1、1第二部分 专题六 1如图，直线 y x2 与反比例函数 y (k0)的图象交于 A(a,3)， B(3， b)两点，kx过点 A作 AC x轴于点 C，过点 B作 BD x轴于点 D(1)求 a， b的值及反比例函数的解析式；(2)若点 P在直线 y x2 上，且 S ACP S BDP，请求出此时点 P的坐标；(3)在 x轴正半轴上是否存在点 M，使得 MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出 M点的坐标；若不存在，说明理由解：(1)直线 y x2 与反比例函数 y (k0)的图象交于 A(a,3)， B(3， b)两点，kx a23，32 b，解得 a1， b1， A(1,3)， B(3，
2、1)点 A(1,3)在反比例函数 y 图象上，kx k133，反比例函数的解析式为 y .3x(2)设点 P(n， n2) A(1,3)， C(1,0) B(3，1)， D(3,0) S ACP AC|xP xA| 3|n1|，12 12S BDP BD|xB xP| 1|3 n|.12 12 S ACP S BDP， 3|n1| 1|3 n|，12 12解得 n0 或 n3， P(0,2)或(3,5)(3)存在设 M(m,0)(m0)， A(1,3)， B(3，1)， MA2( m1) 29， MB2( m3) 21， AB232， MAB是等腰三角形，当 MA MB时，2( m1) 29(
3、 m3) 21， m0(舍)；当 MA AB时，( m1) 2932， m1 或 m1 (舍)，23 23 M(1 ，0)；23当 MB AB时，( m3) 2132， m3 或 m3 (舍)，31 31 M(3 ，0)31则满足条件的 M(1 ，0)或(3 ，0)23 312如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt AOB的斜边 OB在 x轴上，直线 y3 x4 经过等腰 Rt AOB的直角顶点 A，交 y轴于 C点，双曲线 y 也经过 A点，连接 BCkx(1)求 k的值；(2)判断 ABC的形状，并求出它的面积；(3)若点 P为 x正半轴上一动点，在点 A的右侧的双曲线上是否存在一点 M，使
4、得PAM是以点 A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)如答图 1，过点 A分别作 AQ y轴于 Q点， AN x轴于 N点答图 1 AOB是等腰直角三角形， AQ AN.设点 A的坐标为( a， a)，点 A在直线 y3 x4 上， a3 a4，解得 a2，则点 A的坐标为(2,2)3双曲线 y 也经过 A点， k4.kx(2)由(1)知， A(2,2)， B(4,0)直线 y3 x4 与 y轴的交点为 C， C(0，4)， AB2 BC2(42) 22 24 2(4) 240，AC22 2(24) 240， AB2 BC2 AC2， ABC是直
5、角三角形，且 ABC90， S ABC ABBC 2 4 8.12 12 2 2(3)存在如答图 2，假设双曲线上存在一点 M，使得 PAM是等腰直角三角形答图 2 PAM90 OAB，AP AM，连接 BM. k4，反比例函数的解析式为 y .4x OAB PAM90， OAP BAM.在 AOP和 ABM中，Error! AOP ABM(ASA)， AOP ABM， OBM OBA ABM90，点 M的横坐标为 4， M(4,1)则在双曲线上存在一点 M(4,1)，使得 PAM是以点 A为直角顶点的等腰三角形3如图，一次函数 y kx b的图象与反比例函数 y (x0)的图象交于点 P(n
6、，2)，mx与 x轴交于点 A(4,0)，与 y轴交于点 C， PB x轴于点 B，点 A与点 B关于 y轴对称(1)求一次函数，反比例函数的解析式；(2)求证：点 C为线段 AP的中点；(3)反比例函数图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点 D的坐标；如果不存在，说明理由解：(1)点 A与点 B关于 y轴对称， AO BO.4 A(4,0)， B(4,0) PB x轴于点 B， P(4,2)把 P(4,2)代入反比例函数解析式可得 m8，反比例函数的解析式为 y .8x把 A， P两点坐标分别代入一次函数解析式可得Error!解得Error!一次函数的解析
