1、2.5 指数与指数函数,-2-,知识梳理,考点自诊,-3-,知识梳理,考点自诊,2.实数指数幂 (1)分数指数幂的表示,0的正分数指数幂是 ,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质 aras= (a0,r,sQ). (ar)s= (a0,r,sQ). (ab)r= (a0,b0,rQ).,0,ar+s,ars,arbr,-4-,知识梳理,考点自诊,(3)无理数指数幂 一般地,无理数指数幂a(a0,是无理数)是一个 的实数,有理数指数幂的运算性质 于无理数指数幂.,确定,同样适用,-5-,3.指数函数的图像和性质,知识梳理,考点自诊,上方,(0,1),R,(0,+),单调递减,单
2、调递增,y=1,y1,0y1,0y1,y1,-6-,知识梳理,考点自诊,2.(2018衡水金卷十模,1)已知集合A=y|y=2x-1,xR, B=x|x2-x-20,则( ) A.-1A B. C.A(RB)=A D.AB=A,解析:A=y|y=2x-1,xR=y|y-1=(-1,+), B=x|x2-x-20=x|-1x2=(-1,2),AB=A,故选D.,-7-,知识梳理,考点自诊,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,B,4.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( ) A.abc B.acb C.bac
3、 D.bca,C,解析:由y=0.6x在区间(0,+)是减少的可知,01,故选C.,-8-,知识梳理,考点自诊,5.若函数y=(a2-1)x在(-,+)内为减函数,则实数a的取值范围是 .,-9-,考点一,考点二,考点三,指数幂的化简与求值 例1求值与化简:,D,思考指数幂运算应遵循怎样的原则?,-10-,考点一,考点二,考点三,解题心得指数幂运算的一般原则: (1)有括号的先算括号里面的,没有括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂
4、的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.,-11-,考点一,考点二,考点三,对点训练1化简下列各式:,-12-,考点一,考点二,考点三,指数函数的图像及其应用,(2)(2017河南郑州模拟)已知函数f(x)=4+ax-1的图像恒过定点P,则点P的坐标是( ) A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) (3)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 .,A,-1,1,D,A.(-,-1 B.(0,+) C.(-1,0) D.(-,0),-13-,考点一,考点二,考点三,解析: (
5、1)画出函数f(x)的图像如图所示,由图可知: 当x+10且2x0,即x0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意; 当x+10且2x2x,解得x0,a1)的图像, 可将指数函数y=ax(a0,a1)的图像向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度. 则点(0,1)平移后得到点(1,5). 故点P的坐标为(1,5).,-14-,考点一,考点二,考点三,(3)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图像如图所示.因为曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,所以-1b1. 故b的取值范围是-1,1.,-15-,考点一,考点二,考点三,思考画指数函数的图像及应用指数函数的图像解决问题时应注意什么?
6、解题心得1.画指数函数y=ax(a0,且a1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), . 2.与指数函数有关的函数图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像. 3.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.,-16-,考点一,考点二,考点三,A,(-,8,-17-,考点一,考点二,考点三,-18-,考点一,考点二,考点三,指数函数的性质及其应用(多考向) 考向1 比较指数式的大小,A.bac B.abc C.bca D.cab,A,思考如何进行指数幂的大小比较?,-19-,考点一,考点二,考点三,考向2 解简单的指数方程或指
7、数不等式,A.(-,-3) B.(1,+) C.(-3,1) D.(-,-3)(1,+),C,思考如何解简单的指数方程或指数不等式?,-20-,考点一,考点二,考点三,考向3 指数型函数与函数性质的综合 例5当x0时,函数f(x)=(aex+b)(x-2)单调递增,且函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,则使得f(2-m)0成立的m的取值范围是( ) A.m|m2 B.m|-24 D.m|0m4,C,解析:因为y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称, 所以y=f(x)的图像关于y轴对称.因为f(x)是偶函数, 且f(2)=0,所以当x2时,f(x)0;当x0. 因为f(2-m)0,所
8、以|2-m|2,解得m4或m0,故选C.,思考如何求解指数型函数与函数性质的综合问题?,-21-,考点一,考点二,考点三,解题心得1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指.当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造同一幂函数,然后比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较. 2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论. 3.求解指数型函数与函数性质的综合问题,首先要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调区间、最值等问题时,都要借助相关性质的知识分析判断.,-22-
9、,考点一,考点二,考点三,A.c1)在区间-1,1上的最大值是14,则a的值为( ) A.5 B.1 C.2 D.3 (3)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间2,+)内是增加的,则m的取值范围是 .,D,D,(-,4,-23-,考点一,考点二,考点三,-24-,考点一,考点二,考点三,1.比较大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值. 2.指数型函数、方程及不等式问题,可利用指数函数的图像、性质求解. 3.与指数型函数有关的恒成立问题: (1)当a1时,af(x)ag(x)恒成立f(x)g(x)恒成立f(x)-g(x)0恒成立f(x)-g(x)min0. (2)当0a1时,af(x)ag(x)恒成立f(x)g(x)恒成立f(x)-g(x)0恒成立f(x)-g(x)max0.,解决与指数函数有关的问题时,若底数不确定,应注意对a1及0a1进行分类讨论.,-25-,思想方法数形结合思想解指数不等式 典例(1)若存在正数x使2x(x-a)1成立,则a的取值范围是( ) A.(-,+) B.(-2,+) C.(0,+) D.(-1,+) (2)若 ,则满足f(x)0的x的取值范围是 . 答案:(1)D (2)(0,1),-26-,解析:(1),-27-,反思提升一些关于指数的方程、不等式问题的求解,往往利用相应的函数图像,数形结合求解.,
