1、1西宁市第四高级中学 2018-19 学年第一学期期末试卷高二数学一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）1.抛物线 的焦点到准线的距离等于（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的标准方程得 ，求出 ，即得结论【详解】抛物线 中 ，即 ， 所以焦点到准线的距离是 故选 B【点睛】本题考查抛物线的标准方程，抛物线 的准线方程是 ，焦点坐标是焦点到准线的距离为 本题属于基础题2.如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC2， AA11，则 BC1与平面 BB1D
2、1D 所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 63 255 55 105【答案】D【解析】【分析】连接 得 ，从而可作出直线 与平面 所成的角，解三角形A1C1 A1C1平 面 BB1D1D BC1 BB1D1D可得【详解】连接 交 于点 ，连接 ，因为 是正方形，因此有 ，A1C1 B1D1 O BO A1B1C1D1 A1C1B1D1又由 ，可得 ，从而有 ， 是直BB1平 面 A1B1C1D1 BB1A1C1 A1C1平 面 BB1D1D C1BO2线 与平面 所成的角由已知 ，BC1 BB1D1D BC1= 5， 故选 DC1O= 2 sinC1BO=C1OBC1=25=105【
3、点睛】本题求直线与平面所成的角，解题时要注意三个步骤：一作二证三计算，即作图，作出空间角的“平面角” ，然后证明此角为所求角的“平面角” ，最后计算出此角3.过抛物线 y24 x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，如果 x1 x26，那么| AB|等于( )A. 6 B. 8 C. 9 D. 10【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为 |AB|=x1+x2+p【详解】抛物线 中， ， ， 故选 By2=4x p=2 |AB|=x1+x2+p=6+2=8【点睛】 是抛物线的焦点弦， ， ，抛物线 的焦点弦长为AB A(x1,y1),B
4、(x2,y2) p0 y2=2px，抛物线 的焦点弦长为 ，抛物线 的焦|AB|=x1+x2+p y2=2px |AB|=(x1+x2)+p x2=2py点弦长为 ，抛物线 的焦点弦长为 |AB|=y1+y2+p x2=2py |AB|=(y1+y2)+p4.过点 P(4，1)，且与直线 3x4 y60 垂直的直线方程是( )A. 4x3 y190 B. 4 x3 y130C. 3x4 y160 D. 3 x4 y80【答案】B【解析】【分析】与直线 3x4 y60 垂直的直线方程可设为 ，代入点的坐标求出参数 即4x+3y+m=0 m可【详解】设所求直线方程为 ，又直线过点 ，4x+3y+m
5、=0 P(4,1)3 ， ，直线方程为 ，故选 B44+3(1)+m=0 m=13 4x+3y13=0【点睛】与直线 垂直的直线方程为 ，直线 平Ax+By+C=0 BxAy+m=0 Ax+By+C=0行的直线方程为 Ax+By+m=05.已知圆 C： ，则过点 P(1,2)的最短弦所在直线 l 的方程是( )x2+y2-4x-5=0A. B. C. D. .3x+2y7=0 2x+y4=0 x2y30 x2y+3=0【答案】D【解析】【分析】由题可知，当直线 l 与直线 垂直时，所截得弦长最短，再由点斜式确定直线 l 的方程.CP【详解】由题可知，当直线 l 与直线 垂直时，所截得弦长最短，
6、CPP(1,2)，圆 C： x2 y24 x50，标准方程为 ， (x2)2+y2=9， ；C(2,0) kCP=2012=2；kl=1kCP=12由点斜式得直线 l 方程为： ，即 .y2=12(x1) x2y+3=0故选 D.【点睛】本题考查求解直线方程的点斜式法，考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律，以及互相垂直的两直线斜率关系，考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.6.双曲线 的焦点到渐近线的距离为( )x24y212=1A. B. C. D. 23 2 3 1【答案】A【解析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为 ，所以距离为 .b b=23考点：双曲线与渐近线【此处有视频，
7、请去附件查看】7.已知 是球 表面上的点， ， ， ， ，则S,A,B,C O SA平 面 ABC ABBC SA=AB=1 BC= 2球 表面积等于OA. 4 B. 3 C. 2 D. 4【答案】A【解析】解：已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的点OA=OB=OC=OS=1又 SA平面 ABC，ABBC，SA=AB=1，BC=“ 2“ ，球 O 的直径为 2R=SC=2，R=1，表面积为 4R2=4故选 A8.“30m+305mm+3 30,B0,且 AB或 表示双曲线的条件是 Ax2By2=1x2Ay2B=1 AB09.已知 m， n 是不同的直线， ， 是不重合的平面，则下列命题正确
