1、1昆明黄冈实验学校 2018-2019 学年度上学期期末考试高三理科数学试题 第卷 选择题（共 60 分）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合 A= ，B= ，则 A B 中元素的个数为A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意，集合 A 表示以 为圆心，1 为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合 B 表示直线 上所有的点组成的集合，根据直线与圆的位置关系，即可求解集合中元素的个数，得到答案。【详解】由题意，集合 A 表示以 为圆心，1 为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合
2、B 表示直线 上所有的点组成的集合，又由圆 与直线 相交于两点 ，x2+y2=1 y=x (1,1),(1,1)则 中有两个元素，故选 C.AB【点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2.已知 ，是虚数单位，若 ， ，则 （ ）aR z=a+ 3i zz=4 a=A. 1 或 B. 或 C. D. 1 7 7 3 3【答案】A【解析】由 得 ，所以 ，故选 A.z=a+ 3i,zz=4 a2
3、+3=4 a=1【名师点睛】复数 的共轭复数是 ，据此结合已知条件，求得的方a+bi(a,bR) abi(a,bR)程即可.23.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A. 3 B. 22 3C. 2 D. 22【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥 ABCDE，其中 AE平面 BCDE，底面 BCDE 为正方形，则 AD=AB=2 ，AC= 2 (22)2+22=23该四棱锥的最长棱的长度为 23故选： B4.函数 的最小正周期为（ ）f(x)=sin(2x+3)A. B. C. D. 4 2 2【答案】C3【解析】分析：根据正弦函数的周期公式直接求解即可.详
4、解：由题函数 的最小正周期 f(x)=sin(2x+3) T=2=22=.故选 C.点睛：本题考查正弦函数的周期，属基础题.5. 展开式中 x2的系数为(1+1x2)(1+x)6A. 15 B. 20 C. 30 D. 35【答案】C【解析】因为 ，则 展开式中含 的项为 ，(1+1x2)(1+x)6=1(1+x)6+1x2(1+x)6 (1+x)6 x2 1C26x2=15x2展开式中含 的项为 ，故 的系数为 ，选 C.1x2(1+x)6 x2 1x2C46x4=15x2 x2 15+15=30【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含 的项
5、共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成x2这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.6.椭圆 的离心率是x29+y24=1A. B. C. D. 133 59 23 53【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的方程求得 ，得到 ，再利用离心率的定义，即可求解。a=3,b=2 c= a2b2=5【详解】由题意，根据椭圆的方程 可知 ，则 ，x29+y24=1 a=3,b=2 c= a2b2=5所以椭圆的离心率为 ，选 De=ca=53【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方a,b,c程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，建立
6、关于 的方程或不等式，要a,b,c b a,c a,b,c充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等7.函数 y=f(x)的导函数 的图像如图所示，则函数 y=f(x)的图像可能是y=f(x)4A. B. C. D. 【答案】D【解析】设导函数 y=f（x）的图象与 x 轴的交点从小到大依次为 a，b，c，故函数 y=f（x）在（-，a）上单调递减，在（a，b）单调递增，在（b，c）单调递减，在（c，+）单调递增，结合选项不难发现选 D.8.已知随机变量 满足 P（ =1）= pi， P（ =0）=1 pi， i=1，2.若 0E(1) E(2) D(1) D(2) E(1) E(2)
7、D(1) D(2)C. ， ， E(1) E(2) D(1) D(2) E(1) E(2) D(1) D(2)【答案】A【解析】 ， ，E(1)=p1,E(2)=p2 E(1)0,b0) F 2 F P(0,4)行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A. B. C. D. x24y24=1 x28y28=1 x24y28=1 x28y24=1【答案】B【解析】由题意得 ，选 B.a=b,4c=1c=4,a=b=22x28y28=16【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于 的方程，解方程组求出 ，另外
8、求双曲线方程要注意a,b,c a,b巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为 ， （2）与 共渐近线的双曲mx2ny2=1(mn0)x2a2y2b2=1线可设为 ， （3）等轴双曲线可设为 等，均为待定系数法求标准x2a2y2b2=(0) x2y2=(0)方程.12.设 ， ， 为正数，且 ，则 x y 2x=3y=5z ( )A. B. C. D. 2x1x=logk2,y=logk3,z=logk52x=2logk2=logk2= 1log21k,， 3y=3logk3=logk313= 1log31k 5z=5logk5=logk515= 1log51k， (212)6=23=81,01log
9、51k 1log21k 1log31k 5z2x3y故选 D第卷 非选择题（共 90 分）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知向量 a， b 的夹角为 60，| a|=2，| b|=1，则| a +2 b |= _ .【答案】 23【解析】平面向量与 的夹角为 ，b 600 |a|=2， |b|=1 .ab=21cos600=1 |a+2b|= (a+2b)2= a2+4ab+(2b)2= 4+4+4=237故答案为： .23点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2) 常用来求向量的模|a|= aa14.函数 在 的零点个数为_f(x)=cos(3x
10、+6) 0 ， 【答案】 3【解析】分析：求出 的范围，再由函数值为零，得到 的取值可得零点个数。3x+6 3x+6详解： 0x63x+6196由题可知 ，或3x+6=2， 3x+6=32 3x+6=52解得 ,或x=9,49 79故有 3 个零点。点睛：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。15.函数 （ ）的最大值是_f(x)=sin2x+ 3cosx-34 x0,2【答案】1【解析】【分析】利用平方关系化正弦为余弦，然后利用换元法转化为二次函数求最值.【详解】化简三角函数的解析式，则 f(x)=1-cos2x+ 3cosx-34=-cos2x+ 3cosx+14=，由 可得