7、式为 y x1.14(2)证明：点 A与点 B关于 y轴对称， OA OB PB x轴于点 B， PBA COA90， PB CO，点 C为线段 AP的中点(3)存在点 D，使四边形 BCPD为菱形理由如下：点 C为线段 AP的中点， BC AP PC，12 BC和 PC是菱形的两条边由 y x1 可得 C(0,1)14如答图，过点 C作 CD x轴，交 PB于点 E，交反比例函数图象于点 D，分别连接PD， BD，答图 D(8,1)，且 PB CD， PE BE1， CE DE4， PB与 CD互相垂直平分，即四边形 BCPD为菱形，存在满足条件的点 D，其坐标为(8,1)4(2018金华)
8、如图，四边形 ABCD的四个顶点分别在反比例函数 y 与mxy (x0,0 m n)的图象上，对角线 BD y轴，且 BD AC于点 P.已知点 B的横坐标为 4.nx(1)当 m4， n20 时5若点 P的纵坐标为 2，求直线 AB的函数表达式若点 P是 BD的中点，试判断四边形 ABCD的形状，并说明理由(2)四边形 ABCD能否成为正方形？若能，求此时 m， n之间的数量关系；若不能，试说明理由解：(1)如答图 1. m4，反比例函数 y 的解析式为 y .mx 4x当 x4 时， y1， B(4,1)，当 y2 时，2 ，解得 x2， A(2,2)4x设直线 AB的解析式为 y kx
9、b，将 A(2,2)， B(4,1)两点分别代入，得Error! 解得Error!直线 AB的函数表达式为 y x3.12四边形 ABCD是菱形理由如下：如答图 2，由知， B(4,1)， BD y轴， D(4,5)点 P是线段 BD的中点， P(4,3)当 y3 时，由 y 得 x ，4x 43由 y 得 x ，20x 203 PA4 ， PC 4 ， PA PC43 83 203 83 PB PD，四边形 ABCD为平行四边形， BD AC，四边形 ABCD是菱形图 1 图 2答图(2)四边形 ABCD能成为正方形理由：当四边形 ABCD是正方形时，则 PA PB PC PD(设为 t，
10、t0)，6当 x4 时， y ，mx m4 B(4， )，m4 A(4 t， t)， C(4 t， t)，m4 m4(4 t)( t) m， t4 ，m4 m4 C(8 ，4)，(8 )4 n， m n32.m4 m4点 D的纵坐标为 2 t 2(4 )8 ，m4 m4 m4 m4 D(4,8 )，4(8 ) n， m n32.m4 m45如图，已知一次函数 y1 k1x b的图象与 x轴， y轴分别交于 A， B两点，与反比例函数 y2 的图象分别交于 C， D两点，点 D(2，3)， OA2.k2x(1)求一次函数 y1 k1x b与反比例函数 y2 的解析式；k2x(2)直接写出 k1x
11、 b 0 时自变量 x的取值范围；k2x(3)动点 P(0， m)在 y轴上运动，当| PC PD|的值最大时，直接写出 P点的坐标解：(1)点 D(2，3)在反比例函数 y2 的图象上，k2x k22(3)6， y2 .6x如答图，过点 D作 DE x轴于 E.答图 OA2， A(2,0)， A(2,0)， D(2，3)在 y1 k1x b的图象上，Error! 解得Error!7 y1 x .34 32(2)由图可得，当 k1x b 0 时， x4 或 0 x2.k2x(3)P点坐标为(0， )理由如下：152由Error! 解得Error!或Error! C(4， )，32如答图，作 C
12、(4， )关于 y轴对称点 C(4， )，延长 C D交 y轴于点 P，32 32由 C和 D的坐标可得，直线 C D解析式为 y x ，94 152令 x0，则 y ，152当| PC PD|的值最大时，点 P的坐标为(0， )1526如图 1，直线 y kx b与双曲线 y (x0)相交于点 A(1， m)， B(4， n)，与 x轴4x相交于 C点(1)求点 A， B的坐标及直线 y kx b的解析式；(2)求 ABO的面积；(3)如图 2，在 x轴上是否存在点 P，使得 PA PB的和最小？若存在，请说明理由并求出 P点坐标解：(1)点 A(1， m)， B(4， n)在双曲线 y (
