1、1眉山一中办学共同体 2020 届第三期 12 月月考试题数学（理科）第 I 卷（选择题）一、选择题：（共 60 分，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1经过点( 3，2)，倾斜角为 60的直线方程是（ C ）A )(2xy B )3(2xyC )3(2xy D)3(【解析】 由点斜式可知直线方程为 【答案】tan60k23yxC2平面内动点 到定点 的距离之和为 6，则动点 的轨迹是（ C ）P12(3,)(,0FPA. 双曲线 B. 椭圆 C.线段 D.不存在3方程 y ax 表示的直线可能是( B )1a4已知 a(2,1,3)， b(1,2,1)，若
2、a( a b)，则实数 的值为( D )A2 B C. D2143 145【解析】 由题意知 a(a b)0，即 a2 ab0，所以 147 0，解得 2. 答案 D5已知双曲线 的离心率为 ，则 的渐近线方程为（ D ),(1:2byaxC25C）2A. B. C. D. xy41xy31xy26设 是三条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：lmn、 、 、 、若 ，则 ；,lmn ln若 ，则 ；若 是两条异面直线， 且 ，则 ；, ,lml若 ，则 ；,l其中正确命题的序号是( A )A B. C. D.7若动点 分别在直线： 和 ： 上移动，),(),(21yxB、 01
3、yx2l01yx则 中点 的轨迹方程为（ D ）BMA B C D06yx668直三棱柱 ABC A1B1C1中， BCA90， M、 N分别是 A1B1、 A1C1的中点， BC CA CC1，则 BM 与AN 所成角的余弦值为( C )A. B. C. 110 25 103D. 2解析 方法一 由于 BCA90，三棱柱为直三棱柱，且 BC CA CC1，可将三棱柱补成正方体建立如图(1)所示空间直角坐标系设正方体棱长为 2，则可得 A(0,0,0)， B(2,2,0)， M(1,1,2)， N(0,1,2)， (1，1,2)， (0,1,2)BM AN 3cos ， .BM AN BM A
4、N |BM |AN | 1 4( 1)2 ( 1)2 2202 12 22 365 3010方法二 通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解如图(2)，取 BC 的中点 D，连接 MN， ND， AD，由于 MN B1C1 BD，因此有 ND BM，则 ND12与 NA 所成的角即为异面直线 BM 与 AN 所成的角设 BC2，则 BM ND ， AN ， AD6 5，5因此 cos AND .ND2 NA2 AD22NDNA 30109已知圆 ，点 是圆 内的一点，过点 的圆 的最短:ryxO)(),abPOPO弦在直线 上，直线 的方程为 ，那么直线 满足（ ）1l2l2ryx
5、2lA 且与圆 相交 B. 且与圆 相切2/ 1lC 且与圆 相离 D. 且与圆 相离1lO2O10已知直线 y=2 x+1 与椭圆 交于 A、 B 两点，且线段 AB 的中)0(12baya点在直线 x4 y=0 上，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【解答】设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，由 A、 B 在椭圆上： + =1， + =1，两式相减，得： + =0， kAB = = ， 4由题意可知： ，解得： ，则线段 AB 的中点（ ， ） ，则： x1+x2= ， y1+y2= ， kAB = =2， 即: =2， a2=2b2，椭圆的离心率 e= = = ，故选
6、 D11如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长为 3，底面边长A1C1 B1C11，且 A1C1B190， D 点在棱 AA1上且 AD2 DA1， P 点在棱 C1C 上，则 的最小值为( B )PD PB1 A. B C. D52 14 14 52解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(1,0,2)， B1(0,1,3)，设 P(0,0， z)，则 (1,0,2 z)， (0,1,3 z)，PD PB1 00(2 z)(3 z)( z )2 ，PD PB1 52 14故当 z 时， 取得最小值为 .52 PD PB1 1412如图， 是椭圆 与双曲线 的公共焦点，21,F:21
7、yxC2C分别是 在第二、四象限的公共点若四边形 为矩形，则 的离心率是 BA, 21BFA2C( D ) A. B. C. D. 232326第 II 卷（非选择题）二、填空题（共 20 分，每小题 5 分）13过点 且平行于直线 的直线方程为_ _514若变量 满足约束条件 则 的最大值是_7_,xy420,xyzxy15若直线 y kx1 与曲线 x 有两个不同的交点，则 k 的取值范围是1 4y2_解析：由 x ，得 x24 y21( x0)，1 4y2又直线 y kx1 过定点(0,1)，故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在 y 轴右侧的部分有两个公共点，当直线与椭圆(右侧部分
