1、1高考大题标准练(四)满分 60分,实战模拟,60 分钟拿到高考主观题高分!1.已知a n是等比数列,b n满足 b1=-2,b2=5,且 a1b1+a2b2+anbn=2+(2n-3)4n.(1)求a n的通项公式和前 n项和 Sn.(2)求b n的通项公式.【解析】(1)因为 a1b1+a2b2+anbn=2+(2n-3)4n,所以 a1b1=2-4=-2,a1b1+a2b2=2+(4-3)42=18,a2b2=20,b1=-2,b2=5,a1=1,a2=4,因为a n是等比数列, =4,所以a n的通项公式为 an=4n-1,所以a n的前 n项和 Sn= = .1-41-44-13(2
2、)由 an=4n-1及 a1b1+a2b2+anbn=2+(2n-3)4n,得 b1+4b2+4n-1bn=2+(2n-3)4n n2 时,b1+4b2+4n-2bn-1=2+(2n-5)4n-1 -得,当 n2 时,4 n-1bn=2+(2n-3)4n-2-(2n-5)4n-1=(6n-7)4n-1,所以 n2 时,b n=6n-7 .又当 n=1时,b 1=-2,所以b n的通项公式为 bn=-2,=1,6-7,2.2.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 ACC1A1与侧面 CBB1C1都是菱形,ACC 1=CC 1B=60,AC=2 .2(1)证明:AB 1CC 1.(2)若三
3、棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 3,求二面角 B1-AC-C1的余弦值.【解析】(1)取 CC1的中点 O,连接 AO,AC1,B1C,B1O,由菱形的性质及ACC 1=CC 1B1=60.得ACC 1,B 1CC1为正三角形.所以 AOCC 1,B1OCC 1,且 AOB 1O=O.所以 CC1平面 AOB1,因为 AB1平面 AOB1,所以 CC1AB 1.(2)三棱锥 A-A1B1C1的体积是三棱柱 ABC -A1B1C1体积的三分之一,得四棱锥 A-BCC1B1的体积是三棱柱 ABC-A1B1C1体积的三分之二,即等于 2.菱形 BCC1B1的面积为 =22sin 60=2 .菱形
4、 11设四棱锥 A-BCC1B1的高为 h,则 2 h=2,所以 h= ,13又 AO= =h,AO平面 BCC1B1,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0, ),B1( ,0,0),C(0,-1,0).=( ,1,0), =(0,1, ),设平面 CAB1的一个法向量为 n1=(x,y,z),3则取一个法向量为 n1=( ,-3, ),3显然 n2=(1,0,0)是平面 C1CA的一个法向量.则 cos = = = .12|1|2|所以二面角 B1-AC-C1的余弦值为 .3.某公司计划购买 1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时,可以一次性额外购买几次维修服务,每次维修
5、服务费用 200元,另外实际维修一次还需向维修人员支付小费,小费每次 50元.在机器使用期间,如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数,则每维修一次需支付维修服务费用 500元,无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务,为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内的维修次数,得下面统计表:维修次数 8 9 10 11 12频数 10 20 30 30 10以这 100台机器维修次数的频率代替 1台机器维修次数发生的概率,记 X表示 1台机器三年内共需维修的次数,n 表示购买 1台机器的同时购买的维修次数.(1)求 X的分布列.(2)若要求 P(Xn)0.8,确定 n的
6、最小值.(3)以在维修上所需费用的期望值为决策依据,在 n=10与 n=11之中选其一,应选用哪个?【解析】(1)由统计表并以频率代替概率可得,X 的分布列为X 8 9 10 11 12p 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1(2)因为 P(X10)=0.1+0.2+0.3=0.60.8,所以 n的最小值为 11.4(3)记当 n=10时,在维修上所需费用为 Y1元,则 Y1的分布列为Y1 2 400 2 450 2 500 3 0003 500p 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1所以 E(Y1)=2 4000.1+2 4500.2+2 5000.3+3 0000.3+3 5000.1
