1、1第二部分 专题六 类型一1(2018江西样卷)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y mx22 mx n 经过3P( ，5) ， A(0,2)两点3(1)求此抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为 B，将直线 AB 沿 y 轴向下平移两个单位得到直线 l，直线 l 与抛物线的对称轴交于 C 点，求直线 l 的解析式；(3)在抛物线上是否存在一个点 P，使 P 点与 A， C 两点构成等边三角形？如果不存在，说明理由；如果存在，试求出它的坐标解：(1)根据题意得Error!解得Error!抛物线的解析式为 y x2 x2.13 233(2)由 y x2 x2，得抛物线的顶点坐标为13 233
2、B( ， 1)3依题意，可得 C( ，1)，且直线 l 过原点3设直线 l 的解析式为 y kx，则 k1，解得 k ，333直线 l 的解析式为 y x.33(3)存在点 P(2 ，2)，使得 PAC 为等边三角形3如答图，连接 AC， A， B， C 三点的坐标为(0,2)，( ，1)，( ，1)，3 3 AB OA2， OC2， AC2 .3tan BAO ， BAO60.32 1 3又 AB l ， BC 平行于 y 轴，四边形 ABCO 是菱形， CAO30. 故要使 PAC 为等边三角形，只要使 PAC60， PA AC.2过 A 点作 x 轴的平行线，交抛物线于点 P，则有 PA
3、C60.抛物线的对称轴为 x ， A 点的坐标为(0,2)， A 点与 P 点关于对称轴对称，3 PA2 AC.即存在点 P(2 ，2)使得 PAC 为等边三角形3 32如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE 的三个顶点分别是 C(3,0)， D(3,4)，E(0,4)点 A 在 DE 上，以 A 为顶点的抛物线过点 C，且对称轴 x1 交 x 轴于点 B.连接EC， AC.点 P， Q 为动点，设运动时间为 t 秒(1)填空：点 A 坐标为 (1,4)；抛物线的解析式为 y( x1) 24_.(2)在图 1 中，若点 P 在线段 OC 上从点 O 向点 C 以 1 个单位/秒的速度运动，同
4、时，点Q 在线段 CE 上从点 C 向点 E 以 2 个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动当 t 为何值时， PCQ 为直角三角形？(3)在图 2 中，若点 P 在对称轴上从点 A 开始向点 B 以 1 个单位/秒的速度运动，过点P 作 PF AB，交 AC 于点 F，过点 F 作 FG AD 于点 G，交抛物线于点 Q，连接 AQ， CQ.当 t为何值时， ACQ 的面积最大？最大值是多少？解：(1)抛物线的对称轴为 x1，矩形 OCDE 的三个顶点分别是 C(3,0)， D(3,4)，E(0,4)，点 A 在 DE 上，点 A 坐标为(1,4)，设抛物线的解析式为
5、 y a(x1) 24，把 C(3,0)代入抛物线的解析式，可得 a(31) 240，解得 a1.故抛物线的解析式为 y( x1) 24.(2)依题意有 OC3， OE4， CE 5，OC2 OE2 32 42当 QPC90时，cos QCP ，PCCQ OCCE ，解得 t ；3 t2t 35 1511当 PQC90时，cos QCP ，CQPC OCCE ，解得 t .2t3 t 35 913当 t 或 t 时， PCQ 为直角三角形1511 913(3) A(1,4)， C(3,0)，设直线 AC 的解析式为 y kx b，则 Error!3解得Error!故直线 AC 的解析式为 y2
6、 x6. P(1,4 t)，将 y4 t 代入 y2 x6 中，得 x1 ， Q 点的横坐标为t21 ，t2将 x1 代入 y( x1) 24 中，得 y4 .t2 t24 Q 点的纵坐标为 4 ，t24 QF(4 )(4 t) t ，t24 t24 S ACQ S AFQ S CFQ FQAG FQDG FQ(AG DG) FQAD 2(t )12 12 12 12 12 t24 t (t2) 21，t24 14当 t2 时， ACQ 的面积最大，最大值是 1.3(2017景德镇二模)如图，抛物线 C1： y1 tx21( t0)和抛物线C2： y24( x h)21( h1)(1)两抛物线
7、的顶点 A， B 的坐标分别为 (0，1)和 ( h,1)；(2)设抛物线 C2的对称轴与抛物线 C1交于点 N，则 t 为何值时， A， B， M， N 为顶点的四边形是平行四边形；(3)设抛物线 C1与 x 轴的左交点为点 E，抛物线 C2与 x 轴的右边交点为点 F，试问，在第(2)问的前提下，四边形 AEBF 能否为矩形？若能，求出 h 值；若不能，说明理由解：(1)抛物线 C1： y1 tx21 的顶点坐标是(0，1)，抛物线 C2： y24( x h)21 的顶点坐标是( h,1)(2) AM BN，当 AM BN 时， A， B， M， N 为顶点的四边形是平行四边形当 x h
8、时， y21， y1 tx21 th21， BN|1( th21)|2 th2|.当点 B 在点 N 的下方时，4 h22 th22， h20， t4；4当点 B 在点 N 的上方时，4 h222 th2，整理，得 t4 ，4h2当 t0 时， t44；当 h1 时， 4，4h2这样的 t 值不存在，当点 B 在点 N 的下方时， t4；当点 B 在点 N 的上方时 t 值不存在(3)能，理由如下：由(2)可知，两个函数二次项系数互为相反数，两抛物线的形状相同，故它们成中心对称点 A 和点 B 的纵坐标的绝对值相同，两抛物线的对称中心落在 x 轴上四边形 AEBF 是平行四边形，当 EAF90时，四边形 AFBE 是矩形抛物线 C1与 x 轴左交点坐标是( ，0)， OE .12 12抛物线 C2与 x 轴右交点坐标是( h ，0)且 h1， OF h .12 12 FAO EAO90， EAO AEO90， FAO AEO.又 FOA EOA90， AEO FAO， ，AOOE OFAO OA2 OEOF，即 (h )1，解得 h 1，12 12 32当 h 时，四边形 AEBF 为矩形.32
