1、1第二部分 专题四 类型三1(2018辽宁)如图，在 ABC 中， C90， AE 平分 BAC 交 BC 于点 E， O 是 AB上一点，经过 A， E 两点的 O 交 AB 于点 D，连接 DE，作 DEA 的平分线 EF 交 O 于点 F，连接 AF.(1)求证： BC 是 O 的切线；(2)若 sin EFA ， AF5 ，求线段 AC 的长45 2(1)证明：如答图，连接 OE. OE OA， OEA OAE. AE 平分 BAC， CAE BAE， CAE OEA， AC OE. C90， OEC90， OE BC， BC 是 O 的切线(2)解：如答图，连接 OF， DF. EF
2、 平分 DEA， DF AF5 .2 AD 为 O 的直径， AFD90， AD10.sin EFA ，cos EAD ， AE8.45 AEAD 45 AE 平分 BAC， CAE BAE， CAE EAD， ， AC6.4.AEAD ACAE2(2018赣州教研联盟考试)如图 1，已知 MPN 的角平分线 PF 经过圆心 O 交 O 于点 E， F， PN 是 O 的切线， B 为切点(1)求证： PM 是 O 的切线；(2)如图 2，在(1)的前提下，设切线 PM 与 O 的切点为 A，连接 AB 交 PF 于点 D，连接AO 并延长交 O 于点 C，连接 BC， AF，记 PFA 为
3、.若 BC6，tan ，求线段 AD 的长；12小华探究图 2 之后发现： EF2 mODOP(m 为正整数)，请你猜想 m 的数值，并证2明你的猜想(1)证明：如答图，过点 O 作 OA PM，垂足为 A，连接 OB. PN 是 O 的切线， B 为切点， OB 是 O 的半径，且 OB PN.12，且 OA PM， OB PN， OA OB， PM 是 O 的切线第 2 题答图(2)解： PM， PN 都是 O 的切线， PA PB，且12， OP AB， BD AD. OD 是 Rt ABC 的中位线， OD BC3.12设 O 的半径为 r，则 FD r3.tan ， AD (r3)1
4、2 ADFD 12在 Rt AOD 中， OA2 r2 (r3) 23 2，12解得 r5， AD (r3)4.12猜想 m4.证明如下： OAP ODA90， POA AOD，Rt OAPRt ODA， ，而 OA EF，OAOP ODOA 12 EF24 ODOP，即 m4.33(2018抚州八校联谊考试)如图，点 E 是以 AD 为直径的半圆 O 上的一动点(不与点A， D 重合)，连接 DE 并延长到 B，使得 BE DE；连接 AE 并延长到 C，使得 CE AE，连接AB， BC， CD.(1)如图 1，当点 E 为半圆的中点时，求证：四边形 ABCD 为正方形；(2)当点 E 不
5、是半圆的中点时，四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请直接写出；(3)若 BC 的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AD4，求 的长AE 图 1备用图第 3 题图(1)证明：点 E 为半圆 O 的中点， DE AE. BE DE， CE AE， BE DE CE AE，四边形 ABCD 为矩形 AD 为半圆 O 的直径， AED90，四边形 ABCD 为正方形(2)解：四边形 ABCD 是菱形第 3 题答图 1(3)解：当点 E 在答图 1 的位置时，设切点为 F，连接 OF，过点 C 作 CG DA 交 AD 于点G.四边形 ABCD 为菱形， AD4， CD AD4， BF AD.又 BF 与 O 相切， CG AD， CG OF2.在 Rt CDG 中，sin CDG ，CGCD 24 12 CDG30. O， E 分别是 AD， AC 的中点，连接 OE，4 OE CD，第 3 题答图 2 AOE CDG30， 的长为 .AE 30 2180 13当点 E 在答图 2 的位置时，由上可知， 的长为 2 .AE 30 2180 53 的长为 或 .AE 13 53
