1、1云南省昆明市黄冈实验学校 2019 届高三数学上学期期末考试试卷 文（含解析）第卷 选择题（共 60 分）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.设集合 ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意 ，故选 A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图2.下列各式的运算结果
2、为纯虚数的是A. (1+i)2 B. i2(1-i) C. i(1+i)2 D. i(1+i)【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.【详解】由题意，对于 A 中，复数 为纯虚数，所以正确；(1+i)2=2i对于 B 中，复数 不是纯虚数，所以不正确；i2(1i)=1+i对于 C 中，复数 不是纯虚数，所以不正确；i(1+i)2=2对于 D 中，复数 不是纯虚数，所以不正确，故选 A.i(1+i)=1+i【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类2问
3、题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A. 60 B. 3 C. 20 D. 10【答案】D【解析】【分析】由题意，根据给定的几何体的三视图，还原得出空间几何体的形状，利用体积公式求解，即可得到答案.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是如图所示一个三棱锥，则该几何体的体积是 ，故选 D.V=1312534=10【点睛】本题考查了几何体的三视图及几何体的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几
4、何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.4.函数 的最小正周期为（ ）f(x)=sin(2x+3)3A. B. C. D. 4 2 2【答案】C【解析】由题意 ，故选 CT=22=【名师点睛】函数 的性质：y=Asin(x+)+B(A0,0)(1) .ymax=B+A， ymin=B-A(2)最小正周期 T=2.(3)由 求对称轴.x+=2+k(kZ)(4)由 求增区间;由 求减区间.-2+2kx+2+2k(kZ) 2+2kx+32+2k(kZ)5.为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田这 n 块地的亩产量（单位
5、： kg）分别为 x1， x2， xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A. x1， x2， xn的平均数 B. x1， x2， xn的标准差C. x1， x2， xn的最大值 D. x1， x2， xn的中位数【答案】B【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选 B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用） ，中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小） 在样本容量
6、相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度6.函数 的最小正周期为（ ）f(x)=tanx1+tan2xA. B. C. D. 4 2 2【答案】C【解析】4【分析】将函数 进行化简可得 ，进而可得函数的最小正周期f(x)=tanx1+tan2x f(x)=12sin2x【详解】由已知得f(x)= tanx1+tan2x= sinxcosx1+(sinxcosx)2=sinxcosx=12sin2x所以，函数 的最小正周期f(x) T=22=故选 C【点睛】求有关三角函数的最小正周期时，需要把函数的解析式化成 或y=Asin(x
7、+)或 的形式，然后根据周期的公式求解，故解答类似问题的关y=Acos(x+) y=Atan(x+)键是将函数的解析式转化成所需的形式7.下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（ ）y=lnx x=1A. B. C. D. y=ln(1-x) y=ln(2-x) y=ln(1+x) y=ln(2+x)【答案】B【解析】分析：直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果详解：首先根据函数 y=lnx 的图象，则：函数 y=lnx 的图象与 y=ln（x）的图象关于 y 轴对称由于函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称则：把函数 y=ln（x）的图象向右平移 2 个单位即可得到：
8、y=ln（2x） 即所求得解析式为：y=ln（2x） 故答案为：B点睛：本题主要考查函数图像的变换和对称问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平.8.已知椭圆 C： (ab0)的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以线段 A1A2为直径的圆x2a2+y2b2=1与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为( )A. B. 63 33C. D. 23 13【答案】A【解析】由题意得以线段 A1A2为直径的圆的方程为 x2 y2 a2，5又由原点到直线 bx ay2 ab0 的距离 ，d= 2abb2+a2=a整理得 a23 b2， C 的离心率 选 Ae= 1b2a2= 113=639.在正方
9、形 中， 为棱 的中点，则（ ） ABCDA1B1C1D1 E CDA. B. C. D. A1EDC1 A1EBD A1EBC1 A1EAC【答案】C【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影，A.若 ，那么 ，很显然不成立；B.若 ，那么 ，显A1EDC1 D1EDC1 A1EBD BDAE然不成立；C.若 ，那么 ，成立，反过来 时，也能推出 ,A1EBC1 BC1B1C BC1B1C BC1A1E所以 C 成立；D.若 ，则 ，显然不成立，故选 C.A1EAC AEAC【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）
10、证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.10.函数 y=f(x)的导函数 的图像如图所示，则函数 y=f(x)的图像可能是y=f(x)A. B. C. D. 【答案】D【解析】6设导函数 y=f（x）的图象与 x 轴的交点从小到大依次为 a，b，c，故函数 y=f（x）在（-，a）上单调递减，在（a，b）单调递增，在（b，c）单调递减，在（c，+）单调递增，结合选项不难发现选 D.11.从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二
11、张卡片上的数的概率为（ ）A. B. C. D. 110 15 310 25【答案】D【解析】【分析】由题意，求得基本事件的总数为 种，再利用列举法，求得抽得的第一张卡片上的数大于25第二张卡片上的数包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】从分别写有 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，1,2,3,4,5基本事件的总数为 种，n=55=25抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：，共有 个基本事件，(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4) m