8、的是( )A. 若 m ， m n，则 n B. 若 m ， n ，则 n mC. 若 m ， m ，则 D. 若 ， m ，则 m 【答案】C【解析】【分析】根据线面的位置关系一一判断选项即可.【详解】A 中可能有 ，B 中应该是 ，D 中 与 关系不确定，只有 C 正确n n/m m 过 作平面与平面 交于直线 ， ， ，又 ， ， ，C 正确故m b m/ m/b m b 5选 C【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，掌握各种关系的判断与性质是解题关键，同时掌握空间关系的定义是解题基础解题时可用特例说明命题是错误的，从而排除错误结论10.过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右
9、焦点，若x2a2+y2b2=1(a b 0) F1 x P F2，则椭圆的离心率为（ ）F1PF2=60A. B. 52 33C. D. 12 13【答案】B【解析】试题分析：设 |F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a(ac),PF1F2=900,F1PF2=600,|PF1|=233c,故选 B.|PF2|=433c,233c+433c=2a,ca=33,e=33考点：椭圆的简单几何性质.【易错点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质.椭圆离心率的求解方法:离心率是圆锥曲线的重要几何性质，此类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围
10、无论是哪类问题，关键是借助图形建立关于，的关系式(等式或不等式)，转化为的关系式b11.已知 是双曲线 的左、右焦点，点 在 上， 与 轴垂直，F1,F2 E:x2a2y2b2=1 ME MF1 x，则 的离心率为sinMF2F1=13 EA. B. 232C. D. 23【答案】A【解析】【分析】由 垂直于 轴，结合双曲线的定义可得 ，利用 ，列MF1 x |MF1|=b2a,|MF2|=2a+b2a sinMF2F1=13出关系式，从而可求离心率.6【详解】因为 垂直于 轴，所以 ，MF1 x |MF1|=b2a,|MF2|=2a+b2a因为 ，即 ，sinMF2F1=13 |MF1|MF
11、2|=b2a(2a+b2a)=13化简得 ，故双曲线离心率 故选 Ab=ae= 1+b2a2= 2【点睛】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题.12.已知点 A(4，2)， F 为抛物线 y28 x 的焦点，点 M 在抛物线上移动，当| MA| MF|取最小值时，点 M 的坐标为( )A. (0,0) B. (1，2 ) C. (2，4) D. ( ，2)212【答案】D【解析】【分析】把 转化为 到准线的距离 ，当 三点共线时，距离和最小|MF| M |MN| N,M,A【详解】如图，是抛物线的准线，作 ，垂足为 ，则 ，易知当 三点M
12、Nl N |MF|=|MN| N,M,A共线时， 取得最小值为 ，此时 ， ， ，即 点坐|MN|+|MA| 4+2=6 yM=2 8xM=(2)2 xM=12 M标为 ，故选 D(12,2)【点睛】在圆锥曲线中涉及到曲线上的点到焦点的距离时，常常把它转化为该点到准线的的距离，有时也反过来转化，从而把最小值问题转化为平面上两点间距离线段最短，点到直线的距离是点到直线上的点的距离的最小值等等7二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应位置上）13.过点 M(3,2)作圆 O： x2 y24 x2 y40 的切线方程是_【答案】 y2 或 5x12 y90【解
13、析】【分析】设出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径求得参数值即可，如果只求出一条切线，则还要讨论切线斜率不存在的情形【详解】设切线方程为 ，即 ，已知圆标准方程为y2=k(x3) kxy+23k=0，由题意 ，解得 或 ，代入化简得切线方程为(x+2)2+(y1)2=1|2k1+23k|k2+1 =1 k=0 k=512或 y=2 5x12y+9=0【点睛】求圆的切线方程，一般用切线性质：圆心到切线的距离等于圆的半径去求解过圆外一点作圆的切线有两条，因此在只求出一条时，要注意讨论切线斜线不存在的情形14.在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，交点 ， 在 轴上，离心率为 ，过xOy
