1、- 1 -2018-2019 学年度上学期第三次月考高二理科数学试题本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。请在答题卷上作答。第 I 卷 选择题 （共 60 分）一、选择题（本大题共 12 题，每题 5 分，满分 60 分，每小题只有一个正确答案） 1.“1 t4”是“方程 1 表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆”的( )A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件2.下列有关命题的说法正确的是( )A 命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1”B “ x1”是“ x25 x60”的必要不充分条件C 命题“ x0R， x010”的否定
2、是“ xR， x2 x10”D 命题“若 x y，则 sinxsin y”的逆否命题为真命题3.已知双曲线 1( a0， b0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M、 N 两点， O 是坐标原点若 OM ON，则双曲线的离心率为( )A B C D4.已知 F1、 F2为椭圆 1( ab0)的两个焦点，过 F2作椭圆的弦 AB，若 AF1B 的周长为 16，椭圆离心率 e ，则椭圆的方程为( )- 2 -A 1 B 1 C 1 D 15.已知直线 y k(x2)( k0)与抛物线 C： y28 x 相交于 A， B 两点， F 为 C 的焦点若|FA|2| FB|，则 k( )A B
3、 C D6.正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a，点 M 在 AC1上且 ， N 为 B1B 的中点，则| |为( )A a B a C a D a7.在矩形 ABCD 中， AB1， BC ， PA平面 ABCD， PA1，则 PC 与平面 ABCD 所成角是( )A 30 B 45 C 60 D 908.在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， MN 分别是 A1B1， BB1的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为( )A B C D9.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面 ABC 是等腰直角三角形， ACB90，侧棱
4、AA12， D， E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G，则 A1B 与平面 ABD 所成角的正弦值为( )- 3 -A B C D10.二面角的棱上有 A、 B 两点，直线 AC、 BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4， AC6， BD8， CD2 ，则该二面角的大小为( )A 150 B 45 C 60 D 12011.过抛物线 y22 px 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A， B 两点，若 A， B 在准线上的射影为A1， B1，则 A1FB1等于( )A 45 B 90 C 60 D 12012.已知
5、双曲线 1 的焦点为 F1， F2，点 M 在双曲线上，且 MF1 x 轴，则 F1到直线F2M 的距离为( )A B C D第 II 卷（非选择题 90 分）二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 p：| x4|6， q： x22 x1 a20(a0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围为_14.如图所示， A， B 是椭圆的两个顶点， C 是 AB 的中点， F 为椭圆的右焦点， OC 的延长线交椭圆于点 M，且| OF| ，若 MF OA，则椭圆的方程为_- 4 -15.F1、 F2分别为双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，过点
6、F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为 M，满足| |3| |，则此双曲线的渐近线方程为_16.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,B 两点.其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60,则 OAF 的面积为 .三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.（10 分）已知命题 p： x1,2， x2 a0，命题 q： x0R， 2 ax02 a0.若“p 且 q”为真命题，求实数 a 的取值范围18. （12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为梯形， ABC BAD90，AP AD AB ， BC
7、t， PAB PAD .(1)当 t3 时，试在棱 PA 上确定一个点 E，使得 PC平面 BDE，并求出此时 的值；(2)当 60时，若平面 PAB平面 PCD，求此时棱 BC 的长19. （12 分）设 F1， F2分别是椭圆 E： 1( ab0)的左，右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A， B 两点，| AF1|3| BF1|.(1)若| AB|4， ABF2的周长为 16，求| AF2|；(2)若 cos AF2B ，求椭圆 E 的离心率20. （12 分）如下图，过抛物线 y22 px(p0)上一定点 P(x0， y0)(y00)，作两条直线分别交抛物线于 A(x1， y1)，
8、 B(x2， y2)(1)求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点 F 的距离；- 5 -(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数21. （12 分）已知双曲线 C1:x2- =1.(1)求与双曲线 C1有相同的焦点,且过点 P(4, )的双曲线 C2的标准方程.(2)直线 l:y=x+m 分别交双曲线 C1的两条渐近线于 A,B 两点.当 =3 时,求实数 m 的值.22. （12 分）如下图所示，在三棱锥 P ABC 中， PA底面 ABC， PA AB， ABC60， BCA90，点 D， E 分别在棱 PB， PC 上，且 DE BC.
9、(1)求证： BC平面 PAC；(2)当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值；(3)是否存在点 E，使得二面角 A DE P 为直二面角？并说明理由- 6 -答案解析1.B【解析】1 t4，04 t3,0 t13，当 t 时，4 t t1，曲线为圆，由“1 t4”推导不出“方程 1 表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆”方程 1 表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆， 解得 10， x20， y10， y20，由 得 k2x2(4 k28) x4 k20， x1x24， | FA| x1 x12，|FB| x2 x22，且| FA|2| FB|， x12 x22.