12、=10所以抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 .P=mn=1025=25【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中对于古典概型中基本事件数的探求常见方法：(1)列举法；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.12. ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c已知 ， a=2， c=sinB+sinA(sinCcosC)=0，则 C=2A. B. C. D. 12 6 4 3【答案】B
13、【解析】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，sinB+sinA（sinCcosC）=0，sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0，7cosAsinC+sinAsinC=0，sinC0，cosA=sinA，tanA=1， A，2A= ，34由正弦定理可得 ，csinC=asinAa=2，c= ，2sinC= = ，csinAa 2222 =12ac，C= ，6故选：B点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理
14、、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往ab b2 a2往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.二.填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知向量 a， b 的夹角为 60，| a|=2，| b|=1，则| a +2 b |= _ .【答案】 23【解析】平面向量与 的夹角为 ，b 600 |a|=2， |b|=1 .ab=21cos600=1 |a+2b|= (a+2b)2=
15、 a2+4ab+(2b)2= 4+4+4=23故答案为： .23点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式8(2) 常用来求向量的模|a|= aa14.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_ 件.【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取 件，故答案为 18603001000=18点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，
16、即 ni Ni n N15.函数 （ ）的最大值是_f(x)=sin2x+ 3cosx-34 x0,2【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则 ，f(x)=1cos2x+ 3cosx34=cos2x+ 3cosx+14= (cosx32)2+1由 可得 ，当 时，函数 取得最大值 1x0,2 cosx0,1 cosx=32 f(x)点睛:本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次” ，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面进行
17、分析16.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 若 为 的F C: y2=8x MC FM y N MFN中点，则 _|FN|=【答案】6【解析】抛物线 的焦点 ，C: y2=8x F(2， 0)设 ，N(0， a)为 的中点，MFNM(1， a2)9在抛物线 上，M C: y2=8x，即a=42 N(0， 42)|FN|=6点睛：分析题意，回想抛物线的简单性质，求出 的坐标是解题的关键。先根据抛物线的N性质得到 的坐标，设 ，根据中点坐标公式表示出 的坐标，将 代入抛物线解析式F N(0， a) M M求出的值，确定点 坐标，最后根据两点距离公式计算即可。N三解答题（共
18、 6 小题，第 17 小题 10 分，其余各小题 12 分，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (t 为参数)，直线 的参数方程为xoy l1 x=2+ty=kt l2( 为参数)设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲线x=2+my=mk m l1 l2 P k P C(1)写出 的普通方程；C(2)以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ， 为x l:(cos+sin)2=0 M与 的交点，求 的极径C M【答案】 （1） ；（ 2） .x2y2=4(y0) 5【解析】【分析】(1)分别消掉参数 t 与 m
19、 可得直线 l1与直线 l2的普通方程为 y=k（x-2）与 x=-2+ky；联立，消去 k 可得 C 的普通方程为 x2-y2=4；(2)将 l 的极坐标方程与曲线 C 的极坐标方程联立，可得关于 的方程，解得 tan ， 即可求得 l 与 C 的交点 M 的极径为 【详解】(1)消去参数 t，得 l1的普通方程 l1： y k(x2)；消去参数 m，得 l2的普通方程 l2： y (x2) 设 P(x， y)，由题设得消去 k，得 x2 y24( y0)，所以 C 的普通方程为 x2 y24( y0)(2)C 的极坐标方程为 2(cos2 sin 2 )4(0 2， )，联立 得 cos
20、sin 2(cos sin )10故 tan ，从而 cos2 ，sin 2 .代入 2(cos2 sin 2 )4，得 25，所以 l 与 C 的交点 M 的极径为 .【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题18.记 为等差数列 的前 项和，已知 ， Sn an n a1=7 S3=15（1）求 的通项公式；an（2）求 ，并求 的最小值Sn Sn【答案】 （1） an=2n9， （2） Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前 n 项和
21、公式得 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量Sn为正整数求函数最值.详解：（1）设 an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以 an的通项公式为 an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（ n4） 216所以当 n=4 时， Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.19.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:)
22、有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定20,25)六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最 高 气 温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40)天 数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率， ；11（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货Y量为 450 瓶时
