , ak且 k南京市、盐城市 2019 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.51. 2. 3. 4. 5. 6. 1,18013467. 38. 9. 10. 11. 12. 13. 636154,687214. 8二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域
8、内.15解：（1）由 ，得 ,所以 ,因为 ，所以2SABCsincosbAtan1A0,6 分4A（2） 中， ,所以 ，所以C4cos53si510 分72siniincon10BAB由正弦定理 ，得 ，解得 siiaa=5a14 分（评分细则：第一问解答中不交代“ ”而直接得到“ ”的，扣 1 分；第二0,A4A问解答中不交代“由正弦定理得的” ，扣 1 分.）16证明：（1）在直三棱柱 中， 平面 . . CB1BC. .2 分因为 平面 ，所以 ,又因为 ，在平面 中， 与ADBC1DE11B相交，所以E平面 ，又因为 平面 ,所以平面 平面 .1AAD. .6 分(2) 在直三棱柱
9、 中， 平面 . . 11B1C. . . 8 分因为 平面 ,所以 ,又因为 ，在平面 中1AF1BCF1B1BC，所以B平面 , . . 10分在（1）中已证得 平面 ，所以 ，又因为 平面 ，AD1B/1FAD1AFDE平面 ,所以 平面 . AE/1FE. . . 14 分6（评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱 与底面垂直” ，从而得到“1B和 ”，如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的，各扣 2 分；第二1BAD1F问中证明线面平行时若不交代“ 平面 ”，扣 2 分.）1ADE17 （1）由题 ，代入 ，解得629.f60ln4,1xfxmmR5 分2m（2）由已知函数
10、求导得： )14(260)2()(2)(2 xxf令 得 ，0)(xf129 分)1,4(x12x)2,(fx+=0f A极大值 A所以函数在 时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为 12 时. 12x12 分答：（1）实数 的值为 12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为 12 时.m.14 分（评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣 3 分；最后未给出“答”再扣 2 分.）18解：（1）椭圆 的离心率为 ，两准线间的距离为 得 ，所以C12cea28ac4， ，所以 ，所以椭圆的方程为 .2ac23b2143xy3 分（2）设 ，由于 ，则 ，由 得 ，0(,)Pxy0
11、m0(,)Q20220034xy5 分所以 20200012 34=xyykxx8 分（3）由（1）得 .,A方法一：设 ，设直线 的方程为 ： ，联立 ，消1(,)PxyPA12ykx2143xyk7去 ，得 ，所以 ，y222111(34)60kxk21634Akx10 分所以 ， 代入 得 ，所21168xk 1yk11234ky以 12 分2211(,)34P由 得 ，整体代换kk得 13 分2112(,)Q设 ，由 三点共线得 ，即0MmP、 、 /PMQ，化简得 ，所以2 211112468()()334kkm2164=0k16 分=方法二：设 ， ，联立 ，消去 ，得1(,)Px
12、y2(,)Q21:xylky，所以 ，22(34)840kmk228+34mx10 分1221x而 ， 22111212 1+4kxxkxyk 13 分化简得 ，即 ，显然 ，所以2234164mkk220mk20k，解得 或 （舍去）此时 2+0=1 ，16 分19. 解：（1）由函数 ，得 ，由 ，得 ，或32()1fxt2()3fxtx()0fx，23xt因函数 在 上无极值点，所以 或 ，解得 或 . ()f0,1） 203t1t0t32t4 分8（2）方法一:令 ，即 ， ，当 时，23=fxtxp230txp2=41tp243t，此时 存在不同的两个解 .020t 12,8 分（方