11、 ，当 时，函数 取得最大值 1-(cosx-32)2+1 x0,2 cosx0,1 cosx=32 f(x)【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：化成 的形式y=asin2x+bsinx+c利用配方法求最值；形如 的可化为 的形式利用三角函数有界性求最值；y=asinx+bcsinx+d sinx=(y) 型，可化为 求最值 .y=asinx+bcosx y= a2+b2sin(x+)16.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 若 为 的F C: y2=8x MC FM y N MFN中点，则 _|FN|=8【答案】6【解析】抛物线 的焦点 ，C: y2=8
12、x F(2， 0)设 ，N(0， a)为 的中点，MFNM(1， a2)在抛物线 上，M C: y2=8x，即a=42 N(0， 42)|FN|=6点睛：分析题意，回想抛物线的简单性质，求出 的坐标是解题的关键。先根据抛物线的N性质得到 的坐标，设 ，根据中点坐标公式表示出 的坐标，将 代入抛物线解析式F N(0， a) M M求出的值，确定点 坐标，最后根据两点距离公式计算即可。N三解答题（共 6 小题，第 17 小题 10 分，其余各小题 12 分，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (t 为参数)，直线 的参数方程为xo
13、y l1 x=2+ty=kt l2( 为参数)设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲线x=2+my=mk m l1 l2 P k P C(1)写出 的普通方程；C(2)以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ， 为x l:(cos+sin)2=0 M与 的交点，求 的极径C M【答案】 （1） ；（ 2） .x2y2=4(y0) 5【解析】【分析】(1)分别消掉参数 t 与 m 可得直线 l1与直线 l2的普通方程为 y=k（x-2）与 x=-2+ky；联立，消去 k 可得 C 的普通方程为 x2-y2=4；(2)将 l 的极坐标方程与曲线 C 的极坐标方程联立，可得关于 的
14、方程，解得 tan ， 即可求得 l 与 C 的交点 M 的极径为 【详解】(1)消去参数 t，得 l1的普通方程 l1： y k(x2)；9消去参数 m，得 l2的普通方程 l2： y (x2) 设 P(x， y)，由题设得消去 k，得 x2 y24( y0)，所以 C 的普通方程为 x2 y24( y0)(2)C 的极坐标方程为 2(cos2 sin 2 )4(0 2， )，联立 得 cos sin 2(cos sin )故 tan ，从而 cos2 ，sin 2 .代入 2(cos2 sin 2 )4，得 25，所以 l 与 C 的交点 M 的极径为 .【点睛】本题考查参数方程与极坐标方
15、程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题18.记 为等差数列 的前 项和，已知 ， Sn an n a1=7 S3=15（1）求 的通项公式；an（2）求 ，并求 的最小值Sn Sn【答案】 （1） an=2n9， （2） Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前 n 项和公式得 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量Sn为正整数求函数最值.详解：（1）设 an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以 an的通项公式为 an=2n9（2
16、）由（1）得 Sn=n28n=（ n4） 216所以当 n=4 时， Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.19.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气10温位于区间 ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定20,25)六月份的订购计划，统计了前三年六月
17、份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最 高 气 温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40)天 数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 (单位:瓶)的分布列；X（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量Y（单位：瓶）为多少时？ 的数学期望达到最大值？n Y【答案】 （1）见解析；（2） n=300 时， Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元.【解析】【分析】（1）由题意知 X 的可能取值为 200，300，500，
18、分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列；（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶，至少为 200 瓶，只需考虑200n500，根据 300n500 和 200n300 分类讨论经，能得到当 n=300 时，EY 最大值为 520 元【详解】 （1）由题意知， 所有可能取值为 200,300,500，由表格数据知X， ， .P(X=200)=2+1690=0.2P(X=300)=3690=0.4P(X=500)=25+7+490=0.4因此 的分布列为XX 200 300 500P 0.2 0.4 0.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500，至少为 200，因此只
19、需考虑 .200n500当 时，300n500若最高气温不低于 25，则 ；Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间 ，则 ；20,25) Y=6300+2(n-300)-4n=1200-2n若最高气温低于 20，则 ；Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n因此 .EY=2n0.4+(1200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n11当 时，200n300若最高气温不低于 20，则 ；Y=6n-4n=2n若最高气温低于 20，则 ；Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n因此 .EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n所以 n
20、=300 时， Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.20.如图，四面