13、x0)上，4x m4， n1， A(1,4)， B(4,1)，Error! 解得Error!直线 y kx b的解析式为 y x5.(2)如答图 1，设直线 AB与 y轴交于 D点，由(1)知，直线 AB的解析式为 y x5， C(5,0)， D(0,5)， OC5， OD5.8 S AOB S COD S AOD S BOC 55 51 51 .12 12 12 152(3)存在，理由：如答图 2，作点 B(4,1)关于 x轴的对称点 B(4，1)，连接 AB交 x轴于点 P，连接 BP，在 x轴上取一点 Q，连接 AQ， BQ.点 B与点 B关于 x轴对称，点 P， Q是 BB中垂线上的点
14、， PB PB， QB QB，在 AQB中，AQ B Q AB， AP BP的最小值为 AB. A(1,4)， B(4，1)，直线 AB的解析式为 y x ，53 173令 y0，则 0 x ，53 173解得 x ，175 P( ，0)1757如图，抛物线与 x轴交于 A， B两点，点 A在点 B的左边，与 y轴交于点 C，点 D是抛物线的顶点，且 A(6,0)， D(2，8)(1)求抛物线的解析式；(2)点 P是直线 AC下方的抛物线上一动点，不与点 A， C重合，过点 P作 x轴的垂线交于 AC于点 E，求线段 PE的最大值及 P点坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得 AC
15、M为直角三角形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设抛物线的解析式为 y a(x2) 28，把 A(6,0)代入得 a(62)280，解得 a .129抛物线的解析式为 y (x2) 28，12即 y x22 x6.12(2)如答图，当 x0 时， y x22 x66，则 C(0，6)12设直线 AC的解析式为 y kx b，把 A(6,0)， C(0，6)分别代入得Error!解得Error! 直线 AC的解析式为 y x6.设 P(x， x22 x6)(6 x0)，则 E(x， x6)12 PE x6( x22 x6) x23 x (x3) 2 ，12 12 12 9
16、2当 x3 时， PE的长度有最大值，最大值为 ，此时点 P的坐标为(3， )92 152(3)存在如答图，抛物线的对称轴为直线 x2，设 M(2， t) A(6,0)， C(0，6)， AC26 26 272，AM2(26) 2 t2， CM2(2) 2( t6) 2.当 AC2 AM2 CM2， ACM为直角三角形，即 72(26) 2 t2(2) 2( t6) 2，解得 t4，此时点 M坐标为(2,4)；当 AC2 CM2 AM2时， ACM为直角三角形，即 72(2) 2( t6) 2(26) 2 t2，解得 t8，此时点 M的坐标为(2，8)；当 CM2 AM2 AC2时， ACM为
17、直角三角形，即(2) 2( t6) 2(26) 2 t272，解得 t13 ， t23 ，此时点 M的坐标为(2，3 )或17 17 17(2，3 )17综上所述，点 M的坐标为(2,4)或(2，8)或(2，3 )或17(2，3 )178(2018泰安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c的图象交 x轴10于点 A(4,0)， B(2,0)，交 y轴于点 C(0,6)，在 y轴上有一点 E(0，2)，连接 AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点 D为抛物线在 x轴负半轴上方的一个动点，求 ADE面积的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点 P，使 AEP为等腰三角形？若
18、存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)二次函数 y ax2 bx c的图象经过点 A(4,0)， B(2,0)， C(0,6)，Error! 解得Error!二次函数的表达式为 y x2 x6.34 32(2)由 A(4,0)， E(0，2)可得 AE所在的直线解析式为 y x2，12过点 D作 DF x轴，交 AE于点 F，交 x轴于点 G，过点 E作 EH DF，垂足为 H，如答图，设 D(m， m2 m6)，34 32则点 F(m， m2)，12 DF m2 m6( m2) m2 m8，34 32 12 34 S ADE S ADF S EDF DFAG DFEH
