1、7.5 数学归纳法,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法. 2.数学归纳法的适用范围 数学归纳法主要用于解决与正整数 有关的数学命题,证明时,它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可.,-4-,知识梳理,双击自测,3.数学归纳法的框图表示,-5-,知识梳理,双击自测,答案
2、,解析,-6-,知识梳理,双击自测,2.用数学归纳法证明1+2+22+2n-1=2n-1(nN*)的过程中,第二步假设当n=k(kN*)时等式成立,则当n=k+1时应得到( ) A.1+2+22+2k-2+2k-1=2k+1-1 B.1+2+22+2k+2k+1=2k-1-1+2k+1 C.1+2+22+2k-1+2k+1=2k+1-1 D.1+2+22+2k-1+2k=2k-1+2k,答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,3.(教材改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验n等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,
3、n=k+1不等式左边增添的项数是( ) A.k B.2k-1 C.2k D.2k+1,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,5.用数学归纳法证明1+2+3+n2= ,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添的代数式是 .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据. 2.当第(1)步验算n=n0时,要观察表达式中能起通项作用的项,把n=n0代入这个通项,就能找到命题的表达式. 3.在用数学归纳法证明时,第(1)步验算n=n0的n0不一定为1,而
4、是根据题目要求选择合适的起始值,第(2)步证明当n=k+1时命题也成立,n的取值不一定就是k+1,而是满足题意的比k大的下一个值.,-11-,考点一,考点二,考点三,用数学归纳法证明等式(考点难度) 【例1】 求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(nN*).,证明:(1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,等式成立. (2)假设当n=k(kN*)时等式成立, 即(k+1)(k+2)(k+k)=2k135(2k-1), 则当n=k+1时, 左边=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2) =2k135(2k-1
5、)(2k+1)2 =2k+1135(2k-1)(2k+1), 即当n=k+1时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对所有nN*都成立.,-12-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.用数学归纳法证明等式问题,要弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少. 2.由当n=k时等式成立,推出当n=k+1时等式成立.一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程. 3.变形常用的方法:(1)因式分解;(2)添拆项;(3)配方法.,-13-,考点一,考点二,考点三,对点训练(2018浙江舟山模拟)已知(x+1)n=a0+a1(x
6、-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+an(x-1)n(n2,nN*). (1)当n=5时,求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值.,(1)解:当n=5时, 原等式变为(x+1)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5. 令x=2,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243.,-14-,考点一,考点二,考点三,-15-,考点一,考点二,考点三,用数学归纳法证明不等式(考点难度),证明:当n=1时,左边=1,右边=2. 左边右边,不等式成立.,这就是说,当n=k+1时,不等式成立. 由可知,原不等式对任意自然数n都成立.,-
7、16-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. 2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证当n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.,-17-,考点一,考点二,考点三,对点训练(2017浙江五校联考)等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0,且b1,b,r均为常数)的图象上. (1)求r的值; (2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(nN*).,解:由题意,得Sn=bn+r, 当n2时,
8、Sn-1=bn-1+r, 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1), 由于b0,且b1,所以n2时,数列an是以b为公比的等比数列.,-18-,考点一,考点二,考点三,证明:由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(nN*),-19-,考点一,考点二,考点三,归纳猜想证明(考点难度),【例3】 已知nN*, Sn=(n+1)(n+2)(n+n),Tn=2n13(2n-1). (1)求S1,S2,S3,T1,T2,T3; (2)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.,解:(1)S1=T1=2,S2=T2=12,S3=T3=120. (2)猜想:Sn=Tn(nN*). 证明:当n=1时,S
9、1=T1; 假设当n=k(k1且kN*)时,Sk=Tk, 即(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1), 则当n=k+1时,-20-,考点一,考点二,考点三,Sk+1=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)(2k)(2k+1)(2k+2),=2k+113(2k-1)(2k+1)=Tk+1, 即n=k+1时也成立. 由可知nN*,Sn=Tn成立.,方法总结“归纳猜想证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题
10、、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.,-21-,考点一,考点二,考点三,由x2x4x6猜想:数列x2n是递减数列. 下面用数学归纳法证明: 当n=1时,已证命题成立. 假设当n=k(k1,kN*)时命题成立, 即x2kx2k+2,易知xk0,那么,-22-,考点一,考点二,考点三,即x2(k+1)x2(k+1)+2. 也就是说,当n=k+1时命题也成立. 结合知,对nN*命题成立.,-23-,难点突破利用数学归纳法结合放缩法证明不等式问题 数学归纳法是一种重要的数学思想方法,只适用于与正整数有关的命题.当要证明的关系式等号或不等号有一边是一个常数时,数学归纳法常常需要结合放缩法才
11、能有效地解决问题.,-24-,-25-,-26-,-27-,当nN时,TnM. 对任意M(0,6),总存在正整数N,使得nN时,TnM.,-28-,答题指导数学归纳法证明过程的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础,第二步是递推的依据.第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,当n=k+1时一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.当式子一边为常数时,要通过放缩法把数学归纳法的结果和常数建立联系. 高分策略应用数学归纳法时,以下几点容易造成失分: (1)把初始值搞错; (2)在推证当n=k+1时,没有用上归纳假设; (3)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生的变化易被弄错.,