7、=2 730(元).记当 n=11时,在维修上所需费用为 Y2元,则 Y2的分布列为Y2 2 600 2 650 2 700 2 7503 250p 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1所以 E(Y2)=2 6000.1+2 6500.2+2 7000.3+2 7500.3+3 2500.1=2 750(元).因为 E(Y1)0)的焦点为 F,准线为 l.已知点 M在抛物线 E上,点 N在 l上,MNF是边长为 4的等边三角形.(1)求 p的值.(2)若直线 AB是过定点 Q(2,0)的一条直线,且与抛物线 E交于 A,B两点,过 Q作 AB的垂线与抛物线 E交于 C,D两点,求四边形 AC
8、BD面积的最小值.【解析】(1)由题意知 |MF|=|MN|,则 MN l.设准线 l与 x轴交于点 H,则 MNHF,又MNF 是边长为 4的等边三角形,MNF=60,所以NFH=60,即 p=2.(2)设直线 AB的方程为 x=my+2,设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 得 y2-4my-8=0,2=4,=+2则 y1+y2=4m,y1y2=-8,|AB|= |y1-y2|= 1+2162+32=4 ,1+22+2设 C(x3,y3),D(x4,y4),5同理得|CD|=4 ,则四边形 ACBD的面积S= |AB|CD|12=8 =8 ,2+12+2令 m2+ =(2),12则
9、 S=8 =8 ,22+9+10所以 S=8 是关于 的增函数,22+9+10故 Smin=48,当且仅当 m=1时取得最小值 48.5.已知函数 f(x)= ,g(x)=x+b,其中 a0,b0.(1)若 a=1,讨论 F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.(2)若 b=2a-1,且 x1,x2是 (x)=xf(x)-g(x)的两个极值点,求证:当|x 1-x2| 时,|(x 1)32-(x 2)| -4ln 2.【解析】(1)由已知得 F(x)=f(x)-g(x)= -x-b,所以 F(x)= -1= .1-26当 01时,因为 1-x20,即 a ,得 ,32 32由 a2,所以 (x
10、)在 上递减,在 上递增,在(-a,+)上递减.(0,12)于是 (x)在 x= 处取极小值 ,在 x=-a处取极大值 (-a).12从而|(x 1)-(x 2)|=(-a)- =aln (-a)+a2+aln 2- ,14令 t=-a(2,+),则 h(t)=|(x 1)-(x 2)|=-tln t+t2-tln 2- ,14则 h(t)=2t-ln t-ln 2-1,令 G(t)=h(t)=2t-ln t-ln 2-1,则 G(t)=2- ,17因为 t(2,+),所以 G(t)=2- 0,1则 G(t)递增,所以 G(t)G(2)=3-2ln 20,即 h(t)0,所以 h(t)递增,于
11、是 h(t)h(2)= -4ln 2,即|(x 1)-(x 2)| -4ln 2.6.曲线 C1的方程为 +y2=1,曲线 C2的参数方程为 ( 为参数),曲线22 =1+C3的方程为 y=xtan , ,曲线 C3与曲线 C1,C2分别交于 P,Q两点.在平面直角坐标系 xOy中,以原点 O为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线 C1,C2的极坐标方程.(2)求|OP| 2|OQ|2的取值范围.【解析】(1)因为 x=cos ,y=sin ,所以曲线 C1的极坐标方程为+ 2sin2=1,即 2= .由 ( 为参数 ),消去 ,=1+即得曲线 C2的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1,将 x=cos ,y=sin 代入化简可得曲线 C2的极坐标方程为 =2sin .(2)曲线 C3的极坐标方程为 = (0,0|a+b|.【解析】(1)f(x)=|3x+1|+|3x-1|-1,所以-1 时,f(x)=3x+1+3x-1=6x,13由 6x0,所以|ab+1|a+b|.
