1、1专题 12 椭圆测试题【高频考点】本知识涉及椭圆的定义，标准方程以及简单的几 何性质的应用，直线与椭圆的位置关系。【考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一，涉及客观题和解答题，客观题主要考查椭圆方程的求解，椭圆的几何性质等，难度中等，在解答题中多以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系 ，定值定点，以及最值问题，常常以探索性问题形式出现，难度较大。【重点推荐】基础卷第 11 题，数学文化题，第 22 题考察与不等式的交汇，考察综合解决问题的能力。一 选择题1. 方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围为（ ）A （1，+） B （，1 C （0，1） D （1，0）【答案】C【
2、解析】：方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆，可得 m（0，1） 故选：C2. 设 P 是椭圆 =1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A2 B2 C2 D4【答案】：C【解析】椭圆 =1 的焦点坐标在 x 轴，a= ，P 是椭圆 =1 上的动 点，由椭圆的定义可知：则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=2 故选：C3. 设 F1、F 2是椭圆的两个焦点，点 P 为椭圆上的点，且|F 1F2|=8，|PF 1|+|PF2|=10，则椭圆的短轴长为（ ）A6 B8 C9 D10【答案】：A【解析】设 F1、F 2是椭圆的两个焦点，点 P 为椭圆上的点，且|F 1F2|=8
3、，可得 c=4，|PF1|+|PF2|=10，可得 a=5，则椭圆的短轴长为：2b=2 =6故选：A24. （2018大连二模）设椭圆 的左焦点为 F，直线 l：y=kx（k0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，则|AF|+|BF|的值是（ ）A2 B C4 D【 答案】：C【解析】如图，设 F2是椭圆的右焦点，O 点为 AB 的中点，丨 OF 丨=丨 OF2丨，则四边形 AFBF2是平行四边形，AF=BF 2|AF|+|BF|=丨 BF 丨+丨 BF2丨=2a=4，故选：C5 若点 F1，F 2为椭圆 的焦点，P 为椭圆上的点，满足F 1PF2=90，则F 1PF2的面积为（ ）A1 B2 C
4、 D4【答案】：A6. （2018齐齐哈尔二模）已知椭圆 + =1（ab0）的离心率为 ，短轴长大于 2，则该椭圆的长轴长的取值范围是（ ） A （2，+） B （4，+） C （2，4） D （4，8）3【答案】：B【 解析】根据题意，椭圆 + =1（ab0）的离心率为 ，即 e= = ，则 c= a，又由椭圆短轴长大于 2，即 2b2，则 b1，则有 a2c 2=b21，即 1，解可得 a2，则该椭圆的长轴长2a4，即该椭圆的长轴长的范围为（4，+） ；故选：B7. （2018大连二模）设椭圆 的左焦点为 F，直线 l：y=kx（k0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，则AFB 周长的取值范
5、围是（ ）A （2，4） B C （6，8） D （8，12）【答案】：C【解析】椭圆 的左焦点为 F（ ，0） ，右焦点 F2（ ，0） ，直线 l：y=kx（k0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，连结 BF2，则 AF=BF2，AB=2OB，由一的定义可知：BF+BF 2=2a=4，OB（1，2） ，则AFB 周长的取值范围是（6，8） 故选：C 15. 设圆（x+1） 2+y2=25 的圆心为 C，A（1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为 【答案】：【解析】由圆的方程可知，圆心 C（1，0） ，半径等于 5，设
6、点 M 的坐标为（x，y ） ，AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M，|MA|=|MQ| 又|MQ|+|MC|=半径 5，|MC|+|MA|=5|AC|依据椭圆的定义可得，点 M 的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且 2a=5，c=1，b= ，4故椭圆方程为 + =1，即 + =1故答案为：16（2018西宁二模）已知椭圆 C： =1，F 1，F 2是该椭圆的左右焦点，点 A（4，1） ，P 是椭圆上的一个动点，当APF 1的周长取最 大值时，APF 1的面积为 【答案】：【解析】：如图所示，由椭圆 C=1 可得 a=5，右焦点 F2（4，0） |F 1F2|=8|PF 1|+|PF2|=2a=
7、10，|PF 1|+|PA|=10|PF 2|+|PA|10+|AF 2|APF 1的周长取最大值时，三点 P、A、F 2共线，且点 P 在第四象限，此时 F1F2AP，|PF 2|= = ，APF 1的面积 S= |F1F2|PA|= 故答案为： 三.解答题17. 已知椭圆 的离心率为 2，其中左焦点 F(-2,0).（1） 求椭圆 C 的方程；（2） 若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，且线段 AB 的中点 M 在圆 x2+y2=1 上，求 m 的值. 5【解析】：（1） 由题意，得解得 2,.ab椭圆 C 的方程为2184xy.5 分（2） 设点 A、 B 的坐标分
8、别为（ x1,y1),(x2,y2)，线段 AB 的中点为 M(x0,y0)，由 消 y 得，3 x2+4mx+2m2-8=0,=96-8 m20,-2 m2 .8 分.点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上， 35m.10 分18. （2018广陵区校级四模）已知椭圆 C： （ab0）的左焦点为 F，上顶点为 A，直线 AF与直线 x+y3 垂直，垂足为 B，且点 A 是线段 BF 的中点（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 M，N 分别为椭圆 C 的左，右顶点，P 是椭圆 C 上位于第一象限的一点，直线 MP 与直线 x=4 交于点Q，且 =9，求点 P 的坐标【分析】 （1）由直线
