1、- 1 -成都外国语学校 18-19 下高 2016 级高三入学考试试题数学（理工类）第卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 ，则 A B 的元素有( )22(,)log,(,)AxyxByxA1 个 B2 个 C3 个 D4 个2已知复数 ( 为虚数单位)，则 的虚部为( )1izzA1 B0 C1 Di3.已知双曲线 的渐近线方程为 ，且经过点 ，则 的方程为( )2yx2,)CA. B. ,C. D. 23xy23x1213yx4函数 有且只有一个零点的充分不必要条件是( )2log0()xfa
2、A B C. D0112a01a或5.已知函数 ，且 ，()sin)fx30()fxd则函数 的图象的一条对称轴是( )A B C D56712x6某几何体的正视图和侧视图如图所示，它的俯视图的直观图是 ，如图所示，其中A，则该几何体的表面积为( )23OABC，A B 3148C D467已知圆 和两点22:()()1xy(,0),0m若圆 上存在点 ，使得 ，则 的最大值P90Am为( )A7 B6 C5 D48.如果执行右边框图， ，则输出的数 与输入的 的关系sN是（ ）A. B. 1()2N 12C. D. N- 2 -9如图所示，已知点 是 的重心，过点 作直线与 两边分别交于 两
3、GABCG,ABC,MN点，且 ，则 的值为( ),AMxNyxyA3 B. C2 D.13 1210.已知函数 ，其在区间 上单调递增，()xaf0,1则 的取值范围为( )aA B C D. 0,11,0,211 如图，抛物线 的一条弦 经过焦点 ，取线段 的中点 ，延长 至点24yxABFOBDOA，使 ，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，则 的最小值为CO,Dy,EG( )A B C D. 23412. 若函数 有三个不同的零点，2()lnlxfxa则实数 a 的取值范围是( )A. B. C. 1,e1,eD. (,)e,e第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
4、20 分，把答案填在答题卷的横线上。.13某班级有 50 名学生，现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生，将这50 名学生随机编号 150 号，并分组，第一组 15 号，第二组 610 号，第十组4650 号，若在第三组中抽得号码为 12 的学生，则在第八组中抽得号码为_的学生14、若 ，则 _.(cos)2fx(sin)2f15.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角形，SABCOABC1为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为 SCO16. 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， . 是 边的中点，且 ，abcD02AD， ，则 面积为 8sin315
5、aBc1os4ABC- 3 -三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列 na的前 项和为 nS，且 ， na， S成等差数列， 2log1nnba（l）求数列 的通项公式；（2）若数列 nb中去掉数列 na的项后余下的项按原顺序组成数列 nc，求110cc的值18.如图，点 是菱形 所在平面外一点， 平PABCDPA面 ， ， ，ABC/FE602（）求证：平面 平面 ；P（）求二面角 的余弦值19.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进
6、行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 （ 1,2，6） ，如表所(,)ixyi示：试销单价 （元）x4 5 6 7 8 9产品销量 （件）yq84 83 80 75 68- 4 -已知 61iy80（）求出 的值；q（）已知变量 ， 具有线性相关关系，求产品销量 （件）关于试销单价 （元）的线xyyx性回归方程 ；ba（）用 表示用（）中所求的线性回归方程得到的与 对应的产品销量的估计值当Aiy ix销售数据 对应的残差的绝对值 时，则将销售数据 称为一个“好数(,)ixA|1iy(,)iy据” 现从 6 个销售数据中任取 3 个，求“好数据”个数 的分布列和数学期望
7、 ()E（参考公式：线性回归方程中 ， 的最小二乘估计分别为 , )ba12niixybaybx20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率 ，过焦点且垂直21(0)xyab12e于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长为 3（1）求椭圆的方程；（2）动直线 与椭圆交于 A,B 两点，在平面上是否存在定点 P，使得当直线 PA1:2lyxm与直线 PB 的斜率均存在时，斜率之和是与 无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点 P 的坐标；若不存在，请说明理由21. （本小题满分 12 分）设函数 ，其中 aR21()4ln(4)fxax（1）讨论 的单调性；()fx（2）若函数 存在极值，对于
