1、1专题能力提升练 四 排列组合、二项式定理(45 分钟 80 分)一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)1.从 5 个不同的小球中选 4 个放入 3 个箱子中,要求第一个箱子放入 1 个小球,第二个箱子放入 2 个小球,第三个箱子放入 1 个小球,则不同的放法共有( )A.120 种 B.96 种 C.60 种 D.48 种【解析】选 C.第一步,从 5 个不同的小球中选 4 个,共有 =5 种不同的方法;第二步,从选45出的 4 个小球中选出 1 个放入第一个箱子,共有 =4 种不同的方法 ;第三步,从剩余的 3 个14小球中选出 2 个放入第二个箱子,共有 =3 种不同的方法 ;第四步
2、,将最后 1 个小球放入第23三个箱子,共有 =1 种不同的方法 .故不同的放法共有 5431=60 种.112.(2018开封一模)(x-y) 10的展开式中,x 7y3的系数与 x3y7的系数之和等于( )A.-60 B.-120 C.-180 D.-240【解析】选 D.因为(x-y) 10的展开式中含 x7y3的项为x10-3y3(-1)3=- x7y3,含 x3y7的项为 x10-7y7(-1)7=- x3y7.由 = =120 知,x 7y3与 x3y7的系数之和为-240.3.8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为 ( )A. B. C. D.8829
3、 8829 8827 8827【解析】选 A.不相邻问题用插空法,8 名学生先排有 种排法 ,产生 9 个空,2 位老师插空88有 种排法,所以共有 种排法.29 88294.使 (nN *)展开式中含有常数项的 n 的最小值是 ( )(2+123)A.3 B.4 C.5 D.62【解析】选 C. (nN *)展开式的通项公式为 Tr+1= x2n-5r,令(2+123) (12)2n-5r=0,求得 2n=5r,可得使二项式的展开式中含有常数项的 n 的最小值是 5.5.(2018商丘二模)高考结束后 6 名同学游览我市包括日月湖在内的 6 个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同
4、学选择日月湖景区的方案有( )A. 种 B. 54种2645 26C. 种 D. 54种2645 26【解析】选 D.根据题意,分 2 步进行分析:,先 6 名同学中任选 2 人,去日月湖景区旅游,有 种方案 ,26,对于剩下的 4 个同学,每人都有 5 种选择,则 4 人有 5555=54种方案,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有 54种 .266.(2018广州一模) (1+2x)5的展开式中,x 3的系数为 ( )A.120 B.160 C.100 D.80【解析】选 A. (1+2x)5=x(1+2x)5+ (1+2x)5,因为 x(1+2x)5的展开式中含 x3的项为 x (2
5、x)2=40x3,25(1+2x)5的展开式中含 x3的项为 (2x)4=80x3.45所以 (1+2x)5的展开式中,x 3的系数为 40+80=120.7.冬季供暖开始前,需分配出 5 名水暖工去 3 个不同的居民小区检查暖气管道,每名水暖工只去一个小区,且每个小区都要有人去检查,那么分配的方案共有( )A.25 种 B.50 种 C.75 种 D.150 种【解题指南】依题意,可分两类:(3,1,1);(2,2,1);利用排列组合的知识解决即可.3【解析】选 D.根据题意,分配 5 名水暖工去 3 个不同的小区,要求 5 名水暖工都分配出去,且每个小区都要有人去检查,5 人可以分为(2,
6、2,1),(3,1,1),分组方法共有 + =2525232235种,分别分配到 3 个不同的小区,有 种情况,由分步乘法计数原理 ,可得共 25 =150 种33 33不同分配方案.8.(x2+2) 展开式中的常数项是 ( )A.12 B.-12 C.8 D.-8【解析】选 B. 的展开式的通项为 Tr+1= (-1)r=(-1)r xr-5.(1)5-取 r-5=-2,得 r=3,取 r-5=0,得 r=5.所以(x 2+2) 展开式中的常数项是- -2 =-12.35559.若(1+ )5=a+b (a,b 为有理数),则 b= ( )A.1 B.5 C.44 D.81【解题指南】由题意
