1、1中难提分突破特训(一)1在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 .2c ba cosBcosA(1)求角 A 的大小；(2)若 D 为 BC 边上一点，且 CD2 DB， b3， AD ，求 a.21解 (1)由已知，得(2 c b)cosA acosB，由正弦定理，得(2sin Csin B)cosAsin AcosB，整理，得 2sinCcosAsin BcosAsin AcosB，即 2sinCcosAsin( A B)sin C.又 sinC0，所以 cosA ，12因为 A(0，)，所以 A . 3(2)如图，过点 D 作 DE AC 交 AB 于
2、点 E，又 CD2 DB， BAC ，所以 ED AC1， DEA . 3 13 23由余弦定理可知， AD2 AE2 ED22 AEEDcos ，解得 AE4，则 AB6.23又 AC3， BAC ， 3所以在 ABC 中 ，由余弦定理，得 a BC3 .32某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了 14 名女生和 6 名男生，这 20 名学生的测试成绩(单位：分)如茎叶图所示， 记成绩不小于 80 分者为 A 等，小于 80 分者为 B等2(1)求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；(2)如果用分层抽样的方法 从 A 等学生和 B 等学生中抽取 5 人组成“创新团队” ，现从该“创新团队
3、中随机抽取 2 人，求至少有 1 人是 A等学生的概率解 (1)由题中茎叶图知，女生成绩位于中间的两个数是 75 和 76，则女生成绩的中位数是 75.5.男生成绩的平均数为 (697678858791)81.16(2)用分层抽样的方法从 A 等学生和 B 等学生中抽取 5 人，每个人被抽中的概率是 ，520 14根据茎叶图知， A 等学生有 8 人， B 等学生有 12 人，所以“创新团队”中的 A 等学生有 8 2(人)，14B等学生有 12 3(人)，14记“创新团队”中的 2 名 A 等学生分别为 A1， A2， “创新团队”中的 3 名 B 等学生分别为 B1， B2， B3，从这
4、 5 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为( A1， A2)，( A1， B1)，( A1， B2)，(A1， B3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A2， B3)，( B1， B2)，( B1， B3)，( B2， B3)，共 10 种，其中至少有 1 人是 A 等学生的结果为( A1， A2)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， B3)，(A2， B1)，( A2， B2)，( A2， B3)，共 7 种，所以至少有 1 人是 A 等学生的概率为 .7103. 如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，点 E， F 分别是棱 CC1， BB1上的点，且 EC
5、2 FB.3(1)证明：平面 AEF平面 ACC1A1；(2)若 AB EC2，求三棱锥 C AEF 的体积解 (1)证明：取线段 AE 的中点 G，取线段 AC 的中点 M，连接 MG，GF， BM，则 MG EC BF，12又 MG EC BF，四边形 MBFG 是平行四边形，故 MB FG. MB AC，平面 ACC1A1平面 ABC，平面 ACC1A1平面 ABC AC， MB平面 ACC1A1，而 BM FG， FG平面 ACC1A1， FG平面 AEF，平面 AEF平面 ACC1A1.(2)由(1)得 FG平面 AEC，FG BM ，3 VC AEF VF ACE S ACEFG
6、22 .13 13 12 3 2334在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C： 2 cos .2 ( 4)4(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值解 (1)由Error!消去 t，得 x y40，所以直线 l 的普通方程为 x y40.由 2 cos 2 2cos 2sin ，得2 ( 4) 2(cos cos 4 sin sin 4) 22 cos 2 sin .将 2 x2 y2， cos x， sin y 代入上式，得x2
7、 y22 x2 y，即( x1) 2( y1) 22.所以曲线 C 的直角坐标方程为( x1) 2( y1) 22.(2)解法一：设曲线 C 上的点 P(1 cos ，1 sin )，则点 P 到直线 l 的距离2 2d .|1 2cos 1 2sin 4|2 |2 sin cos 2|2 |2sin( 4) 2|2当 sin 1 时， dmax2 .( 4) 2所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 .2解法二：设与直线 l 平行的直线 l的方程为 x y b0，当直线 l与圆 C 相切时， ，|1 1 b|2 2解得 b0 或 b4(舍去)，所以直线 l的方程为 x y0.因为直线 l 与直线 l的距离 d 2 ，|0 4|2 2所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 .25设 f(x)| x|2| x a|(a0)(1)当 a1 时，解不等式 f(x)4；(2)若 f(x)4，求实数 a 的取值范围解 (1)当 a1 时， f(x)| x|2| x1|，当 x1 时，由 3x24，得 1x2.综上，不等式 f(x)4 的解集为 .23， 2(2)f(x)| x|2| x a|Error!可见， f(x)在(， a上单调递减，在( a，)上单调递增当 x a 时， f(x)取得最小值 a.所以， a 的取值范围为4，)
