1、1第二讲 基本初等函数、函数与方程A 组 基础题组1.函数 y=ax+2-1(a0 且 a1)的图象恒过的点是( )A.(0,0) B.(0,-1)C.(-2,0) D.(-2,-1)2.已知 a1,f(x)= ,则使 f(x)ba B.bcaC.cab D.acb6.若函数 y=logax(a0,且 a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )7.已知直线 x=m(m1)与函数 f(x)=logax(a0 且 a1),g(x)=log bx(b0 且 b1)的图象及 x 轴分别交于A,B,C 三点,若 =2 ,则( )ABBC2A.b=a2 B.a=b2C.b=a3 D.a=b38.已
2、知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在区间0,+)上单调递增,若 0 时,f(x)=lnx-x+1,则函数 g(x)=f(x)-ex(e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A.0 B.1C.2 D.312.设 f1(x)=|x-1|,f2(x)=-x2+6x-5,函数 g(x)是这样定义的:当 f1(x)f 2(x)时,g(x)=f 1(x);当 f1(x)2 的解集为 . 2ex-1,x0,且 a1)在-2,1上的最大值为 4,最小值为 m,则 m 的值是 . 15.已知函数 f(x)=|log3x|,实数 m,n 满足 00 且 a1)在(-,+)上既是奇函数又是增函数,则函数
3、g(x)=loga(x+k)的大致图象是( )3.(2018 河北唐山五校联考)奇函数 f(x),偶函数 g(x)的图象分别如图(1)(2)所示,函数 f(g(x),g(f(x)的零点个数分别为 m,n,则 m+n=( )A.3 B.7C.10 D.144.(2018 广西南宁模拟)设函数 f(x)=lnx-2x+6,则 f(x)的零点个数为( )A.3 B.2 C.1 D.05.(2018 吉林长春质量检测)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+)=f(-x),当 x 时,f(x)=0, 2,则函数 g(x)=(x-)f(x)-1 在区间 上所有的零点之和为( )x -32,3
4、A. B.24C.3 D.46.(2018 湖南湘东五校联考)已知函数 f(x)= g(x)=x2-2x,设 a 为实数,若存在|x+1|,-7 x 0,lnx,e-2 x e, 实数 m,使 f(m)-2g(a)=0,则实数 a 的取值范围为( )A.-1,+) B.(-,-13,+)C.-1,3 D.(-,37.已知当 x0,1时,函数 y=(mx-1)2与 y= +m 的图象有且只有一个交点,则正实数 m 的取值范围是( )xA.(0,12 ,+)3B.(0,13,+)C.(0, 2 ,+)2 3D.(0, 3,+)28.设函数 f(x)=ln(1+|x|)- ,则使得 f(x)f(2x
5、-1)成立的 x 的取值范围是( )11+x2A.(13,1)B. (1,+)(-,13)C.(-13,13)D. (-, -13) (13,+ )9.设函数 f(x)= (e 是自然对数的底数),若 f(2)是函数 f(x)的最小值,则实数 a(x-a)2+e,x 2,xlnx+a+10,x2的取值范围是( )A.-1,6 B.1,4C.2,4 D.2,610.已知在(0,+)上函数 f(x)= 则不等式 log2x-lo (4x)-1f(log3x+1)5 的解集-2,00 且 a1)的图象恒过点(-2,0).2.A a1,y=a x在 R 上为增函数,故 f(x)0),MN3361108
6、03 361=t1080,361lg3=lgt+80,3610.48=lgt+80,lgt=173.28-80=93.28,t=10 93.28.故选 D.5.D 因为 a=60.71,b=log70.6cb.故选 D.6.B 由函数 y=logax(a0,且 a1)的图象可知 loga3=1,所以 a=3.对于选项 A:y=3-x= 为减函数,A 错误;(13)x对于选项 B:y=x3,显然满足条件;6对于选项 C:y=(-x)3=-x3在 R 上为减函数,C 错误;对于选项 D:y=log3(-x),当 x=-3 时,y=1,D 错误.故选 B.7.C 由于 =2 ,则 =3 ,则点 A
7、的坐标为(m,3g(m).又点 A 在函数 f(x)=logax 的图象上,故ABBC ACBClogam=3logbm,即 logam=logbm3,由对数运算可知 b=a3.8.C 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(lnx)-f =f(lnx)-f(-lnx)=f(lnx)+f(lnx)=2f(lnx),(ln1x) 1.因为2 33 55= = , = = ,所以 ,所以 0 时,f(x)=lnx-x+1,则 f(x)= -1= ,所以 x(0,1)时,f(x)0,此时 f(x)单调递增;1x 1-xxx(1,+)时,f(x)0 时,f(x) max=f(1)=ln1-1+1=