19、 DF(AG HE)12 12 12 DF42( m2 m8) (m )2 ，12 34 32 23 503当 m 时， S ADE最大，最大值为 .23 503(3)存在， P点的坐标为(1,1)或(1， )或(1，2 )11 19【解法提示】 y x2 x6 的对称轴为直线 x1，34 32设 P(1， n)，又 E(0，2)， A(4,0)，11可得 PA ， PE ，9 n2 1 n 2 2AE 2 ，16 4 5当 PA PE时， ，9 n2 1 n 2 2解得 n1，此时 P(1,1)；当 PA AE时， 2 ，9 n2 5解得 n ，此时 P点的坐标为(1， )；11 11当 P
20、E AE时， 2 ，1 n 2 2 5解得 n2 ，19此时 P点的坐标为(1，2 )，19综上所述， P点的坐标为(1,1)或(1， )或(1，2 )11 199如图，已知抛物线 y x2 bx c经过点 A(1,0)， B(3,0)，与 y轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，对称轴与 x轴相交于点 E，连接 BD(1)求抛物线的解析式(2)若点 P在直线 BD上，当 PE PC时，求点 P的坐标(3)在(2)的条件下，作 PF x轴于 F，点 M为 x轴上一动点， N为直线 PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点 F， N， G， M四点为顶点的四边形为正方形时，求点 M的坐标解：(1)抛
21、物线 y x2 bx c经过点 A(1,0)， B(3,0)，Error! 解得Error!即抛物线的解析式为 y x22 x3.(2)由(1)知，抛物线的解析式为 y x22 x3， C(0，3)，抛物线的顶点坐标为 D(1，4)， E(1,0)设直线 BD的解析式为 y mx n，Error! 解得Error!直线 BD的解析式为 y2 x6.设点 P(a，2 a6) C(0，3)， E(1,0)，根据勾股定理得， PE2( a1) 2(2 a6) 2， PC2 a2(2 a63) 2. PC PE，( a1) 2(2 a6) 2 a2(2 a63) 2，解得 a2， y2(2)62， P
22、(2，2)12(3)如答图，作 PF x轴于 F， F(2,0)设 M(d,0)， G(d， d22 d3)， N(2， d22 d3)以点 F， N， G， M四点为顶点的四边形为正方形，必有 FM MG，| d2| d22 d3|，解得 d 或 ， 1212 3132点 M的坐标为( ，0)，( ，0)，( ，0)或( ，0) 1 212 1 212 3 132 3 13210(2018岳阳)已知抛物线 F： y x2 bx c经过坐标原点 O，且与 x轴另一交点为( ，0)33图 1 图 2(1)求抛物线 F的解析式；(2)如图 1，直线 l： y x m(m0)与抛物线 F相交于点 A
23、(x1， y1)和点 B(x2， y2)33(点 A在第二象限)，求 y2 y1的值(用含 m的式子表示)；(3)在(2)中，若 m ，设点 A是点 A关于原点 O的对称点，如图 2.43判断 AA B的形状，并说明理由；平面内是否存在点 P，使得以点 A， B， A， P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线 y x2 bx c经过点(0,0)和( ，0)，Error!解得Error!33抛物线 F的解析式为 y x2 x.33(2)将 y x m代入 y x2 x，得 x2 m，33 33解得 x1 ， x2 ， y1 m，m m133m13y
24、2 m， y2 y1( m)133m 133m( m) (m0)133m 233m(3)如答图， m ，点 A的坐标为( ， )，点 B的坐标为( ，2)点 A43 233 23 233是点 A关于原点 O的对称点，点 A的坐标为( ， )233 23 AA B为等边三角形理由如下： A( ， )， B( ，2)， A( ， )，233 23 233 233 23 AA ， AB ， A B ， AA AB A B，83 83 83 AA B为等边三角形存在 AA B为等边三角形，以点 A， B， A， P为顶点的菱形分三种情况，设点 P的坐标为( x， y)如答图a当 A B为对角线时，有E
