1、第1课时 坐标系与参数方程,热点考向一 极坐标方程及其应用 考向剖析:本考向考查形式为解答题,主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程的应用.考查抽象概括能力和运算求解能力,为中档题,分值为10分.,2019年的高考仍将以解答题形式出现,主要考查求极坐标方程及其应用、特别是与极径几何意义有关的问题.,【典例1】在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:cos =3,曲线 C2:=4cos (1)求C1与C2交点的极坐标. (2)设点Q在C2上, ,求动点P的极坐标方程.,【审题导引】(1)看到求C1与C2交点的极坐标, 联想到解_. (2)看到
2、 联想到_相等.,方程组,对应坐标,【解析】(1)联立 因为0 所以所求交点的极坐标为,(2)设P(,),Q(0,0)且0=4cos 0,0 由已知 所以 =4cos ,点P的极坐标方程为 =10cos ,【名师点睛】 1.极径的几何意义及其应用 (1)几何意义:极径表示极坐标平面内点M到极点O的距离. (2)应用:一般应用于过极点的直线与曲线相交,所得的弦长问题,需要用极径表示出弦长,结合根与系数的关系解题.,2.极坐标化直角坐标的常用技巧 (1)通常要用去乘方程的两边,使之出现2, cos ,sin 的形式. (2)含关于tan 的方程用公式tan =,提醒:(1)根据题目的需要可规定R,
3、此时(-,)与(,)关于极点对称. (2)极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意变形的等价性.,【考向精炼】 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (为参数),直线C2的方程为y= x,以O为极点,x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程. (2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求,【解析】(1)曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1, 则C1的极坐标方程为2-4cos -4sin +7=0. 由于直线C2过原点,且倾斜角为 , 故其极坐标为= (R (或tan = ),(2)由 得2-(2 +2)+7=0, 故1+2=2 +2,12=7
4、, 所以,【易错警示】解答本题容易忽视以下两点: (1)根据图象直观判断直线C2的方程,极坐标方程 是= ; (2)忽视极径的几何意义1=|OA|,2=|OB|.,【加练备选】 1.(2018吉林梅河口五中一模)已知圆O:x2+y2=4,将 圆O上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 , 得到曲线C.,(1)写出曲线C的参数方程. (2)设直线l:x-2y+2=0与曲线C相交于A,B两点,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线m过线段AB的中点,且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍,求直线m的极坐标方程.,【解析】(1)设曲线C上任意一点P(x,y), 则点Q(x,2y)在圆O上
5、,所以x2+(2y)2=4,即 +y2=1, 所以曲线C的参数方程是 (为参数),(2)解 得,A(-2,0),B(0,1), 所以线段AB的中点N的坐标为 设直线l的倾斜角为, 则tan =,所以直线m的方程为y= (x+1)+ , 即8x-6y+11=0, 所以直线m的极坐标方程为8cos -6sin+11=0.,2.(2018合肥三模)在平面直角坐标系xOy中,直线l 的参数方程为 (t为参数),圆C的方程 为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O为极点,x轴正半轴为极 轴建立极坐标系.,(1)求直线l及圆C的极坐标方程. (2)若直线l与圆C交于A,B两点,求cosAOB的值.,【解
6、析】 (1)由直线l的参数方程 得,其普通方程为y=x+2, 所以直线l的极坐标方程为sin =cos +2. 又因为圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,将 代入并化简得=4cos +2sin , 所以圆C的极坐标方程为=4cos +2sin .,(2)将直线l:sin =cos +2, 与圆C:=4cos +2sin 联立,得 (4cos +2sin )(sin -cos )=2, 整理得sin cos =3cos2,所以= , 或tan =3.,不妨记点A对应的极角为 ,点B对应的极角为, 且tan =3. 于是,cosAOB=cos,3.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的方程为
7、x2=4y+4. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求C的极坐标方程. (2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于 A,B两点,|AB|=8,求l的斜率.,【解析】(1)由x=cos ,y=sin 可得抛物线C的极坐标方程2cos2-4sin -4=0.,(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R), 设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2cos2-4sin-4=0,因为cos20(否则,直线l与抛物线C没有两个公共点), 于是1+2= ,12= |AB|=|1-2|= 由|AB|=8得cos2= ,tan =1
