1、1专题 8 函数与导数真题引领洞悉考情1.(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x).若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)= ( )A.-50 B.0 C.2 D.50【解析】选 C.f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,图象关于原点对称,满足 f(1-x)=f(1+x),则f(x+4)=f(1-(x+3)=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1) =-f(-x)=f(x),所以 f(x)是周期为 4的函数.又 f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(
2、1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=120+f(1)+f(2)=2.2.(2018全国卷)函数 f = 的图象大致为 ( )()-2【解析】选 B.因为 x0,f(-x)= =-f(x),-2所以 f(x)为奇函数,舍去 A,因为 f(1)=e-e-10,所以舍去 D;因为 f(x)=(+-)2-(-)242= ,(-2)+(+2)-3所以当 x2 时,f(x)0,所以舍去 C;因此选 B.3.(2017全国卷)函数 f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数.若 f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1 的 x 的取值范围是 ( )A.-2,2
3、B.-1,1 C.0,4 D.1,3【解析】选 D.由已知,得 f(-1)=1,使-1f(x)1 成立的 x 满足-1x1,所以由-1x-21 得 1x3,即使-1f(x-2)1 成立的 x 满足 1x3,4.(2017全国卷)若 x=-2 是函数 f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则 f(x)的极小值为 ( )A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1【解析】选 A.由题可得 f(x)=(2x+a)e x-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1,因为 f(-2)=0,所以 a=-1,f(x)=(x2-x-1)ex-1,故 f(x)=(x 2+x-2
4、)ex-1,令 f(x)0,解得 x1,所以 f(x)在(-,-2)和(1,+)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以 f(x)极小值 =f(1)=(1-1-1)e1-1=-1.5.(2016全国卷)若直线 y=kx+b 是曲线 y=ln x+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,则 b=_. 【解析】y=ln x+2 的切线为:y= x+ln x1+1(设切点横坐标为 x1),11y=ln(x+1)的切线为:y= x+ln(x2+1)- (设切点横坐标为 x2),12+1所以解得 x1= ,x2=- ,12 12所以 b=ln x1+1=1-ln 2.3答案:1-ln 26.(
5、2018全国卷)曲线 y= ex在点 处的切线的斜率为-2,则(+1) (0,1)a=_. 【解析】由 y=(ax+1)ex,所以 y=ae x+(ax+1)ex=(ax+1+a)ex,故曲线 y=(ax+1)ex在(0,1)处的切线的斜率为 k=a+1=-2,解得 a=-3.答案:-37.(2017全国卷)如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D,E,F 为圆 O 上的点,DBC,ECA,FAB 分别是以 BC, CA,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得 D,E,F 重合
6、,得到三棱锥.当ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为_. 【解析】连接 OB,连接 OD,交 BC 于点 G,由题意得,ODBC,OG= BC,设 OG=x,则 BC=2 x,DG=5-x,三棱锥的高h= = = ,2-2 25-10+2-2SABC =2 x3x =3 x2,12则 V= SABC h= x213= ,254-105令 f(x)=25x4-10x5,x ,f(x)=100x 3-50x4,(0,52)令 f(x)0,即 x4-2x32,令 f(x)=0 得,x= 或 x= .+2-42当 x 时,f(x)0.5所以 f(x)在 , 上单调递减,在上
7、单调递增.(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点,当且仅当 a2.由于 f(x)的两个极值点 x1,x2满足 x2-ax+1=0,所以 x1x2=1,不妨设 x11.由于 =- -1+a(1)-(2)1-2 112 1- 21-2=-2+a =-2+a , 1- 21-2-2 212-2所以 0.从而 f 0 时,令 f =0,从而 aex-1=0,得 x=-ln a.()x -ln af - 0 +f() 单调减 极小值 单调增综上,当 a0 时,f(x)在 R 上单调递减;当 a0 时,f(x)在(-,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+)上单调递增.(2)由(1)知,当 a0 时
8、,f 在 R 上单调递减,故 f 在 R 上至多一个零点,不满足条件.()当 a0 时,f(x) min=f =1- +ln a.令 g =1- +ln a ,() (0)则 g = + 0.()12从而 g 在 上单调增,而 g =0.()故当 01 时 g 0.()若 a1,则 f(x)min=1- +ln a=g 0,()故 f 0 恒成立,从而 f 无零点,不满足条件.() ()若 a=1,则 f(x)min=1- +ln a=0,故 f =0 仅有一个实根 x=-ln a=0,不满足条件.()7若 00.f = + +1- 0.(-1)2故 f 在 上有一个实根 ,()而又 ln ln =-ln a,且 f(3-1)= -ln(3-1)(3-1)+-2= -ln= -ln 0.故 f 在 上有一个实根.()又 f 在 上单调递减,在 上单调递增,故 f 在 R 上() (-,-) ()至多两个实根.又 f 在 及 上均至少有一个实数根,故 f 在() ()R 上恰有两个实根.综上,a 的取值范围为 .(0,1)
