1、- 1 -天门市 2018-2019 学年度高一年级 11 月考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 ，则有A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合 A，利用元素和集合之间的关系，集合和集合之间的关系进行判断即可【详解】：A=x|x 2-1=0=-1，1，-1，1A，即 A，B,C 错误，D 正确 ，故选：D【点睛】本题主要考查元素和集合关系的判断，集合和集合之间的关系，比较基础2.已知集合 ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：结合集合 , , 指的
2、是 到 之间的实数,所以 考点：集合的运算3.设全集 ，集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由全集 U=xN *|x6，可得 U=1，2，3，4，5，然后根据集合混合运算的法则即可求解- 2 -【详解】A=1，3，B=3，5，AB=1，3，5，U=xN *|x6=1，2，3，4，5，C U（AB）=2，4，故选：C【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础知识，注意细心运算4.已知函数 ，若 ，则 的值为A. B. 1 C. 2 D. 9【答案】C【解析】【分析】先求出 f（0）=2，再令 f（2）=4a，解方程 4+2a=4a，得 a 值【详解】由题知 f
3、（0）=2，f（2）=4+2a，由 4+2a=4a，解得 a=2故选：C【点睛】本题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解5.函数 的零点所在的一个区间是A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 是连续函数，且在 上单调递增，根据零点附近函数值符号相反，可采用代入排除的方法求解，故 错误，则零点定理知 有零点在区间 上，故 正确，故 错误，故 错误故选 B点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号- 3 -是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是
4、函数 在 上单调且 ，则 在 上只有一个零点.6.函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据题意有 考点：求函数的定义域7.已知集合 ， ，则A. B. （0，1） C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合 A 和 B，然后再求两个集合的交集即可【详解】集合 ， ， ，B=（0， ） ，AB= .故选：D【点睛】本题考查了交集运算以及函数的至于问题，要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域8.下列表中，纵行依次表示题号、方程及其对应的解，其中解正确的题号是 题号 方程- 4 -解 16 -2A. B. C. D.
5、 【答案】C【解析】【分析】分别计算 4 个方程，可得答案【详解】对于方程 的解为 对于方程 的解为对于方程 的解为 对于方程 的解为 故选 C.【点睛】本题考查对数方程的解法，属基础题.9.已知 ，函数 ，若 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 f（0）=f（4）可得 4a+b=0；由 f（0）f（1）可得 a+b0，消掉 b 变为关于 a 的不等式可得 【详解】因为 f（0）=f（4） ，即 c=16a+4b+c，所以 4a+b=0；又 ，即 c a+b+c，所以 a+b 0，即 a+（-4a） 0，所以-3a 0，故 故选：C【点睛】本题考查二次函数的性质及不等式，
6、属基础题10.已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满足- 5 -，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由偶函数的性质将 化为：f（log 2a） f（1） ，再由 f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出 a 的取值范围【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数，所以 f（-log 2a）=f（log 2a） ，则 为：f（log 2a） f（1） ，因为函数 f（x）在区间0，+）上单调递增，所以|log 2a| 1，解得 a 2，则 a 的取值范围是 ，故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于