14、C F1 F2 x22做直线交 于 两点，且 的周长为 ，那么 的方程为_F1 C A,B ABF2 16 C【答案】x216+y28=1【解析】试题分析：依题意：4a16，即 a4，又 e ，c ，b 28.22 22椭圆 C 的方程为x216+y28=1考点：椭圆的定义及几何性质【此处有视频，请去附件查看】15.已知 是直线被椭圆 所截得的线段的中点，则的方程是 _(4,2)x236+y29=1【答案】 x+2y8=0【解析】试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y-2=k（x-4） ，即 kx-y+2-4k=0，代入椭圆的方程化简得 （1+4k 2）x 2+（16
15、k-32 k 2）x+64 k 2-64k-20=0，8 ，解得 k=- ，故直线 l 的方程为 x+2y-8=0x1+x2=32k216k1+4k2=8 12考点：直线与圆锥曲线的关系16.已知命题 p：不等式 的解集为 x|0B”是xx1sinB”成立的必要不充分条件有下列四个结论: p 真 q 假；“ p q”为真；“ p q”为真； p 假 q 真，其中正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】先判断命题 的真假，然后由复合命题的真值表判断复合命题的真假p,q【详解】不等式 等价于 ，即 ，命题 为真，在 中，xx-1BabsinAsinB q【点睛】复合命题的真值表：p q pq p
16、q p真 真 真 真 假真 假 假 真 假假 真 假 真 真假 假 假 假 真复合命题的真假可按真值表进行判断另外在 中 与 是等价的，但在一般三角函数中此结论不成立ABC AB sinAsinB三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.已知 ： ， ： （ ） ，若 是 的必要而不充分条件，求p 2x10q x22x+1m20 m0 p q实数 的取值范围m【答案】 m99【解析】试题分析：将“ 是 的必要不充分条件”转化为“ 是 的充分不必要条件” ，通过解二p q p q次不等式化简命题 ，据 的关系写出端点的大小关系，列出不等式组，求
17、出 的范p，q p，q m围试题解析： ： ，p 2x10 ： ，p A=x|x10或 x0)解得 （ ） ，1mx1+m m0 ： （ ） q B=x|x1+m或 x0由 是 的必要而不充分条件可知： ，p q BA 或 解得 m0,1m2,1+m10, m0,1m=nm|n|m|=1-1 466=23又二面角 为锐角，其余弦值为 B-AC-M23【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查求异面直线所成的角和二面角，解题方法是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，用向量法求得空间角，这样只要计算而不需要作图23.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： (a b0)的离心率为 ，左、右焦点x2a
18、2+y2b2=1 32分别是 F1， F2以 F1为圆心、以 3 为半径的圆与以 F2为圆心、以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 E： ， P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 E 于x24a2+y24b2=1A， B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 M()求 的值；|OM|OP|()求 ABM 面积的最大值【答案】(1) (2) ()2()6x24+y2=1 3【解析】【分析】（1）两圆交点在椭圆上，说明有 ，从而得 ，再由离心率求得，最后可得2a=1+3=4 a=2值；b（2） （i）设 ， ，写出 点坐标，
19、把 的坐标分别代入相应椭圆方程即可求P(x0,y0)|OM|OP| = M P,M得；（ii）设 ，把直线方程代入椭圆 方程消元后得一元二次方程，应用韦达A(x1,y1),B(x2,y2) E15定理求得 ，而 ，这样令 ，可化 为的函数， 满足的|x1x2| SOAB=|m|x1x2| t=m21+4k2 SOAB k.m关系可由二次方程根的判别式求出，注意直线与椭圆 和椭圆 都相交，两次应用判别式可E C得 ，从而可求得最大值，又由（i）可得 ，于是结论可得00.将 y kx m 代入椭圆 C 的方程，可得(14 k2)x28 kmx4 m240，由 0，可得 m214 k2.16由可知 0 t1，因此 S ，故 ，当且仅当 t1，即 m214 k2时取得最大值 .由()知， ABQ 面积为 3S，所以 ABQ 面积的最大值为 .【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆中的最值问题在直线与椭圆相交问题中，一般采取设而不求思想，即设出交点坐标为 ，把直线方程代入椭圆方程，由韦达定理得 ，再用它们表示出题中要求的量，本题中 的面积应用换元法求得 的面积的最大值，其三倍即为 的面积，这种题型主要考查学生的计算能力，OAB MAB推理能力