8、, 所以l的斜率为1或-1.,4.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极 轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位,已知 圆C的参数方程为 (为参数),直线l的极坐 标方程为= 点P在l上.,(1)过P向圆C作切线,切点为F,求|PF|的最小值. (2)射线OP交圆C于R,点Q在OP上,且满足|OP|2= |OQ|OR|,求Q点轨迹的极坐标方程.,【解析】(1)圆C的参数方程为 (为参数), 可得圆C的普通方程为x2+y2=4, 直线l的极坐标方程为= 即有sin +cos =4, 即直线l的直角坐标方程为x+y-4=0.,由|PO|2=|PF|2+|OF|2, 由P到圆心O(0,0
9、)的距离d最小时, |PF|取得最小值. 由点到直线的距离公式可得dmin= 可得|PF|最小值为,(2)设P,Q,R的极坐标分别为(1,),(,),(2,), 由1= ,2=2, 又|OP|2=|OQ|OR|,可得 =2,即有= 即Q点轨迹的极坐标方程为=,热点考向二参数方程及其应用 考向剖析:本考向考查形式为解答题,主要考查直线、圆、椭圆的参数方程及其应用.考查抽象概括能力和运算求解能力,为中档题,分值为10分.,2019年的高考仍将以解答题形式出现,主要考查参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数几何意义的应用.,【典例2】(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy 中,O的参数方程为
10、 (为参数),过点 且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点. (1)求的取值范围. (2)求AB中点P的轨迹的参数方程.,【审题导引】 (1)看到求的取值范围,联想到根据l与O相交求 _的取值范围. (2)看到求线段AB中点P的轨迹的参数方程,联想到 点P对应的_,代入直线l的_方程.,斜率,参数,参数,【解析】(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1. 当= 时,l与O交于两点. 当 时,记tan =k,则l的方程为y=kx- . l与O交于两点当且仅当 1, 即 或 . 综上,的取值范围是,(2)l的参数方程为 (t为参数, ). 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP= 且tA
11、,tB满足t2-2 tsin +1=0.,于是tA+tB=2 sin ,tP= sin . 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 (为参数, ).,【名师点睛】 1.参数方程化为普通方程消去参数的方法 (1)代入消参法:将参数解出来代入另一个方程消去参 数,直线的参数方程通常用代入消参法. (2)三角恒等式法:利用sin2+cos2=1消去参数,圆 的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.,(3)常见消参数的关系式:,2.关于直线参数方程中参数t的几何意义及应用 (1)几何意义:参数t的绝对值等于直线上动点M到定点 M0的距离,若t0,则 的方向向上;若t0,则 的方
12、向向下;若t=0,则点M与M0重合.,(2)应用:一般应用于过定点的直线与圆锥曲线交于A,B两点,与弦长|AB|及其相关的问题,解决的方法是首先用t表示出弦长,再结合根与系数的关系构造方程、函数式等解决问题.,【考向精炼】 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方 程为 (t为参数,aR),以坐标原点为极点, 以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方 程为cos2+2cos -=0.,(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程. (2)已知曲线C1和曲线C2交于A,B两点(P在A,B之间),且|PA|=2|PB|,求实数a的值.,【解析】(1)C1的参
13、数方程 消参得普通方程为x+y-a-1=0, C2的极坐标方程为cos2+2cos -=0, 两边同乘得2cos2+2cos -2=0, 即y2=2x.,(2)将曲线C1的参数方程代入曲线C2:y2=2x得t2+2 t+1-2a=0,设A,B对应的参数为t1,t2, 由题意得|t1|=2|t2|且P在A,B之间,则t1=-2t2, 由题意得 解得a=,【加练备选】 1.(2018湖北八校第二次联考)在直角坐标系xOy中, 直线l的参数方程为: 为参数,00,), 以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐 标系,圆C的极坐标方程为:=,(1)在直角坐标系xOy中,求圆C的圆心的直角坐标.