8、0.根据函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数作出函数 y=f(x)与 y=ex的大致图象,如图,观察到函数 y=f(x)与 y=ex的图象有 2个交点,所以函数 g(x)=f(x)-ex(e 为自然对数的底数)有 2 个零点.故选 C.712.D 作出函数 f1(x)=|x-1|,f2(x)=-x2+6x-5 的图象如图所示,函数 g(x)的图象为两函数图象中位置在上的部分(即图中实线部分),即 g(x)=-x+1,x 1,-x2+6x-5,14. 由 得 A(4,3).y=x-1,y= -x2+6x-5,又函数 f2(x)=-x2+6x-5 图象的顶点坐标为 B(3,4),所以要使方程 g
9、(x)=a 有四个不同的实数解,即函数 g(x)的图象与函数 y=a 的图象有四个不同的交点,数形结合可得 32,x2,x 2, 分别解这两个不等式组,得 1 ,所以所求不等式的解集为(1,2)( ,+).10 1014.答案 或12 116解析 若 a1,则有 f(1)=a=4,f(-2)=a-2=m,解得 m= = ;若 01,所以函数 g(x)=loga(x+k)1ax=loga(x+1)在(-1,+)上是增函数.故选 C.3.C 当 f(g(x)=0 时,由题图(1)可知,g(x)=-1 或 g(x)=0 或 g(x)=1,再由题图(2)可知,g(x)=-1 有 2 个根,g(x)=0
10、 有 3 个根,g(x)=1 有 2 个根,所以 f(g(x)=0 有 7 个根,即 f(g(x)有 7 个零点;同理 g(f(x)有 3 个零点.所以 m+n=10.故选 C.4.B 函数 f(x)=lnx-2x+6 的定义域为(0,+),f(x)= -2= .令 f(x)=0,解得 x= .当 00,函数 f(x)单调递增;1x 1-2xx 12 129当 x 时,f(x)0.12 (12) 12当 x0 且 x0 时,f(x)-;当 x+时,f(x)-.故函数 f(x)有且只有 2 个零点.故选 B.5.D 由 f(x)为奇函数,得 f(x+2)=f(x+)=f(-x-)=-f(x+)=
11、-f(-x)=f(x),所以 f(x)的周期为2,易知其图象关于点(,0)对称,g(x)在区间 上所有的零点之和可转化为函数 f(x)和 y=-32,3 的图象在 上的交点的横坐标之和,由函数 y= 的图象关于点(,0)对称知,函数 g(x)在1x- -32,3 1x-上的零点也关于点(,0)对称.作出函数 f(x)与 y= 的大致图象,如图,结合图象可知,-32,3 1x-两函数图象在 上共有 4 个交点,所以函数 g(x)的所有零点之和为 4.故选 D.-32,3 6.C 当-7x0 时,f(x)=|x+1|0,6;当 e-2xe 时,f(x)=lnx 单调递增,则 f(x)-2,1.综上
12、,f(x)-2,6.若存在实数 m,使 f(m)-2g(a)=0,则有-22g(a)6,即-1a 2-2a3-1a3.故选 C.7.B 当 01 时,在同一平面直角坐标系中作出函数 y=(mx-1)2与 y= +m 的大致图象,如图.x要满足题意,则(m-1) 21+m,解得 m3 或 m0(舍去),m3.综上,正实数 m 的取值范围为(0,13,+).8.A 当 x0 时,f(x)=ln(1+x)- ,11+x210f(x)= + 0,f(x)在(0,+)上为增函数.11+x 2x(1+x2)2易证 f(x)为偶函数,由 f(x)f(2x-1)得 f(|x|)f(|2x-1|),|x|2x-
13、1|,即 3x2-4x+12 时,函数 f(x)= +a+10,则 f(x)= ,故 x(2,e)时,f(x)xlnx lnx-1ln2x0,函数 f(x)在 x2 时的最小值为 f(e),当 x2 时,f(x)=(x-a) 2+e 的图象的对称轴是直线 x=a,要使 f(2)是函数 f(x)的最小值,则 a 2,f(2) f(e) a 2,4-4a+a2+e e+a+102a6.故选 D.a 2,-1 a 610.答案 (13,4解析 原不等式等价于 或 解得log3x+1 1,log2x-log14(4x)-1 5 04;两个零点为 1,4,由图可知,此时 10,得 x2,故 g(x)在(-,0),(2,+)上单调递增;由 g(x)0,得 0x2,故 g(x)在(0,2)上单调递减.画出函数 g(x)和 h(x)的大致图象如图所示,函数 h(x)的图象过定点(-1,0).11由图可知若存在唯一的正整数 x0,使得 f(x0)0,即存在唯一的正整数 x0,使得 g(x0)h(x0),只需即 解得 a .g(1) h(1),g(3) h(3),g(2)h(2), 1-3+5 2a,27-27+5 4a,8-12+53a, 13 54
