1、1微专题 2 排列组合与二项式定理、概率命 题 者 说考 题 统 计 考 情 点 击2018全国卷T 10几何概型2018全国卷T 15排列与组合2018全国卷T 8古典概型2018全国卷T 5二项式定理2018天津高考T 10二项式定理1.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型。2.二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般。3.概率、随机变量及其分布列是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大” ，即一道选择或填空题和一道解答题。考向一 排列与组合【例 1】 (1)(2018全国卷)从
2、 2位女生，4 位男生中选 3人参加科技比赛，且至少有 1位女生入选，则不同的选法共有_种。(用数字填写答案)(2)(2018浙江高考)从 1,3,5,7,9中任取 2个数字，从 0,2,4,6中任取 2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数。(用数字作答)解析 (1)解法一：根据题意，没有女生入选有 C 4(种)选法，从 6名学生中任意选343人有 C 20(种)选法，故至少有 1位女生入选，不同的选法共有 20416(种)。36解法二：可分两种情况：第一种情况，只有 1位女生入选，不同的选法有C C 12(种)；第二种情况，有 2位女生入选，不同的选法有 C C 4(种)。根据分类加
3、1224 214法计数原理知，至少有 1位女生入选的不同的选法有 16种。(2)若取的 4个数字不包括 0，则可以组成的四位数的个数为 C C A ；若取的 4个数字25234包括 0，则可以组成的四位数的个数为 C C C A 。综上，一共可以组成的没有重复数字的2513133四位数的个数为 C C A C C C A 7205401 260。25234 2513133答案 (1)16 (2)1 260求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘。具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素
4、。 2(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数。解答计数问题多利用分类整合思想。分类应在同一标准下进行，确保“不漏” “不重” 。变|式|训|练1(2018沈阳教学质量监测)若 4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有 1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )A4 种 B8 种C12 种 D24 种解析 将 4个人重排，恰有 1个人站在自己原来的位置，有 C 种站法，剩下 3人不站14原来位置有 2种站法，所以共有 C 28(种)站法。故选 B。14答案 B2(2018开封高三定位考试)某地实行
5、高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科。学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )A6 B12C18 D19解析 解法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有 C C 9(种)；在物理、政治、1323历史中选两科的选法有 C C 9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有 1种。所以学2313生甲的选考方法共有 99119(种)。故选 D。解法二：从六科中选考三科的选法有 C 种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意36一科，这种选法有 1种，因此学生甲的选考方法共有
6、 C 119(种)。故选 D。36答案 D考向二 二项式定理【例 2】 (1)(2018全国卷) 5的展开式中 x4的系数为( )(x22x)A10 B20C40 D80(2) 5的展开式中整理后的常数项为_。(x1x 2)解析 (1)由题可得 Tr1 C (x2)5 r rC 2rx103 r。令 103 r4，则 r2，所r5 (2x) r5以 C 2rC 2240。故选 C。r5 253(2)不妨设 x0， 5 10的通项公式： Tr1 C ( )(x1x 2) (x 1x) r10 x10 r rC x5 r，令 5 r0，解得 r5。所以常数项 C 252。(1x) r10 510答
7、案 (1)C (2)252与二项式定理有关的题型及解法题型 解法求特定项或其系数 常采用二项展开式的通项分析求解系数的和或差 常用赋值法近似值问题 利用展开式截取部分项求解整除(或余数)问题 利用展开式求解变|式|训|练1已知( x22 x3 y)5的展开式中 x5y2的系数为( )A60 B180C520 D540解析 ( x22 x3 y)5可看作 5个( x22 x3 y)相乘，从中选 2个 y，有 C 种选法；再25从剩余的三个括号里边选出 2个 x2，最后一个括号选出 x，有 C C 种选法；所以 x5y2的23 1系数为 32C C 2C 540。故选 D。25 23 1答案 D2