10、由得 x21， B(1，2 )，代入 y k(x2)，得 k .故选 D.6.A【解析】设 a， b， c， ， ( ) (a b c)， N 为 BB1的中点， a c， ( a c) (a b c) a b c，| |2( a b c)2 a2 a2 a2 a2，| |a，故选 A.7.A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，- 8 -则 P(0,0,1)， C(1， ，0)， (1， ，1)，平面 ABCD 的一个法向量为 n(0,0,1)，所以 cos ， n ，所以 n120，所以斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成角为 60，所以斜线 PC 与平面 ABCD 所成角为
11、 30.8.B【解析】如图，由图知直线 AM 与 CN 所成角等于 ， ， ， ， ( )( ) ，| | ，| | ，cos ， .9.A【解析】侧棱与底面垂直， ACB90，所以分别以 CA， CB， CC1所在直线为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系，设 CA CB a，则 A(a,0,0)， B(0， a,0)， A1(a,0,2)， D(0,0,1)， E ， G ， ， (0， a,1)，- 9 -点 E 在平面 ABD 上的射影是 ABD 的重心 G， 平面 ABD， 0，解得 a2， ， (2，2,2)， 平面 ABD， 为平面 ABD 的一个法向量，又 cos
12、 ， ， A1B 与平面 ABD 所成角的正弦值为 ，故选 A.10.C【解析】由条件知， 0， 0， ，| |2| |2| |2| |22 2 2 6 24 28 2268cos ， (2 )2，cos ， ， ， 120，二面角的大小为 60，故选 C.11.B【解析】如下图，由抛物线定义知| AA1| AF|，| BB1| BF|，所以 AA1F AFA1又 AA1F A1FO，所以 AFA1 A1FO同理 BFB1 B1FO于是 AFA1 BFB1 A1FO B1FO A1FB1故 A1FB19012.C【解析】不妨设点 F1(3,0)，容易计算得出| MF1| ，| MF2| MF1
13、|2 .解得| MF2| .而| F1F2|6，在直角三角形 MF1F2中，由 |MF1|F1F2| |MF2|d，求得 F1到直线 F2M 的距离 d 为 .13.010， q： B x|x1 a(a0)- 10 - p 是 q 的充分不必要条件， AB 且 A B，实数 a 的取值范围是 00 且| AF1|3 k，| AB|4 k，由椭圆定义可得| AF2|2 a3 k，| BF2|2 a k.在 ABF2中，由余弦定理可得|AB|2| AF2|2| BF2|22| AF2|BF2|cos AF2B，即(4 k)2(2 a3 k)2(2 a k)2 (2a3 k)(2a k)，化简可得(
14、 a k)(a3 k)0，而 a k0，故 a3 k，于是有| AF2|3 k| AF1|，| BF2|5 k，因此| BF2|2| AF2|2| AB|2，可得 F1A F2A，故 AF1F2为等腰直角三角形从而 c a，所以椭圆 E 的离心率 e .20. 【解析】(1)当 y 时， x ，又抛物线 y22 px 的准线方程为 x ，由抛物线定义得，所求距离为 .(2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB，由 y 2 px1， y 2 px0，相减得(y1 y0)(y1 y0)2 p(x1 x0)，故 kPA (x1 x0)同理可得 kPB (x2 x0)由 PA、
15、 PB 倾斜率角互补知 kPA kPB，即 . y1 y22 y0，故 2.设直线 AB 的斜率为 kAB，由 y 2 px2， y 2 px1，相减得( y2 y1)(y2 y1)2 p(x2 x1) kAB (x1 x2)将 y1 y22 y0(y00)代入得 kAB ，所以kAB是非零常数21.【解析】(1)双曲线 C1的焦点坐标为( ,0),(- ,0),- 13 -设双曲线 C2的标准方程为 - =1(a0,b0),则 解得双曲线 C2的标准方程为 -y2=1.(2)双曲线 C1的渐近线方程为 y=2x,y=-2x.设 A(x1,2x1),B(x2,-2x2).由 消去 y 化简得
16、3x2-2mx-m2=0,由 =(-2 m)2-43(-m2)=16m20,得 m0. x1x2=- , =x1x2+(2x1) (-2x2)=-3x1x2, m2=3,即 m= .22.以 A 为原点， ， 分别为 y 轴、 z 轴的正方向，过 A 点且垂直于平面 PAB 的直线为 x轴，建立空间直角坐标系 Axyz，设 PA a，由已知可得： A(0,0,0)， B(0， a，0)， C ， P(0,0， a)(1) (0,0， a)， ， 0， ， BC AP，又 BCA90， BC AC， BC平面 PAC.(2) D 为 PB 的中点， DE BC， E 为 PC 的中点， D ， E ，由(1)知， BC平面 PAC， DE平面 PAC，垂足为点 E， DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角， ， ，cos DAE ， AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 .(3) DE BC，又由(1)知 BC平面 PAC， DE平面 PAC，- 14 -又 AE平面 PAC， PE平面 PAC， DE AE， DE PE， AEP 为二面角 A DE P 的平面角 PA底面 ABC， PA AC， PAC90，在棱 PC 上存在一点 E，使得 AE PC，这时 AEP90，故存在点 E，使得二面角 A DE P 是直二面角
