1、130 平面向量 平面向量的概念及线性运算【考点讲解】1、具本目标：1平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景.（2）理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.（3）理解向量的几何 表示.2向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.备考情况：1.以考查向量的线性运算、共线为主，主要是在理解含义的基础上，进一步解题，比如利用向量的线性运算求参数. 2.单独考查平面向量的实际背景及基本概念的题目极少.3.备考重点：(1) 理解相关概念是基础，掌握线性运算的方法是
2、关键；(2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.二、知识概述：1向量的概念 1向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模2零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于 1 个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量22平面向量的线性运算一向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：结合律：减法求 a与 b的相反向量- 的和的运算叫做a与 b
3、的差三角形法则二向量的数乘运算及其几何意义1定义：实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 a，它的长度与方向规定如下：| a| | |；当 0 时， 的方向与 a的方向相同；当 0 时， a的方向与 的方向相反；当 0 时， 0.2运算律：设 ， 是两个实数，则： ； ； .3.向量共线定理：如果有一个实数 ，使 ，那么b与 a是共线向量；反之，如果b与 a0是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使ba.4.三点共线的性质定理：(1)若平面上三点 、 、ABC共线，则 .AB BC (2)若平面上三点 、 、 共线， O为不同于 、 、 的任意一点，则 ，且 1.OC OA O
4、B 3【温馨提示】(1)如果两个向量起点相同，终点相同，那么这两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量它们的模确定，但方向不确定 (3)两个重要的结论：向量相等具 有传递性，非零向量的平行具有传递性；向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量【真题分析】1.【2018 年全国理】在 ABC 中， D为 边上的中线， E为 AD的中点，则 EB（ ）A B C D【解析】本题考点是向量的和及向量的线性运算，由题意可知： ， .所以有 = .【答案】A2.【2015 四川文 2】设向量 )共线，则实数 x( )A.2 B.3 C.4 D.6【解
5、析】本题考点是向量的坐标表示以及向量共线的性质的应用，因为两向量平行，所以有，有24 x6，解得 x3，选 B. 【答案】B3.【2014 课标全国，文 6】设 D， E， F 分别为 ABC 的三边 BC， CA， AB 的中点，则 EBFC( )A D B 12A C B D 12B4【答案】A4.【2017 四川七中三诊】设 D为 ABC中 边上的中点，且 O为 AD边上靠近点 的三等分点，则（ ）A. B. C. D. 【解析】本题考点是平面向量的加减法运算法则，由题意可知在三角形 BAO 中：，故选 A.【答案】A5.【2017安徽六校联考】在平行四边形 ABCD 中， aAB， b
6、C， ，则 BE( )A ab31 B ab32 C 4D b31【答案】C6.【2015 高考新课标 1】设 D为 ABC所在平面内一点 3BCD，则（ ）A. B. C. D. 【解析】本题考点是向量的线性运算，5由题意可知 = ，故选 A.【答案】A 7.【2014 福建,文 10】设 M 为 ABCD 对角线的交点， O 为 ABCD 所在平面内任意一点，则 等于 （ ）A.O B.2 C.3 D. M4【解析】本题的考点是平面向量的线性运算，相反向量的和向量是零向量.由已知得， 而 所以 .【答案】D8.【2015 高考新课标 1，理 7】设 D为 ABC所在平面内一点 3BCD，则
7、（ ）（A） (B) （C） (D) 【答案】A 9.【2016 广西联考】直线 l过 ABCD的两条对角线 AC与 BD的交点 O，与 A边交于点 N,与 AB的延长线交于点 M.又知 m， nN，则 mn = .【解析】据题意,点 O为 的中点. AB m， AD nN又 ,MON三点共线，由平面内三点共线的向量式定理可得： 12mn 2n.【答案】26【模拟考场】1已知 O为 ABC所在平面内一点且满足： ，则 AOB与 C的面积 之比为 ( ) A1 B. 32 C. D2【错解】 据题意 为 的重心，从而 OB与 C的面积之比为 1，选 A【正解】 ,令所以 ， 则 O 为 ABC的
8、重心，从而： , 12OABS, 13OACS, 的面积与 的面积之比为 3：2【答案】B2.设 a， b是非零向量， “ab”是“ /ab”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A3.如图，在正方形 ABCD中，点 E是 的中点，点 F是 BC的一个三等分点，那么 EF( ) A. B. C. D. 7【解析】在 CEF中， ，点 E是 DC的中点，有 ，又因为 F点是B的一个三等分点，所以有 ， 所以有 . 10.已知椭圆的中心在原点，离心率为 21，一个焦点 (,0)Fm ( 是大于 0 的常数).(1)求椭圆的方程；(2)设 Q是椭圆上的一点，且过点 FQ、 的直线 l与 y轴交于点 M，若 ，求直线 l的斜率（2）设 0(,)Qxy，直线 l的方程为 ，则点 ()0Mkm， ，由已知得 FQM、 、 三点共线，且 ， 当 MF时，由于 ()0m， ， ()k， ，由定比分点坐标公式，得又 Q在椭圆 上， 有2197k，解得 26k；