25、rror!解得Error! 点 P的坐标为(2 ， )323b当 AB为对角线时，有Error!解得Error! 点 P的坐标为( ， )233 103c当 AA为对角线时，有Error!解得Error! 点 P的坐标为( ，2)233综上所述，平面内存在点 P，使得以点 A， B， A， P为顶点的四边形是菱形，点 P的坐标为(2 ， )，( ， )或( ，2)323 233 103 23311(2018永州)如图 1，抛物线的顶点 A的坐标为(1,4)，抛物线与 x轴相交于B， C两点，与 y轴交于点 E(0,3)14图 1 图 2(1)求抛物线的表达式；(2)已知点 F(0，3)，在抛物
26、线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG FG最小？如果存在，求出点 G的坐标；如果不存在，请说明理由(3)如图 2，连接 AB，若点 P是线段 OE上的一动点，过点 P作线段 AB的垂线，分别与线段 AB，抛物线相交于点 M， N(点 M， N都在抛物线对称轴的右侧)，当 MN最大时，求PON的面积解：(1)设抛物线的表达式为 y a(x1) 24.把(0,3)代入得 3 a(01) 24，解得 a1，故抛物线的表达式为 y( x1) 24 x22 x3.(2)存在如答图 1，作 E关于对称轴的对称点 E，连接 E F交对称轴于 G，此时 EG FG的值最小 E(0,3)， E(2,3)，易
27、得直线 E F的解析式为 y3 x3，当 x1 时， y3130， G(1,0)图 1 图 2(3)如答图 2，过 N作 NH x轴于 H，交 AB于 Q，设对称轴交 x轴于 D， A(1,4)， B(3,0)，直线 AB的解析式为 y2 x6，设 N(m， m22 m3)，则 Q(m，2 m6)(1 m3)， NQ( m22 m3)(2 m6) m24 m3. AD NH， DAB NQM. ADB QMN90， QMN ADB，15 ，即 ，QNMN ABBD m2 4m 3MN 252 MN (m2) 2 . 0，55 55 55当 m2 时， MN有最大值过 N作 NI y轴于 I，
28、IPN ABD， NIP ADB90， NIP ADB， ， PI NI m，PINI BDAD 24 12 12 12 OP OI PI m22 m3 m m2 m3， S12 32PON OPIN ( m2 m3) m，当 m2 时， S PON (433)22.12 12 32 1212(2018东营)如图，抛物线 y a(x1)( x3)( a0)与 x轴交于 A， B两点，抛物线上另有一点 C在 x轴下方，且使 OCA OBC(1)求线段 OC的长度；(2)设直线 BC与 y轴交于点 M，点 C是 BM的中点时，求直线 BM和抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，直线 BC下方抛物
29、线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC面积最大？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当 y0 时， a(x1)( x3)0，解得 x11， x23，即 A(1,0)， B(3,0)， OA1， OB3. OCA OBC， OC OB OA OC， OC2 OAOB3，则 OC .3(2) C是 BM的中点，即 OC为 Rt OBM斜边 BM的中线， OC BC，点 C的横坐标为 .32又 OC ，点 C在 x轴下方， C( ， )332 32设直线 BM的解析式为 y kx b，把点 B(3,0)， C( ， )代入，32 32得Error! 解得Error!16直线
30、 BM的解析式为 y x .33 3又点 C( ， )在抛物线上，32 32将 C( ， )代入抛物线的解析式，32 32解得 a ，233抛物线的解析式为 y x2 x2 .233 833 3(3)存在如答图，过点 P作 PQ x轴交直线 BM于点 Q，设点 P的坐标为( x， x2 x2 )，233 833 3则 Q(x， x )，33 3 PQ x ( x2 x2 ) x23 x 3 ，33 3 233 833 3 233 3 3当 BCP面积最大时，四边形 ABPC的面积最大， S BCP PQ(3 x) PQ(x ) PQ x2 x ，12 12 32 34 32 934 934当 x 时， S BCP有最大值，则四边形 ABPC的面积最大，此时点 P的坐标为b2a 94( ， )94 538