8、任意的 ，存在正实数 ，使得120x0x试判断 与 的大小关系并给出证明12012()(),fxffx0请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22.选修 4-4：坐标系与参数方程- 5 -在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） 以 为极点，xOyl321xtyO轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （ ） ，且曲x Ccosa0线 与直线 有且仅有一个公共点Cl（）求 ；a（）设 、 为曲线 上的两点，且 ，求 的最大值ABC3AOB|AOB23.选修 4-
9、5：不等式选讲已知函数 的最大值 （ ） ()|1|2|fxxaR（）求 的值；a（）若 （ ， ） ，试比较 与 的大小mn0n2mn- 6 -成都外国语学校高 2016 级高三下入学考试答案数学（理工类）第卷一、选择题1-5 BCAAA 6-10 CBABC 11-12 DA二、填空题：13、37 14、 15、 16、3263154三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【解析】 （1）因为 n， a， nS成等差数列，所以 2nnSa，2 分所以 112nnS，得 aa，所以 122nna4 分又当 1n时， 112S，所以 1，所
10、以 ，故数列 na是首项为 ，公比为 2的等比数列，所以 12n，即 1na6 分（2）根据（1）求解知， 2log21nbn， b，所以 12nb，所以数列 nb是以 1为首项， 为公差的等差数列7 分又因为 1a， 23， 7a， 415， 3a， 6， 712a， 85，647b， 06， 107b，9 分所以 12210727cca 127073 142819012 分18.（）证明：取 中点 ，连 交 于 ，连 ， PCMBDACOME在菱形 中， ，ABDOA 平面 ， 平面 ， ，PP又 ， ， 平面 ， 平面 ，A- 7 - ， 分别是 ， 的中点， ， ，OMACP/OMPA
11、12又 ， ， ， ，/DE12/DE四边形 是平行四边形，则 ， 平面 ，C又 平面 ，平面 平面 PAPC（）解：由（）得 平面 ，则 ， ， 两两垂直，以 ， ，EOBOBC所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，OMxyz设 ，则 ， ， ， ，22PABFD(3,0)(,10)(,2)P(3,01)F， ， ，(0,)C(,1)PF设 是平面 的一个法向量，则11nxyzC即1,0PB11320,yz取 ，得 ， ， ，x111(3,)n设 是平面 的一个法向量，22(,)nyzFPC同理得， 0, ，12120342cos, 7|n二面角 的余弦值为 BPCF1
12、9.解：（） ，可求得 6180iy90q（） ，612356.874271.5()iixnb，8046.51ayx所以所求的线性回归方程为 406yx- 8 -（）利用（）中所求的线性回归方程 可得，当 时， ；当4106yx14xA190y时， ；当 时， ；当 时， ；当 时，25xA286y3xA3827A48y5；当 时， 749670y与销售数据对比可知满足 （ 1,2，6）的共有 3 个“好数据”： 、|1ii (4,90)、 (6,83)(,5)于是 的所有可能取值为 ， ， ， 023； ； ；361(0)2CP1369()0CP21369()0CP，36() 的分布列为：
13、0 1 2 3P1292090120于是 193()020E20. 解：(1) 设椭圆的半焦距为 c，则 ，且 由 解得22ab12cea2,1xcyb2 分2bya依题意， ，于是椭圆的方程为 4 分232143xy(2)设 ，设 ，与椭圆方程联立得121,2AxtBxt:2lt230.t则有 6 分2121,3.xtxt直线 PA,PB 的斜率之和- 9 -9 分1221122()()33.PABmxtnxtmknt当 时斜率的和恒为 0，解,m得 11 分1,32n或综上所述，所有满足条件的定点 P 的坐标为 或 12 分31,2,21. 解：（1）函数 f(x)的导函数 2 分4(4)
14、(1()(),axfxa情形一 a0此时 ，于是 f(x)在 上单调递增；3 分0A情形二 a0此时 f(x)在 上单调递增，在 上单调递减4 分4,a4,a（2）函数 f(x)存在极值，因此 a0根据题意，有5 分12120 12ln4()(4,xf x 而 6 分1212128(),xf aax 故只需要比较 与 的大小12ln12令 ，则 当 时， ，故()()ltgt224(1)()tgttt()0gt在(1,)上单调递增因此，当 时， t ()0gt于是， ，2121lnx- 10 -即 1212lnxx9 分于是 10120(),xff分又 在 上单调递减，因此 进而 fxA120,x120x22.解：（）直线 的普通方程是 ，l3y曲线 的直角坐标方程是 ，C22()xa依题意直线 与圆相切，则 ，解得 或 ，l|d3a1因为 ，所以 0a1（）如图，不妨设 ， ，则 ， ，(,)A2(,)3B12cos2cos()3，12|OABcos3in6所以 ，即 ， 时， 最大值是 6k6kZ|OAB23.解：（）由于3,1(),.xf的最大值为 ，故 .()fx(1)2fa（） ，且 ， ，mn0n ，122()()()2mn12()mn当且仅当 ，即 ， 等号成立 nn所以 .m