7、(1+ )5=a+b (a,b 为有理数),利用二项式定理求得 b 的值.【解析】选 C.由题意(1+ )5=a+b (a,b 为有理数),由二项式定理可得,a= + 3+ 9=76,b= + 3+ 9=44.0525 45 1535 5510.(2017咸阳二模)汉中最美油菜花节期间,5 名游客到四个不同景点游览,每个景点至少有一人,则不同的游览方法共有 ( )A.120 种 B.625 种 C.240 种 D.1 024 种【解析】选 C.由于每个景点至少一人,故必有一个景点有 2 名游客,第一步,选出 2 名游客组成一组,共有 =10 种方法 ,第二步,将选出的 2 名游客看作一个整体
8、,和剩余的 3 名游客25进行排列,共有 =24 种方法 ,所以不同的游览方法有 1024=240 种.4411.(1+x)6(1+y)4的展开式中,记 xmyn项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(0,3)=( )A.9 B.16 C.18 D.244【解析】选 D.(1+x)6(1+y)4的展开式中,含 x3y0的系数是: =20,f(3,0)=20;3604含 x0y3的系数是 =4,f(0,3)=4;0634所以 f(3,0)+f(0,3)=24.12.(x2+1) 的展开式的常数项是 ( )A.5 B.-10 C.-32 D.-42【解析】选 D.由于 的通项为 Tr+1=
9、 (-2)r= (-2)r(1-2)5,故(x 2+1) 的展开式的常数项是 x2 (-2)1x-2+1 (-2)5x0=-42.(1-2)5 15 55二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)13.(2018浙江高考)二项式 的展开式的常数项是_. 【解析】通项公式为 Tr+1= ( )8-r3= 2-r ,由 8-4r=0 得 r=2,所以常数项为 2-2=7.28答案:7【加固训练】(2018渭南市二模)设 a= 2xdx,则二项式 展开式中的常数项为10 _. 【解析】a= 2xdx=x2 =1,10 10则二项式 = 的展开式中的通项公式:T r+1= (x2)6-r(2-1)6
10、(-1)5=(-1)r x12-3r,令 12-3r=0,解得 r=4.所以常数项为 =15.46答案:1514.(2018郑州一诊) 已知(1+x)(a-x) 6=a0+a1x+a2x2+a7x7,aR,若 a0+a1+a2+a6+a7=0,则a3=_. 【解析】(1+x)(a-x) 6=a0+a1x+a2x2+a7x7中,令 x=1 得,a 0+a1+a7=2(a-1)6=0,解得 a=1,而 a3表示 x3的系数,所以 a3= (-1)3+ (-1)2=-5.36 26答案:-5【加固训练】展开式中的常数项为_. (- 12)6【解析】二项式 展开式的通项公式为(- 12)6Tr+1=
11、x6-r= ,令 6- =0,解得 r=4;所以展开式中的常数项为 = .(-12)4461516答案:151615.如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 223 的长方体框架,一个建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至 B 处,则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为_. 6【解析】根据题意,最近路线,那就是不能走回头路,不能走重复的路,所以一共要走 3 次向上,2 次向右,2 次向前,一共 7 次,所以最近的行走路线共有:n= =5 040,77因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列起来,也就是 2 次向右和 2 次向前全排列,44接下来,就是把 3 次向上插到 4 次不向上之间的空当中,5 个位置排三个元素,也就是 ,35则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有 m= =1 440 种,4435所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率 p= = = .1 4405 04027答案:2716.(2018洛阳二模)在(1+x) 2(1-x)5展开式中,含 x5项的系数是_. 【解析】(1+x) 2(1-x)5=(1+2x+x2)(1-5x+10x2-10x3+5x4-x5),所以展开式中含 x5项为-x 5+2x5x4+x2(-10x3)=-x5;所以含 x5项的系数是-1.答案:-1