21、体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .77【解析】【分析】（1）利用题意，证得二面角为 ，即可得到平面 ACD平面 ABC；900（2）建立适当的空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值。【详解】 （1）由题意可得， ,从而 ，ABDCBD AD=DC12又 是直角三角形，所以 ，ACD ACD=900取
22、 AC 的中点 O，连接 DO，BO，则 ，DOAC,DO=AO又由 是正三角形，所以 ，ABC BOAC所以 是二面角 的平面角,DO DACB在直角 中， ，AOB BO2+AO2=AB2又， 所以 ，故 ，AB=BD BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2 DOB=900所以平面 平面 。ACD ABC（2）由题设及（1）可知 , , 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角OAOBOC O坐标系 ， Oxyz则 A(1,0,0),B(0, 3,0),C(1,0,0),D(0,0,1)由题设知，四面体 的体积为四面体 的体积的 ，从而 到平面 的距离为 到平面ABCE A
23、BCD12 E ABC D的距离的 ，即 为 的中点，得 .ABC12 E DB E(0,32,12)故 ,AD=(1,0,1),AC=(2,0,0),AE=(1,32,12)设 是平面 的法向量，则 ，即 ，n=(x,y,z) DAE nAD=0nAE=0 x+z=0x+32y+12z=0令 ，则 ，即平面 的一个法向量 ，x=1 y=33,z=1 DAE n=(1,33,1)设 是平面 的法向量，则 ，m=(x,y,z) AEC mAC=0mAE=0可得平面 的一个法向量 ，AEC n=(0,1, 3)则 ，即二面角 的余弦值为 。cosm,n=mn|m|n|=77 DAEc 77【点睛】
24、本题主要考查了二面角的平面角的定义及应用，以及利用空间向量求解二面角的计算，对于立体几何中空间角的计算问题，往往可以利用13空间向量法求解，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式得以求解，同时解答中要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。21.设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 Px22+y2=1满足 .NP= 2NM（1）求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 上，且 。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左x=3 OPPQ=1焦点 F.【答案
25、】 （1）点 P 的轨迹方程为 x2 y22.（2）证明见解析。【解析】【分析】（1）设 M（x 0，y 0） ，由题意可得 N（x 0，0） ，设 P（x，y） ，运用向量的坐标运算，结合 M满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程；（2）设 Q（3，m） ，P（ cos， sin） ， （02） ，运用向量的数量积的坐标2 2表示，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为 0，即可得证【详解】 （1）设 M（x 0，y 0） ，由题意可得 N（x 0，0） ，设 P（x，y） ，由点 P 满足 = NP 2NM可得（xx
26、 0，y）= （0，y 0） ，2可得 xx 0=0，y= y0，2即有 x0=x，y 0= ，y2代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1，x22 x22y22即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2；（2）证明：设 Q（3，m） ，P（ cos， sin） ， （02） ，2 2 =1，可得（ cos， sin）（3 cos ，m sin）=1，OP PQ 2 2 2 2即为3 cos2cos 2+ msin2sin 2=1，2 2当 =0 时，上式不成立，则 02，14解得 m= ，3(1+2cos)2sin即有 Q（3， ） ，3(1+2cos)2sin椭圆 +y2=1 的左焦点 F
27、（1 ，0） ，x22由 =（1 cos， sin）（3， ）PF OQ 2 2 3(1+2cos)2sin=3+3 cos3（1+ cos）=02 2可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F另解：设 Q（3，t） ，P（m，n） ，由 =1，OP PQ可得（m，n）（3m，tn）=3mm 2+ntn 2=1，又 P 在圆 x2+y2=2 上，可得 m2+n2=2，即有 nt=3+3m，又椭圆的左焦点 F（1，0） ， =（1m，n）（ 3，t）=3+3mntPF OQ=3+3m33m=0，则 ，PF OQ可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F【点
28、睛】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为 0，考查化简整理的运算能力，属于中档题22.已知函数 f(x)=excosxx（）求曲线 在点 处的切线方程；y=f(x) (0,f(0)（）求函数 在区间 上的最大值和最小值f(x) 0,2【答案】() ；（）最大值 1；最小值 .y=1 2【解析】试题分析：（）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（ ）设 ，求 ，根据 确定函数 的单调性，yf(0)=f(0)(x0) h(x)=f(x) h(x) h(x)0
29、 h(x)根据单调性求函数的最大值为 ，从而可以知道 恒成立，所以函数 是h(0)=0 h(x)=f(x)0 f(x)15单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（）因为 ，所以 .f(x)=excosx-x f(x)=ex(cosx-sinx)-1,f(0)=0又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .f(0)=1 y=f(x) (0,f(0) y=1（）设 ，则 .h(x)=ex(cosx-sinx)-1 h(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx当 时， ，x(0,2) h(x)0所以 在区间 上单调递减.h(x) 0,2所以对任意 有 ，即 .x(0,2 h(x)h(0)=0 f(x)0所以函数 在区间 上单调递减.f(x) 0,2因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过 不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 ，再求 ，一般这时就可求得函数 的零点，或是 ( )恒成立，这样就能知道函数 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断 的单调性，最后求得结果.