14、 (2)设点P(1, ),若直线l与圆C交于A,B两点,求证:|PA|PB|为定值,并求出该定值.,【解析】(1)圆C:x2+y2-4x-4 y=0, 圆心坐标C(2,2 ).,(2) 将 代入C:x2+y2-4x-4 y=0, 所以t2-(2 sin +2cos )t-12=0, 设点A,B所对应的参数为t1,t2,则t1t2=-12, 所以|PA|PB|=|t1t2|=12.,2.(2017衡水一模)已知直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的参数方程为 (为参数). (1)若直线l与圆C的相交弦长不小于 ,求实数m的取 值范围. (2)若点A的坐标为(2,0),动点P在圆C上,试求线段P
15、A 的中点Q的轨迹方程.,【解析】(1)直线l的参数方程为 (t为参数), 普通方程为y=mx, 圆C的参数方程为 (为参数), 普通方程为x2+(y-1)2=1. 圆心到直线l的距离d=,相交弦长= 所以 所以m-1或m1.,(2)设P(cos ,1+sin ),Q(x,y),则 x= (cos +2),y= (1+sin ), 消去,整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程 (x-1)2+,3.(2017惠州一模)已知曲线C的极坐标方程是 =4cos ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴 为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数 方程是 (t是参数).,(1)将曲线C的极坐标方程化为直角
16、坐标方程. (2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|= , 求直线l的倾斜角的值.,【解析】(1)因为cos =x,sin =y,2=x2+y2, 所以曲线C的极坐标方程=4cos 可化为 2=4cos , 所以x2+y2=4x,所以(x-2)2+y2=4.,(2)将 代入圆的方程(x-2)2+y2=4得: (tcos -1)2+(tsin )2=4, 化简得t2-2tcos -3=0. 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2, 则,所以|AB|=|t1-t2|因为|AB|= , 所以 所以cos = .,因为0,),所以= 或= . 所以直线的倾斜角= 或= .,热点考向三 极坐标
17、与参数方程的综合应用 高频考向,类型一 极径和参数几何意义的灵活应用 【典例3】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程 为 (为参数),A,B在曲线C上,以坐标原点 O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,A,B两点 的极坐标为,(1)求曲线C的极坐标方程. (2)设曲线C的中心为M,求MAB的面积.,【大题小做】,【解析】(1)由 消去,得 (x-3)2+(y-4)2=25, 即x2+y2-6x-8y=0,将x=cos ,y=sin , 代入得曲线C的极坐标方程为2-6cos - 8sin =0, 即-6cos -8sin =0.,(2)将 代入(1)所得的极坐标方程, 得1=4+3
18、,2=8, 所以|AB|= 曲线C的中心M到弦AB的距离为d= 所以SMAB=,类型二 求最值或取值范围问题 【典例4】(2018信阳二模)已知直线l的参数方程为(其中t为参数),曲线C1:2cos2+ 32sin2-3=0,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极 轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同长度单位.,(1)求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程. (2)在曲线C1上是否存在一点P,使点P到直线l的距离最大?若存在,求出距离的最大值及点P的直角坐标;若不存在,请说明理由.,【审题导引】 (1)要求直线l的普通方程需要用加减消去参数t,要求 曲线C1的直角坐标方程需要根据_,_ 进行转化
19、. (2)要求点P到直线l的距离最大,需要借助曲线C1的 _方程,转化为三角函数的最值问题.,x=cos,y=sin,参数,【解析】(1)直线l的普通方程为x-y+1=0, 曲线C1的直角坐标方程为 +y2=1.,(2)由(1)可知C1: (其中为参数),所以点 P到直线l的距离 d= 所以dmax= 此时cos =1,即+ =2k(kZ),即=2k- (kZ), 所以xP= cos = ,yP=sin =- , 即P（ ，- ）. 故存在这样的点P （ ，- ）,使点P到直线l的 距离最大且为 .,【探究追问】 1.若将例4直线l的方程改为“ ”, 曲线C1的方程改为“2cos2+42sin
20、2-4=0”, 其他条件不变,试求点P到直线l的距离的最大值.,【解析】将曲线C1的极坐标方程2cos2+42sin2-4=0化为普通方程为 +y2=1,化为参数方程为 (为参数), 直线l的普通方程为x+y+1=0.,设P到直线l的距离为d, d= 所以P到直线l的距离的最大值为 .,2.若将例4曲线C1的方程改为“2cos2+32sin2-9=0”,曲线C2 的极坐标方程是=2cos ,P,Q 分别是曲线C1和C2 上的任意点,求|PQ| 的最小值.,【解析】曲线C1的直角坐标方程为 =1, 参数方程是 (为参数), 曲线C2 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 曲线C2中,因为=2