13、法二：由（1）知 ，令 ，则 ，所以2()3fxtx()f2310xt，即对任意实数 ， 总有两个不同的实数根 ，所以不论 为2()0t1 2,xt何值，函数 在两点 ， 处的切线平行.(fx1x28 分）设这两条切线方程为分别为 和232113+ytxtx，若两切线重合，则 ,即2323+yxtxt32321=+1txt，即 ，而 = ，化121+21 2xx12简得 ，此时 ，与 矛盾，所以，12=9tx222111409tx12x这两条切线不重合，综上，对任意实数 ，函数 的图象总存在两条切线相互平t()fx行10 分（3）当 时 ， ，由（2）知 时，两切线平行.设 ,=t32()+1
14、fx()36f12+=x3211,+Ax,不妨设 ，322,1Bxx过点 的切线方程A为 11 分32116yx所以，两条平行线间的距离，化简得23221112211 2399xxxdx ，2611=+x13 分令 ，则 ，即 ，即210231922191，显然 为一解， 有两个异于 的正根，所以8=80=9这样的 有 3 解，而 ，所以211212=0, , =xxx有 3 解，所以满足此条件的平行切线共有 3 组 1x.16 分20解：（1）由 ， ， ，累加得 .43a32a21a48a3 分（2）因 ，所以 ， ， ，当 时， ，满足11nnq 21nnq 21qna题意； 当 时，累
15、加得 ，所q11nnaaq以 5 分1nna若存在 满足条件，化简得 ，即 ，,rst2srtq22rstsrtsqq此时 （舍去）1q7 分综上所述，符合条件 的值为 1. q8 分（2）由 可知 ,两式作差可得： ，又*2,3Nnbcn 31nbc 123nnb由 ，可知 故 ，所以 对一切的4,12 74123nb12恒成立11 分*N对 ， 两式进行作差可得 ,123nn n12 123nna又由 可知 ，7,4b3,43a故 13 分)(,12ann又由 )(121213 nna)2()( 1121nnnaa,所以 221nn 232a，15 分所以当 时 ,当 时 ,故 的最小值为
16、 .5|21nn13|22nnak51610附加题答案21（ ）解：设直线 上一点 ，经矩阵 变换后得到点 ，Al(,)xyM(,)xy所以 ，即 ，因变换后的直线还是直线 ，将点 代入直 01daxyad l(,)xy线 的方程，l于是 ，即 ，所以 ，解得 ，2()30axdy(21)30axdy21ad321ad6 分所以矩阵 的特征多项式 ，M0()()01af add解得 或 ，所以矩阵的 的特征值为 与 .adM32110 分21（ ）解：由 ，得 ，所以 ，所以圆 的普通方程B2cos2cos20xyC为 ，圆心 ，半径 ，2(1)xy(1,0)C1r3 分又 ，消去参数 ，得直
17、线 方程为 ，321xtytl320xy6 分所以圆心到直线 的距离 ，所以直线 被圆 截得的弦长为l221(3)dlC. 21()310 分1121.（ ）因 ，所以 ，C1xyz2224xyzxyz同理 ，22，5 分zxyx三式相加，得 ，22()6yzxyz）所以 ，当且仅当 取等，即 ，23xyz22=x1xyz所以 的最小值为 3. 2x10 分22.解：（1）因 底面 ，且底面 为矩形，所以 两两垂直，PABCDAB,ABDP以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，,xyz又因 ， ，所以 ， ， ， ，2B1(0,)(2,0)(2,10)C(,)，2 分(0,)P因 棱 的
18、中点，所以 .所以 ， ，E2(,0)E(,1)2E(0,12)PD所以 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为16cos, 322CPD EC6 分63（2）由（1）得 ， ， ，2(,1)EC(0,1)BC(2,0)D设平面 的法向量为 ，所以 ，B11(,)nxyz1120xyz令 ，则 ，所以面 的一个法向量为 ，1x1zBEC1(,)n设平面 的法向量为 ，所以 ，DEC22(,)nxyz2200xyz12令 ，则 ，所以面 的一个法向量为 ，2z21yDEC2(0,1)n所以 ，由图可知二面角 为钝角，123cos,2n BECD所以二面角 的余弦值为 . BEC310 分23.（1）解：在 中，012 112312()nnnnaaCa令 ，则 ，由 ， ，解得 . nC23353 分（2）假设 ， ， ， ， 是公差为 2 的等差数列，则 1a23 ka21ka当 时， , 此时假设成n=,5立4 分当 时，若 ， ， ， ， 是公差为 2 等差数k1a23 ka列5 分由 ， ，012121231()kkkkkkaCC 对该式倒序相加，得 ，所以 ，()aa112ka1k根据、可知数列 是等差数列.n10 分