7、基础题11.已知 ，则A. -2 B. 1 C. 0 D. -1【答案】C【解析】【分析】利用 f（x）+f（-x）=0 即可得出【详解】 故选 C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对数的运算法则，属于基础题12.已知函数 满足方程 ，设关于 的不等式 的解集为 M，若- 6 -，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先判断函数 f（x）的奇偶性和单调性，讨论 a0，由图象平移可得，不等式无解，从而a0，再由单调性可得， ，且 解出不等式，求其交集即可【详解】函数 f（x）=x+ax|x|， ，而 f（-x）=-x-ax|-x|=-f（x） ，则 f（x）为奇
8、函数，且为增函数，若 a0，将图象向左平移 a 个单位，得到 f（x+a）的图象，恒在 y=f（x）的图象上方，即 f（x+a）f（x）不成立；故 a0由于 ， ，则， ，且 化简得， 且 ， （a0）由于 得到 ，故有 且 ，- 7 -所以 a 的取值范围是 故选：A【点睛】本题考查分段函数的图象和性质，考查函数的单调性和运用，以及图象平移与不等式的关系，考查集合的包含关系，考查数形结合的思想方法，属于中档题二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）13.已知 ，用 表示 ，则 _【答案】【解析】【分析】由 lg2=a，lg3=b，利用对数
9、的运算性质和换底公式得到 【详解】已知 ，则即答案为 .【点睛】本题考查有理数指数幂的性质、运算则和对数的运算性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意换底公式的合理运用14.已知函数 的图象关于原点对称，则 的零点为_【答案】0【解析】【分析】根据函数的图象关于原点对称，可得 f（x）是定义在 R 的奇函数，图象必过原点，即f（0）=0，出 a 的值，得到函数 的解析式，解指数方程求求出函数的零点；【详解】由题意知 f（x）是 R 上的奇函数，所以 f（0）=0 得 a=1，即 ，令 ，解得 .即答案为 0.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用以及函数的零点，属基础题.，- 8 -15.已知
10、一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为_【答案】x|xlg2【解析】由条件得110 x ，即 xlg216.设 是定义在 上的函数，满足条件 是偶函数，当 时， ，则 ， 的大小关系是_(从小到大给出)【答案】【解析】【分析】f（x）是定义在实数集 R 的函数，满足条件 y=f（x+1）是偶函数，得出 f（x）的图象关于直线 x=1 对称，又当 x1 时，则 f（x）=2 x-1，作出函数f（x）的图象如图所示，观察图象得 ， ， 的大小关系【详解】 f（x）是定义在实数集 R 的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，f（x+1）的图象关于 y 轴对称，f（x）的图象关于直线 x=1 对称
11、，又当 x1 时，则 f（x）=2 x-1，作出函数 f（x）的图象如图所示，观察图象得：则 ， ， 的大小关系是 ，故答案为： 【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等关系、奇偶性与单调性的综合等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题- 9 -三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。17.求下列各式的值（1）指数函数 的图象经过点 ，求 的值；（2） ；（3）若 ，求 的值【答案】 （1）1；（2） ；（3）1【解析】【分析】（1）由 f（x）的图象过点 ，求出解析式，从而求
12、出 的值（2）利用有理指数幂的运算法则计算即可.；（3）化指数式为对数式求得 a，b，代入 利用对数的运算性质得答案；【详解】 （1） 的图象经过点 ， ，即 ， 于是 ，（2）原式= （3）由已知得：则【点睛】本题考查指数函数解析式的求法，有理指数幂的化简与求值，考查对数的运算性质，是基础的计算题18.以德国数学家狄利克雷（1805-1859）命名的函数狄利克雷函数定义如下：对任意的 ，研究这个函数，并回答如下问题：（1）写出函数 的值域；- 10 -（2）讨论函数的奇偶性；（3）若 ，求 的值域【答案】 （1） ；（2）偶函数；（3）【解析】【分析】（1）由解析式可得值域为0，1；（2）利
13、用奇偶性的的定义判断即可，（3）由 的定义知：当 时， 可求 的值域【详解】 （1）值域为0，1 （2）当 为有理数时，则 为有理数，则 当 为无理数时，则 为无理数，则 故当 时， ，函数为偶函数（3）由 的定义知：即当 时， 故 的值域为【点睛】本题考查分段函数及运用，考查函数的性质和运用，考查函数的单调性、奇偶性、值域等性质，考查推理能力，属于中档题19.已知集合 （1）若 ，求实数 的取值范围；（2）若 是单元素集，求 的值及集合 【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】（1）若 A=，则集合 A 无真子集，这时关于 x 的方程 ax2-3x+2=0 无实数解，- 11 -（2