8、)相切时， k ，则相交时 k .32 32答案：(， )3216如图所示，已知二面角 l 的平面角为 ， ， AB BC， BC CD， AB(0,)在平面 内， BC 在 l 上， CD 在平面 内，若 AB BC CD1，则 AD 的长为_解析 因为 ，_AD AB BC CD 所以 2 2 2 22 2 2 AD AB BC CD AB CD AB BC BC CD 1112cos( )32cos .所以| | ，即 AD 的长为 .AD 3 2cos 3 2cos 三、解答题：(共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本题满分 10 分）已知直角 的顶点 的坐标为
9、 ，直角AB(,0)顶点 的坐标为 ，顶点 在 x 轴上B(1,C（1）求边 所在直线的方程； （2）求直线 的ABC斜边中线所在的直线的方程【答案】 （1） ； （2）直角 的斜边中320xy线 的方程为 OB6（2） lBC: ，点 在坐标轴上，320xyC由 ，得： ，即 ， 斜边 的中点为 ，0y(,)A(0,)故直角 的斜边中线为 （ 为坐标原点） ，ABCOB设直线 ，代入 ，得 ，:Okx(1,3)k直角 的斜边中线 的方程为 yx18 （本题满分 12 分）已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，1F2 )0,(12ba焦距为 ，渐近线方程为 .6xy(1)求双曲线的标准方程；
10、(2)过右焦点 作倾斜角为 的直线交双曲线于 、 两点，求线段 的长度.230 ABAB解：（1）由题意： ；6abc22136xy（2）由双曲线的方程得： ， ，1(0)F,-(),所以直线 AB 的方程为，3yx=将其代入双曲线方程消去 y 得， ，解之得 . 2567+-=12935x,-=将 代入，得 ，故 , ，12x,123,-()A,-()B故 .65AB=19 （本小题满分 12 分）已知线段 AB 的端点 B 的坐标 ，端点 A 在圆1,3上运动， C 为圆心2:14Cxy（1）求线段 AB 的中点 M 的轨迹；（2）过 B 点的直线 l 与圆 有两个交点 M、 N. 当 C
11、M CN 时，求 l 的斜率7解：（1）设动点 M ，端点 A ，则有: ,xy0,xy00121233xxyy代入圆 中得到：200:14C2222:44Cxx（2）设直线 l 的方程为： ，3(1)yk由 CM CN 知：点 C 到直线 l 的距离等于 ,2r即: ，22231701kkkk83420.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中，动点 到两点 、 的距xOyP(0,3)(,)离之和等于 4设点 的轨迹为 PC(1)求曲线 C 的方程； (2)设直线 与 交于 两点，若 ，求1ykxCAB、 OAB的值.k解：（1）设 P（ x， y）,由椭圆定义可知:点 P 的轨迹 C
12、是以 、 为焦点， a=2， c= 的椭圆.(03)(,)3短半轴 221b 故曲线 C 的方程为 4yx. 4 分（2）设 12(,)(,)AyB，其坐标满足21,4.yxk，消去 y 并整理得: kxk3=0，(*) 6 分故 12123,.4x 若 ,OAB即 0.y 则: 21222310,4ky， 10 分化简得 4,k所以 .满足(*)中 ，故 为所求. 12 分01221.（本题满分 12 分）如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，侧棱 A1A底面ABCD， AB DC， AB AD， AD CD1， AA1 AB2， E 为棱 AA1的中点(1)证明： B1C1 CE；(
13、2)求二面角 B1 CE C1的正弦值；8(1)证明 如图，以点 A 为原点，分别以 AD， AA1， AB 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，依题意得 A(0,0,0)， B(0,0,2)， C(1,0,1)， B1(0,2,2)， C1(1,2,1)，E(0,1,0)易得 (1,0，1)， (1,1，1)，于是 0，所以 B1C1 CE.B1C1 CE B1C1 CE (2)解 (1，2，1)B1C 设平面 B1CE 的法向量 m( x， y， z)，则Error!即Error!消去 x，得 y2 z0，不妨令 z1，可得一个法向量为 m(3，2,1)由(1)知，
14、B1C1 CE，又 CC1 B1C1，可得 B1C1平面 CEC1，故 (1,0，1)为平面 CEC1的一个法向量B1C1 于是 cos m， ，从而 sin m， ，B1C1 mB1C1 |m|B1C1 | 4142 277 B1C1 217所以二面角 B1 CE C1的正弦值为 .21722.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为)0(12bayaxF1、 F2，右顶点为 E，过 F1与 x 轴垂直的直线与椭圆 C相交，其中一个交点为 M( ， )32（1）求椭圆 C 的方程；（2）设过定点（1，0）的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、 B，直线 AE、 BE 的斜率为k1、 k2（ k10， k20） ，证明： k1k2为定值【解】 （1）由已知中过 F1于 x 轴垂直的直线与椭圆 C 相9交，其中一个交点为 M（ ， ） 可得： c= ， = ， a2 b2=c2，解得： a=2， b=1，椭圆 C 的方程为： ；【证明】 （2）设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，直线 l 过定点（1，0） ，设 x=my+1，由 得：（m 2+4）y 2+2my3=0， y 1+y2= ，y 1y2= ，右顶点为 E（2，0） ， k 1k2= = = = =，k 1k2为定值；
