1、1静宁一中 2018-2019 学年度高三级第三次模拟试题（卷）数学（理）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ）1.已知集合 ，则 A BA. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解分式不等式得到集合 A，然后求出 即可【详解】集合 ，集合 ， 故选 C【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合 A，属于简单题2.下列命题正确的是（ ）A. B. 是 的充分不必要条件C. D. 若 ，则【答案】B【解析】【分析】判断方程 x2+2x+3=0 实根个数，可判断 A；根据充要条件的定义，可判断 B；举出反例x1，可判断 C；举出反例 a=1，b=
2、1，可判断 D【详解】x 2+2x+3=0 的=80，故方程无实根，即x 0R，x 02+2x0+3=0 错误，即 A 错误；x21x1，或 x1，故 x1 是 x21 的充分不必要条件，故 B 正确；当 x1 时，x 3x 2，故xN ，x 3x 2错误，即 C 错误；若 a=1，b=1，则 ab，但 a2=b2，故 D 错误；故选：B【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，特称命题，充要条件，2不等式与不等关系等知识点，难度中档3.已知命 若 ，则 ，命题 ，则下列命为真命题的是( )p: xN xZ q:xR,(13)x-2=0A. B. C. D. (p)(q) (p
3、)(q) (p)q pq【答案】A【解析】【分析】先判定命题 p 与 q 的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出【详解】命题 p：若 ，则 ，是真命题xN xZ命题 q：xR，则 0，因此不 x0R， ，是假命题(13)x-2 (13)x0-2=0则下列命题为真命题的是pq故选：A【点睛】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4.已知向量， ，则 （ ）a=(2,1),ab=10,|a+b|=52 |b|=A. B. C. 2 D. 52 5【答案】D【解析】【分析】对| + |=5 两边平方即可得出 ，进而得出| |ab 2 b2 b【详解】
4、| + |=5 ， =50，ab 2 a2+2ab+b2 =5，5+20+ =50，解得 =25，a2 b2 b2| |=5b故选：D【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题5.函数 的图象大致是（ ）f(x)=2|x|x23A. B. C.D. 【答案】D【解析】【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可【详解】由 为偶函数可排除 A，C；f(x)=2|x|-x2当 时， 图象高于 图象，即 ，排除 B；0m16 mA. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】【分析】由题意和等差数列的通项公式、前 n 项和公式，求出首项和公差，再代入通项公式求
5、出an，再求出 和 Sn，设 Tn=S2nS n并求出，再求出 Tn+1，作差判断 Tn+1T n后判断出 Tn的单1an调性，求出 Tn的最小值，列出恒成立满足的条件求出 m 的范围再求满足条件的 m 值【详解】设数列a n的公差为 d，由题意得，解得 ，a1+2d=36a1+15d=21 a1=1d=1 a n=n，且 ，1an=1nS n=1+ ，12+13+1n令 Tn=S2nS n= ，1n+1+ 1n+2+12n7则 ，Tn+1=1n+2+ 1n+3+ 12n+2即 =0Tn+1-Tn=12n+2+ 12n+1- 1n+1 12n+2+ 12n+2- 1n+1T n+1T n，则
6、Tn随着 n 的增大而增大，即 Tn在 n=1 处取最小值，T 1=S2S 1= ，12对一切 nN *，恒有 成立，S2n-Snm16 即可，解得 m8，12 m16故 m 能取到的最大正整数是 7故选：B【点睛】本题是数列与不等式结合的题目，考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式，判断数列单调性的方法，以及恒成立问题12.已知定义在 上的函数 满足： ，且 ，则方R f(x)f(x)=x2+3,x0,1)3x2,x1,0) f(x+2)=f(x),g(x)=3x+7x+2程 在区间 上的所有实根之和为( )f(x)=g(x) 5,1A. B. C. D. 7 8 9 10【答案】A【解
7、析】【分析】将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，将函数式化简，根据图象的对称性，由图象观察即可【详解】f（x）= ，且 f（x+2）=f（x） ，x2+3， (x0， 1)3-x2， (x-1， 0) f（x2）3= x2， x-20， 1)-x2， x-2-1， 0) 又 g（x）= ，则 g（x）=3 ，3x+7x+2 + 1x+2g（x2）3= ，1x上述两个函数都是关于（2，3）对称，8由图象可得：y=f（x）和 y=g（x）的图象在区间5，1上有 4 个交点，它们都关于点（2，3）对称，故之和为24=8但由于（1，4）取不到，故之和为8+1=7即方程 f（x）=g（x）在区间5，