9、AF 与直线 x+y3 垂直，可得： =1，则直线 AF 的方程为：y=x+c与椭圆方程联立可得 B（ ， ） ，于是 c=0，解得 c，即可得出椭圆方程6（2）设 P（x 0，y 0） ，则直线 MP 的方程为 y= （x+2） ，可得 Q .9= =2（x 0+2）+，由点 P 在椭圆上可得： =2 ，代入解出即可得出（2）设 P（x 0，y 0） ，则直线 MP 的方程为 y= （x+2） ，Q 9= =2（x 0+2）+ ，7 分由点 P 在椭圆上可得： =2 ，代入可得：9=2（x 0+2）+ ，化为： +x02=0，解得 x0=1 或2 （舍） ，P 12 分19. （2018江苏
10、一模）已知椭圆 C： （ab0）经过点 ， ，点 A 是椭圆的下顶点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过点 A 且互相垂直的两直线 l1，l 2与直线 y=x 分别相交于 E，F 两点，已知 OE=OF，求直线 l1的斜率7【分析】 （1）根据题意，将两点的坐标代入椭圆的方程有 ，解可得 、 的值，即可得椭圆的方程；（2）设直线 l1：y=k 1x1，与直线 y=x 联立方程有 ，可得 E 的坐标，设直线l2： ，同理可得 F 的坐标，又由 OE=OF，所以 ，解可得 k 的值，即可得答案【解析】：（1）根据题意，椭圆 C： （ab0）经过点 ， ，则有 ，解得 ，3 分 所以椭圆 C 的标
11、准方程为 ；5 分（2）由题意知 A（0，1） ，直线 l1，l 2的斜率存在且不为零，设直线 l1：y=k 1x1，与直线 y=x 联立方程有 ，得 ，设直线 l2： ，同理 ，7 分 因为 OE=OF，所以 ， ， 无实数解；8 ， ， ，解得 ，综上可得，直线 l1的斜率为 12 分20 （2018辽宁模拟）已知 M（ ）是椭圆 C： （ab0）上的一点，F 1F2是该椭圆的左右焦点，且|F 1F2|=2 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设点 A，B 是椭圆 C 上与坐标原点 O 不共线的两点，直线 OA，OB，AB 的斜率分别为 k1，k 2，k 3，且k1k2=k2试探究|OA| 2
12、+|OB|2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由【分析】 （1）根据椭圆的定义及椭圆的性质，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线 AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得 k2= ，即可求得|OA|2+|OB|2=5 为定值【解析】：（1）由题意，F 1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，根据椭圆定义|PF 1|+|PF2|=2a，所以 2a= + =4，所以 a2=4，b 2=a2c 2=1椭圆 C 的方程 ；5 分（2）设直线 AB：y=kx+m， （km0） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 ，消去 y 得（1+4k
13、2）x 2+8kmx+4m24=0，=（8km） 24（1+4k 2） （4m 24）0，x 1+x2= ，x 1x2= ，因为 k1k2=k2，所以 =k2，即 km（x 1+x2）+m 2=0（m0） ，解得 k2= ，8 分|OA|2+|OB|2=x12+x22+y12+y22= （x 1+x2） 22x 1x2+2=5， 所以|OA| 2+|OB|2=5 为定值12 分921. （2018南充模拟）已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，点 M（2，1）在椭圆 C 上（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l 平行于 OM，且与椭圆 C 交于 A，B 两个不同的点，若AOB 为钝
14、角，求直线 l 在 y 轴上的截距m 的取值范围【分析】 （1）由椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，点 M（2，1）在椭圆 C 上，列出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程（2）设 l 的方程为 y= x+m，再与椭圆方程联立，将AOB 为钝角，转化为 0，且 m0，利用韦达定理，即可求出直线 l 在 y 轴上的截距 m 的取值范围【解析】：（1）椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，点 M（2，1）在椭圆 C 上 ，解得 a=2 ，b= ，c= ，3 分椭圆 C 的方程为 =15 分 （2）由直线 l 平行于 OM，得直线 l 的斜率 k=kOM= ，又 l 在
15、y 轴上的截距为 m，l 的方程为 y= 12xm由 ，得 x2+2mx+2m24=08 分又直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点，=（2m） 24（2m 24）0，于是2m2AOB 为钝角等价于 0，且 m0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 =x1x2+y1y2= = ，由韦达定理 x1+x2=2m，x 1x2=2m24，代入上式，10化简整理得 m22，即 ，故所求范围是（ ）（0， ） 12 分22. （2018聊城一模）已知圆 x2+y2=4 经过椭圆 C： 的两个焦点和两个顶点，点A（0，4） ，M，N 是椭圆 C 上的两点，它们在 y 轴两侧，且MAN
16、的平分线在 y 轴上，|AM|AN|（）求椭圆 C 的方程；（）证明：直线 MN 过定点【分析】 （）根据题意，由圆的方程分析可得椭圆的焦点和顶点坐标，即可得 c、b 的值，由椭圆的几何性质计算可得 a 的值，即可得椭圆的标准方程；（）设直线 MN 的方程为 y=kx+m，与椭圆的方程联立，消去 y 得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m28=0设M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，由根与系数的关系分析直线 AM、AN 的斜率，进而分析可得k1+k2= =0，解可得 m 的值，由直线的斜截式方程即可得答案（）证明：设直线 MN 的方程为 y=kx+m由 ，消去 y 得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m28=0设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 ， 直线 AM 的斜率 = ；直线 AN 的斜率 = k1+k2= = = 8 分由MAN 的平分线在 y 轴上，得 k1+k2=011即 =0，又因为|AM|AN|，所以 k0，所以 m=1 因此，直线 MN 过定点（0，1） 12 分