21、cos ,所以2=2cos , 所以x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.,设C1上任意点P 所以P到C2圆心(1,0)的距离所以|PQ|min= -1.,【名师点睛】 1.巧解与三角形知识的综合问题 (1)数形结合明确极径和极角的几何意义,并表示三角形的有关元素. (2)利用正弦、余弦定理找到变量,的关系.,2.三角换元求最值问题 (1)适用情景 涉及直线与圆、直线与椭圆位置关系的最值问题.,(2)两种方法 三角换元转化为三角函数求最值问题 转化为普通方程或直角坐标方程,利用直线与圆、椭圆的知识直接解答.,【考向精炼】 1.(2018宜宾二模)在平面直角坐标系xOy中,曲线 C1的参数
22、方程为 (为参数).以平面直角 坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系,直线C2的极坐标方程为sin =,(1) 求曲线C1的极坐标方程. (2) 设C1和C2的交点为A,B,求AOB的面积.,【解析】(1)曲线C1的参数方程为 (为参数) 消去参数的C1的直角坐标方程为x2-4x+y2=0, 所以C1的极坐标方程为=4cos .,(2)解方程组 有4sin cos = 得sin 2= , 所以=2k+ (kZ)或=2k+ (kZ), 当=2k+ (kZ)时,=2 , 当=2k+ (kZ)时,=2,所以C1和C2交点的极坐标 所以SAOB= |AO|BO|sinAOB= 2
23、2sin = . 故AOB的面积为 .,2.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (其中为参数),曲线C2: =1,以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 世纪金榜导学号,(1)求曲线C1,C2的极坐标方程. (2)射线l:=(0)与曲线C1,C2分别交于点A,B (且A,B均异于原点O),当0 时,求|OB|2-|OA|2 的最小值.,【解析】(1)曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,C1的 极坐标方程为=2cos ,C2的极坐标方程为=1,2cos2+22sin2=8, 2(1+sin2)=8,即2=,(2)联立=(0)与C1的极坐标方程得|OA|2=4cos2,
24、 联立=(0)与C2的极坐标方程得 |OB|2=,则|OB|2-|OA|2= -4cos2 = -4(1-sin2) = +4(1+sin2)-8(当且仅当sin = 时取等号). 所以|OB|2-|OA|2的最小值为8 -8.,【加练备选】 1.(2018沈阳二中一模)在平面直角坐标系xOy中, 已知曲线C的参数方程为 (t0,为参数), 以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的 长度单位建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,(1)当t=1时,求曲线C上的点到直线l的距离的最大值. (2)若曲线C上的所有点都在直线l的下方,求实数t的取值范围.,【解析】(1)直线l的直角坐标方程为x+
25、y-3=0, 曲线C:x2+y2=1, 所以曲线C为圆,且圆心O到直线l的距离 d= 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1+ .,(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的下方, 所以对R,有tcos +sin -30,所以解得0t2 . 所以实数t的取值范围为(0,2 ).,2.(2018银川一模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的 参数方程为 (为参数),曲线C2的参数方 程为 (为参数),以O为极点,x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程.,(2)已知射线l1:= ,将射线l1顺时针旋转得到射线l2:=- ,且射线l1与曲线C1交于O,P 两点,射线l
26、2与曲线C2交于O,Q两点,求|OP|OQ|的 最大值.,【解析】(1)曲线C1的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4, 所以C1的极坐标方程为=4cos , 曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4, 所以C2的极坐标方程为=4sin .,(2)设点P的极坐标为(1,), 即1=4cos ,点Q的极坐标为 即2=4sin , 则|OP|OQ|=12=4cos 4sin =16cos =8sin -4.,因为 ,所以2- 当2- = ,即= 时,|OP|OQ|取最大值4.,3.(2017全国卷) 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程
27、为cos =4.,(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足 |OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程. (2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.,【解析】(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极 坐标为(0,)(00),由题设知|OP|=,|OM|=0, 由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0),因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).,(2)设点B的极坐标为(B,)(B0), 由题设知|OA| =2,B=4cos ,于是OAB的面积S = |OA|BsinAOB=4cos 当=- 时,S取得最大值2+ . 所以OAB面积的最大值为2+ .,