8、1上的实根有 3 个，故方程 f（x）=g（x）在区间8，3上的所有实根之和为7故选 A【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ）13.已知变量 满足约束条件 ，则 的最小值为_.x,yxy+30x+y10x2 z=2x+y3【答案】 3【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：9由 得 y=2x+z+3，z=2x+y-3平移直线 y=2x+z+3，由
9、图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A（-1，2）时，直线的截距最小，此时 z 最小，此时 z=-12+2-3=-3，故答案为：-3【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法14.由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积是_.y=sinx.y=cosx x=0,x=2【答案】 222【解析】【分析】三角函数的对称性可得 S=2 ，求定积分可得40(cosx-sinx)dx【详解】由三角函数的对称性和题意可得 S=240(cosx-sinx)dx=2（sinx+cosx） =2（ + ）2（0+1）=2 2|40 22 22 2故答案为：
10、2 2210【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题15.设函数 的导函数 的最大值为 3，则 图象的一条对称轴方f(x)=sin(x+6)-1(0) f(x) f(x)程是_.【答案】 x=9【解析】【分析】先对函数求导，由导数 f（x）的最大值为 3，可得 的值，从而可得函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得函数的对称轴处取得函数的最值从而可得【详解】对函数求导可得， f(x)=cos(x+6)由导数 f（x）的最大值为 3 可得 =3f（x）=sin（3x+ ）16由三角函数的性质可得，函数的对称轴处将取得函数的最值结合选项，可得 x=9故答案为： x=9【点睛】本题主
11、要考查了函数的求导的基本运算，三角函数的性质：对称轴处取得函数的最值的应用，属于基础试题，试题难度不大16.在平面直角坐标系 xOy 中，A（-12,0） ，B（0,6） ，点 P 在圆 O：x 2+y2=50 上，若 PA PB20，则点 P 的横坐标的取值范围是_【答案】 52,1【解析】设 ，由 ，易得 ，由 ，可得 或 ，由P(x,y) PAPB20 2xy+50 2xy+5=0x2+y2=50 A:x=5y=5 B:x=1y=7得 P 点在圆左边弧 上，结合限制条件 ，可得点 P 横坐标的取值2xy+50 AB 52x5211范围为 52,1点睛:对于线性规划问题，首先明确可行域对应
12、的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围三.解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）17.已知点 ，点 （ ） ，且函数 .P(cos2x+1,1) Q(1, 3sin2x+1) xR f(x)=OPOQ（1）求函数 的解析式；f(x)（2）求函数 的最小正周期及最值.f(x)【答案】 （1） ；（2）最小正周期为 ，最小值为 ，最大值为 .f(x)=2sin(2x+6)+2 0 4【
13、解析】【分析】（1）题目中点的坐标就是对应向量的坐标，代入向量的数量积公式即可求解 f（x）的解析式；（2）利用正弦型函数的图象与性质可得函数 的最小正周期及最值f(x)【详解】解：(1)依题意， ，点 ，P(cos2x+1,1) Q(1, 3sin2x+1)所以, f(x)=OPOQ=cos2x+ 3sin2x+2=2sin(2x+6)+2(2) f(x)=2sin(2x+6)+2因为 ，所以 的最小值为 ， 的最大值为 ,xR f(x) 0 f(x) 4的最小正周期为 .f(x) T=【点睛】函数 的性质y=Asin(x+)+B(A0,0)(1) .ymax=A+B， ymin=AB(2)
14、周期 T=2.(3)由 求对称轴x+=2+k(kZ)(4)由 求增区间;由 求减区间.2+2kx+2+2k(kZ) 2+2kx+32+2k(kZ)18.已知正项数列 满足： ，其中 为 的前 项和.an 4Sn=a2n+2an3 Sn an n12（1）求数列 通项公式.an（2）设 ，求数列 前 项和 .bn= 1an21 bn n Tn【答案】 （1） ；（2） an=2n+1n4n+4【解析】试题分析：（）由题意，可根据数列通项 与前 项和 的关系 进行整an n Snan= S1,n=1,SnSn1,n2,理化简，可以发现数列 是以首项为 3，公差为 2 的等差数列，从而根据等差数列的
15、通项an公式即求得数列 的通项公式；（）由（）可求得 ，根据其特点，利用裂项相消an bn求和法进行即可.试题解析：（）令 ，得 ，且 ，解得 . n=1 4a1=a21+2a1-3 an0 a1=3当 时， ，即 ， n2 4Sn-4Sn-1=a2n-a2n-1+2an-2an-1 4an=a2n-a2n-1+2an-2an-1整理得 ， ， ， (an+an-1)(an-an-1-2)=0 an0 an-an-1=2所以数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，an故 . an=3+(n-1)2=2n+1（）由（）知： ， bn= 1a2n-1= 14n2+4n= 14n(n+1)=14