14、）若 A 是单元素集，则集合 A 中仅有一个元素可分为两种情况讨论.【详解】 （1） ， 方程 无实数解若 ，方程有一解 ，不合题意 若 ，要方程 无解，则 ，即 综上可知，若 ，则 的取值范围是 （2）当 时，方程 只有一根 ， 符合题意当 时，则 ，即 ，此时，方程有两个相等实根 ，则 综上可知，当 时， ；当 时，【点睛】本题主要考查子集的性质，以及空集和真子集的定义，解题中要特别注意对系数 a的分类讨论，涉及分类讨论的思想属于基础题.20.已知函数 （1）判断 的单调性，并证明你的结论；（2）求 的最大值和最小值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由 ，用定义法来证明函
15、数的单调性；（2）利用单调性求求 的最大值和最小值【详解】 （1） 在区间 上是减函数证明：设 ， 是区间 上的任意两个实数，且 则 - 12 -由 ，得 ， ，于是 ，即所以，函数 是区间 上的减函数（2）由函数 在区间 上是减函数，所以当 时， 取最大值 ；当 时， 取最小值【点睛】本题主要考查了函数的单调性证明及应用问题，属于中档题21.某个体经营者把开始六个月试销 A、 B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资 A 商品金额（万元） 1 2 3 4 5 6获纯利润（万元） 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40投资 B 商品金额（万元） 1 2 3 4 5 6获纯
16、利润（万元） 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51该经营者准备下月投入 12 万元经营这两种产品，但不知投入 A、 B 两种商品各多少才最合算请你帮助制定一下资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大利润（结果保留两个有效数字） 【答案】分别投资 A、 B 两种商品 3.2 万元和 8.8 万元，可获最大利润 4.1 万元【解析】【分析】根据表格数据，画出散点图，从而求出函数模型，再设第 7 个月投入 A，B 两种商品的资金分别为 x 万元，总利润为 万元，求出利润函数，利用配方法，即可得到结论【详解】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在
17、直角坐标系中画出散点图（如下图） 据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系： - 13 -把 ， 代入式，得 ，解得故前六个月所获纯利润关于月投资于 A 种商品的金额的函数关系式可近似的用表示再把 ， 代入式，得 ，故前六个月所获纯利润关于月投资于B 种商品的金额的函数关系式可近似的用 表示设下月投资于 A 种商品 x 万元，则投资于 B 种商品 万元，可获纯利润：当 时， 故下月分别投资 A、 B 两种商品 3.2 万元和 8.8 万元，可获最大利润 4.1 万元【点睛】本题考查函数模型的选择与运用，考查配方法的运用根据已知数据建立数学模型的方法：画出散点图；根据点的分布特征
18、选择适当的函数模型；用待定系数法求函数模型22.已知函数 ,函数 的最小值为 .（1）求 ；（2）是否存在实数 同时满足下列条件: ；当 的定义域为 时, 值域为 ？若存在, 求出 的值；若不存在, 说明理由【答案】 （1） ；（2） 不存在，理由见解析【解析】试题分析：（1）设 ，利用换元法，可将已知函数转化为一个二次函数，根据二次函数在定区间上的最值问题，即可得到 的解析式；（2）由（1）中 的解析式，易得在 在 上是减函数，进而函数 的定义域为 时, 值域为 ，构造关于 的不等式组，如果不等式组有解，则存在满足条件的 的值；若无解，则不存在满足条件的的值.- 14 -试题解析：（1）因为 ,所以 ,设 ,则 ,当 时, ;当 时, ; 当 时, ,.（2）假设满足题意的 存在, 因为 在 上是减函数, 因为 的定义域为 , 值域为 , ,相减得 ,由但这与 ;矛盾所以满足题意的 不存在.考点：对数函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了对数函数的性质的综合应用问题，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、函数的单调性的应用等知识点综合考查，本题的解答中熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、以及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.