8、( ax )5的展开式中 x3项的系数为 20，则实数 a_。x解析 展开式的通项为 Tr1 C (ax)5 r( )r a5 rC x ，令 5 3 得 r4，所以r5 x r5 r2aC 20，解得 a4。45答案 4考向三 古典概型与几何概型【例 3】 (1)(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和” ，如30723。在不超过 30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30的概率是( )A B 112 114C D115 118(2)正六边形 ABCDEF的边长为 1，在正六边形内随机取点
9、M，则使 MAB的面积大于的概率为_。344解析 (1)不超过 30的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10个，从中随机选取两个不同的数，共有 C 45(种)取法，因为 7231119131730，所以随机选取210两个不同的数，其和等于 30的有 3种取法，故概率为 。故选 C。345 115(2)如图所示，作出正六边形 ABCDEF，其中心为 O，过点 O作 OG AB，垂足为 G，则OG的长为中心 O到 AB边的距离。易知 AOB 60，且 OA OB，所以 AOB是等3606边三角形，所以 OA OB AB1， OG OAsin601 ，即对角线 CF上的
10、点到 AB32 32的距离都为 。设 MAB中 AB边上的高为 h，则由 S MAB 1h ，解得 h 。所以32 12 34 32要使 MAB的面积大于 ，只需满足 h ，即需使 M位于 CF的上方。故由几何概型得，34 32MAB的面积大于 的概率 P 。34 S梯 形 CDEFS正 六 边 形 ABCDEF 12答案 (1)C (2)12(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识。(2)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解。 变|式|训|练1(2018四川绵阳二
11、诊)将一颗骰子先后抛掷 2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为 m，第二次向上的点数记为 n，曲线 C： 1，则曲线 C的焦点在 x轴上x2m2 y2n2且离心率 e 的概率等于( )32A B56 165C D34 14解析 因为离心率 e ，所以 ，解得 ，由列举法，得当 m6 时，32 1 n2m2 32 nm 12n5,4,3；当 m5 时， n4,3；当 m4 时， n3,2；当 m3 时， n2；当 m2 时，n1，共 9种情况，故其概率为 。故选 D。966 14答案 D2(2018衡水金卷模拟)我国数学家邹元治利用如图证明了勾股定理，该图中用勾( a)和股( b)分别表示
12、直角三角形的两条直角边，用弦( c)来表示斜边，现已知该图中勾为 3，股为 4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是( )A B2549 2449C D47 57解析 a3， b4，由题意得 c5，因为大正方形的边长为 a b347，小正方形的边长为 c5，则大正方形的面积为 49，小正方形的面积为 25，所以满足题意的概率值为 1 。故选 B。2549 2449答案 B考向四 条件概率与相互独立事件的概率【例 4】 (1)如图， ABCD是以 O为圆心、半径为 2的圆的内接正方形， EFGH是正方形 ABCD的内接正方形，且 E， F， G， H分别为 AB， BC， CD
13、， DA的中点。将一枚针随机掷到圆 O内，用 M表示事件“针落在正方形 ABCD内” ， N表示事件“针落在正方形 EFGH内” ，则 P(N|M)等于( )6A B1 22C D12 14(2)如图所示，某快递公司送货员从公司 A处准备开车送货到某单位 B处，有A C D B， A E F B两条路线。若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示(例如 A C D算作两个路段，路段 AC发生堵车事件的概率为 ，路段 CD发生堵车事件的概率为 )。若使途中发生堵车事件的概率较小，则由 A到 B16 110应选择的路线是_。解析 (1)由题意得，圆 O的半径为 2，所以内接正方形 ABCD的边长为 AB2 ，则正2方形 ABCD的面积为 S1(2 )28，因为 E， F， G， H分别为 AB， BC， CD， DA的中点，所2以 EF 2R2，所以正方形 EFGH的面积为 S22 24，所以 P(N|M) 。故选 C。12 48 12(2)路线 A C D B途中发生堵车事件的概率 P11 ，(116) (1 110) (1 25) 1120路线 A E F B途中发生堵车事件的概率 P21 。因为(115) (1 18) (1 15) 11250.5。所以410 610p0.6，故选 B。答案 B