16、(1n- 1n+1).Tn=b1+b2+bn=14(1-12+12-13+1n- 1n+1)=14(1- 1n+1)= n4n+4点睛：此题主要考查数列中求通项公式与前 项和公式的运算，其中涉及到数列通项 与前n an项和 的关系式，还裂项相消求和法的应用，属于中档题型，也是常考考点.裂项相消求n Sn和法是数列求和问题中一种重要的方法，实质上是把一个数列的每一项分裂为两项的差，从而达到求和时相邻两项互相抵消而求出和的目的.19.已知函数 f(x)=|x1|,xR（1）求不等式 的解集；|f(x)3|4（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.f(x)+f(x+3)m22m m【答案】 （1） ；
17、（2） .x|6x8 m|1m3【解析】13【分析】（1）由题意可得 0f（x）7，即 0|x1|7，7x17，由此求得 x 的范围；（2）利用绝对值三角不等式求得 g（x）=|x1|+|x+2|的最小值为 3，可得 m22m3，由此求得 m 的范围【详解】 （1）由|f（x）3|4 知4f（x）34，即1f（x）7又 f（x）0，故 0f（x）7，0|x1|7，7x17，6x8，所求不等式的解集为 x|-6x8（2）由 f（x）+f（x+3）m 22m，即|x1|+|x+2|m 22m 恒成立令 g（x）=|x1|+|x+2|，则 g（x）的最小值为|（x1）（x+2）|=3，m 22m3，
18、求得1m3，m 的取值范围是 m|-1m3【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.20.在 中, 为 上的点, 为 上的点,且 .ABC B=3,D BC E AD AE=8,AC=410,CED=4（1）求 的长;CE（2）若 ,求 的余弦值.CD=5 DAB【答案】(1) ;(2) .CE=4243310【解析】试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用。 （1）中，在 中可得 的大小，运
19、用AEC AEC余弦定理得到关于 的一元二次方程，通过解方程可得 的值；（2）中先在 中由正CE CE CDE弦定理得 ，并根据题意判断出 为钝角，根据 求出 。sinCDE=45 CDE DAB=CDE-3 cosDAB试题解析：（1）由题意可得 ，AEC=-4=3414在 中，由余弦定理得AEC，AC2=AE2+CE2-2AECEcosAEC所以 ，160=64+CE2+82CE整理得 ，CE2+82CE-96=0解得： CE=42故 的长为 。CE 42（2）在 中，由正弦定理得 ，CDECEsinCDE= CDsinCED即42sinCDE=5sin4所以 ，5sinCDE=42sin
20、4=4222=4所以 sinCDE=45因为点 在边 上，所以 ，D BC CDEB=3而 ，450) f(x) x=1 y=12（1）求实数 的值；a,b（2）求函数 在 上的最大值f(x) 1e,e【答案】 （1） ；（2 ） .a=1,b=12 12【解析】试题分析： 通过对 求导，利用函数 在 处与直线 相切，通(1) f(x)=alnx-bx2(x0) f(x) x=1 y=-12过联立方程组，计算即可得到结论；通过 可知 ， ，通过讨论在 上(2) (1) f(x)=lnx-12x2 f(x)=1x-x=1-x2x 1e， 1 f(x)15的正负可知函数单调性，进而得到结论。解析：
21、(1) f( x) 2 bx，函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切， 解得(2)由(1)知， f(x)ln x x2， f( x) x ，当 xe 时，令 f( x)0，得 x1)（2）若关于 的不等式 有且只有三个整数解，求实数 的取值范围x f2(x)nf(x)0 n【答案】 （1）详见解析；（2） .ln434,ln32)【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数 f（x）在闭区间上的最小值即可；（2）根据 f（x）的单调性，通过讨论 n 的符号，解关于 f（x）的不等式结合不等式解的个数，求出 n 的范围即可【详解】解：（1） ，
22、令 ，得 的递增区间为 ；令 ，得f(x)=1-ln(3x)x2 f(x)0 f(x) (0,33e) f(x)33e f(x) 1,33e) (33e,m f(3)=ln32=f(1)若 ， 的最小值 ，若 ， 的最小值为 ，33e3 f(x) f(m)=ln(3m)m综上，当 时， 的最小值为 ；若 ， 的最小值为1m3 f(x) f(1)=ln32 m3 f(x) f(m)=ln(3m)m16（2）由（1）知， 的递增区间为 ，递减区间为 ，且在 上，f(x) (0,33e) (33e,+) (33e,+)，又 ，则 ，又 时，由不等式 得ln3xlne=10 x0 f(x)0 f(33)=0,n0或 ，而 的解集为 ，整数解有无数多个，不合题意；f(x)0 f(x)0 (33,+)时，由不等式 ，得 ，解集为 ，整数解有无数多个，n=0 f2(x)-nf(x)0 f(x)0 (0,33)(33,+)不合题意；时由不等式 ，得 或 ， 的解集为 无整数解，若不等式 有且只有三个整数解， 在 递增，在 递减，而，而 ，所以，三个正整数 1，2，3，而 ，综上，实数 的取值范围是 .【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题