23、，写出 的所有可能值，并估计 大于零的概率 .Y Y【答案】 （1）0.6； （2）0.8.【解析】【分析】(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,求出最高气温位于区间 和最高气温低于20,25)的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；（2）当湿度大20于等于 时,需求量为 500 ,求出 元；当温度在 时，需求量为 300，求出25C Y=900 20,25)C元；当温度低于 时，需求量为 200，求出 元，从而当温度大于等于 20 时，Y=300 20C Y=100,由此能估计估计 大于零的概率 .Y0 Y【详解】 （1）这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶
24、，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 ， 所以这种酸奶一天的需求量2+16+3690=0.62+16+3690=0.6不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6.（2）当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y=6 450-4 450=900； 若最高气温位于区间 20,25） ，则 Y=6 300+2（450-300）-4 450=300； 若最高气温低于 20，则 Y=6 200+2（450-200）-4 450= -100. 所以， Y 的所有可能值为 900,300，-100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格
25、数据知，最高气温不低于 20 的频率为，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.36+25+7+490 =0.836+25+7+490 =0.8【点睛】在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数 ，其次求出概率n事件中含有多少个基本事件 ，然后根据公式 求得概率.m P=mn20.如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， AD=CD12（1）证明： AC BD；（2）已知 ACD 是直角三角形， AB=BD若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比【答案】 （1）见解析；（2）1:1.【解析】试题分析：（1
26、）取 的中点 ，由等腰三角形及等边三角形的性质得 ， ，AC O ACOD ACOB再根据线面垂直的判定定理得 平面 ，即得 AC BD；（2）先由 AE EC，结合平面AC OBD几何知识确定 ，再根据锥体的体积公式得所求体积之比为 1:1.EO=12AC试题解析：（1）取 AC 的中点 O，连结 DO， BO.因为 AD=CD，所以 AC DO. 又由于 是正三角形，所以 AC BO.ABC从而 AC平面 DOB，故 AC BD.（2）连结 EO.由（1）及题设知 ADC=90，所以 DO=AO.在 中， .RtAOB BO2+AO2=AB2又 AB=BD，所以，故 DOB=90.BO2+
27、DO2=BO2+AO2=AB2=BD2由题设知 为直角三角形，所以 .AEC EO=12AC又 是正三角形，且 AB=BD，所以 .ABC EO=12BD故 E 为 BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ，四面体 ABCE12的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，即四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为 1:1.1213【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21.在直角坐标系 xOy 中
28、，曲线 与 x 轴交于 A， B 两点，点 C 的坐标为 .当y=x2+mx2 (0,1)m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 AC BC 的情况？说明理由；（2）证明过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.【答案】 （1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设 ，由 AC BC 得 ；由根与系数的关系得 ，A(x1,0),B(x2,0) x1x2+1=0 x1x2=2矛盾，所以不存在；（2）求出过 A， B， C 三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长.试题解析：（1）不能出现 AC BC 的情况，理由如下：设 , ,则 满足 ，所以 .
29、A（ x1,0） B（ x2,0） x1， x2 x2+mx-2=0 x1x2=-2又 C 的坐标为（0，1） ，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 ，所以不能出现-1x1-1x2=-12AC BC 的情况.（2） BC 的中点坐标为（ ） ，可得 BC 的中垂线方程为 .x22， 12 y-12=x2（ x-x22）由（1）可得 ，所以 AB 的中垂线方程为 .x1+x2=-m x=-m2联立 又 ，可得x=-m2，y-12=x2（x-x22）， x22+mx2-2=0 x=-m2，y=-12， 所以过 A、 B、 C 三点的圆的圆心坐标为（ ） ，半径-m2， -12 r=m2+92
30、，故圆在 y 轴上截得的弦长为 ，即过 A、 B、 C 三点的圆在 y 轴上截得的2r2-（ m2） 2=3弦长为定值.【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直14角三角形代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：；|AB|= 1+k2|x1x2|= 1+k2(x1+x2)24x1x2(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题22.设函数 .f(x)=(1x2)ex（1）讨论 的单调性；f(x)（2）当 时， ，求的取值范围. x0 f(x)ax+1【答案】(1) 在 ， 上单调
31、递减，在 上单调递增；f(x) (-,-1- 2) (-1+ 2,+) (-1- 2,-1+ 2)(2) 1,+)【解析】【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可(1)化简 ，下面对的范围进行讨论：(2) f(x)=(1x)(1+x)ex当 时， 当 时，设函数 ，则 ，推出结论； 当a1 00 时，推出结果，然后得到的取值范围a0【详解】 因为 ， ，(1) f(x)=(1-x2)ex xR所以 ，f(x)=(1-2x-x2)ex令 可知 ，f(x)=0 x=-1 2当 或 时 ，当 时 ，x-1+ 2 f(x)0所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增；f
32、(x) (-,-1- 2) (-1+ 2,+) (-1- 2,-1+ 2)由题可知 下面对 a 的范围进行讨论：(2) f(x)=(1-x)(1+x)ex.当 时，设函数 ，则 ，a1 h(x)=(1-x)ex h(x)=-xex0)因此 在 上单调递减，h(x) 0,+)又因为 ，所以 ，h(0)=1 h(x)1所以 ；f(x)=(1+x)h(x)x+1ax+1当 时，设函数 ，则 ，00(x0)所以 在 上单调递增，g(x) 0,+)15又 ，g(0)=1-0-1=0所以 exx+1因为当 时 ，0(1-x)(1+x)2所以 ，(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2)取 ，则 ，x0=5-4a-12 (0,1) (1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0所以 ，矛盾；当 时，取 ，则 ，矛盾；综上所述，a 的取值范围是 【点睛】点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用
