1、1第三章 概率注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写
2、在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列事件中，随机事件的个数为（ ）在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得 100 米短跑冠军；在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；从标有 1，2，3，4 的 4 张号签中任取一张，恰为 1 号签；在标准大气压下，水在 4C 时结冰A1 B2 C3 D42平面上有一组平行线，且
3、相邻平行线间的距离为 3 cm，把一枚半径为 1 cm 的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（ ）A 14B 13C 12D 233某班有 50 名学生，其中男、女各 25 名，若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大（ ）A异性 B同性 C同样大 D无法确定4在区间 ,2上随机取一个数 x，cos x 的值介于 0 到 12之间的概率为（ ）A 13B 2C 12D 235已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算
4、器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1，2，3，4 表示命中，5，6，7，8，9，0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458569 683 431 257 393 027 556 488730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）A035 B025 C020 D015612 本相同的书中，有 10 本语文书，2 本英语书，从中任意抽取 3 本的必然事件是（ ）A3 本都是语文书 B至少有一本是英语书C3 本都是英语书 D至少有一本
5、是语文书7某人射击 4 枪，命中 3 枪，3 枪中有且只有 2 枪连中的概率是（ ）A B 14C 13D 128从数字 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 40 的概率为（ ）A B 2C 35D 459已知集合 9,75,31,046,8，从集合 A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件 A点落在 x 轴上与事件B点落在 y 轴上的概率关系为（ ）A P(A)P(B) B P(A)25 的次数与总试验次数的比就近似为本题结果即 1736B 选项正确12 【答案】A【解析】可求得同时落在奇数所在区域的情况有 4416(种)
6、，而总的情况有6636(种)，于是由古典概型概率公式，得 16439P故选 A二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13 【答案】 23【解析】因为球半径为 a，则正方体的对角线长为 2a，设正方体的边长为 x，2则 23ax， 23a，由几何概型知，所求的概率324VxPa正 方 体球14 【答案】 16【解析】如图所示，区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界)，区域 E 表示单位圆及其内部，因此2146P15 【答案】【解析】记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件 A，如图所示，不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径
7、 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型的概率公式得 12PA16 【答案】 23【解析】由题意可知 13SAPCBV，如图所示，三棱锥 SABC与三棱锥SAPC的高相同，因此 13SAPCBMN (PM， BN 为其高线)，又MBN，故 13A，故所求概率为 23 (长度之比)三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 【答案】 125P【解析】 a， b 都是从 0，1，2，3，4 五个数中任取的一个数的基本事件总数为N5525
8、个函数有零点的条件为 a24 b0，即 a24 b因为事件“a24 b”包含 ,， ,， ,0， ,1， 3,0， ,1， 3,， 4,0，4,1， ,， 4,3， ,，共 12 个所以事件“ a24 b”的概率为 125P18 【答案】 0.25P【解析】设 A、 B、 C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件则 P(A)0025， P(B) P(C)01，设 D 表示军火库爆炸这个事件，则有D A B C，其中 A、 B、 C 是互斥事件， P(D) P(A B C) P(A) P(B) P(C)00250101022519 【答案】 23【解析】因为 1O， 14AOBS ，所以
9、 11sinsin24AOBAB，3所以 566AOB，所以 14AOBS 的概率为5260320 【答案】 （1）见解析；（2） 23；（3）公平，见解析【解析】 （1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4表示，其他用相应的数字表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)， 4,，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共 12 种不同情况（2）甲抽到红桃 3，乙抽到的牌的牌面数字只能是 2，4，4，因此乙抽到的牌的牌面数字比 3 大的概率为 2（3）甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4，2
10、)，(4，3)，共 5 种，故甲胜的概率 152P，同理乙胜的概率 251P因为P1 P2，所以此游戏公平21 【答案】 （1） 3；（2） 56【解析】 （1）从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事件为(A1， B1， C1)，( A1， B1， C2)，( A1， B2， C1)，( A1， B2， C2)，( A1， B3， C1)，(A1， B3， C2)，( A2， B1， C1)，( A2， B1， C2)，( A2， B2， C1)，( A2， B2， C2)，(A2， B3， C1)，( A2， B3， C2)，( A3， B1， C1)
11、，( A3， B1， C2)，( A3， B2， C1)，(A3， B2， C2)，( A3， B3， C1)，( A3， B3， C2)，共 18 个基本事件由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用 M 表示“ A1恰被选中”这一事件，则M( A1， B1， C1)，( A1， B1， C2)，( A1， B2， C1)，( A1， B2， C2)，( A1， B3， C1)，(A1， B3， C2)，事件 M 由 6 个基本事件组成，因而 683PM（2）用 N 表示“ B1、 C1不全被选中”这一事件，则其对立事件 N表示“ B1、 C1全被选中”这一事件，
12、由于 12131,ABCABN，事件 由 3 个基本事件组成，所以 3186PN，由对立事件的概率公式得： 1516PN22 【答案】 （1） 4；（2） 3【解析】 （1）由于实数对( a， b)的所有取值为：(2，2)，(2，1)，(2，1)，(2，2)，(1，2)，(1，1)，(1，1)，(1，2)，(1，2)，(1，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，(2，1)，(2，1)，(2，2)，共 16 种设“直线 y ax b 不经过第四象限”为事件 A，若直线 y ax b 不经过第四象限，则必须满足 0ab，即满足条件的实数对(a， b)有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，
13、2)，共 4 种 416PA故直线y ax b 不经过第四象限的概率为 14（2）设“直线 y ax b 与圆 x2 y21 有公共点”为事件 B，若直线 y ax b 与圆 x2 y21 有公共点，则必须满足 21ba，即 b2 a21若 a2，则 b2，1，1，2 符合要求，此时实数对( a， b)有 4 种不同取值；若 a1，则 b1，1 符合要求，此时实数对( a， b)有 2 种不同取值；若 a1，则 b1，1 符合要求，此时实数对( a， b)有 2 种不同取值，若 a2，则 b2，1，1，2 符合要求，此时实数对( a， b)有 4 种不同取值满足条件的实数对( a， b)共有 12 种不同取值 136PB故直线 y ax b 与圆 x2 y21 有公共点的概率为 34
