1、- 1 -山东省泰安第一中学 2019 届高三数学 12 月学情诊断试题 理一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。1.已知集合 M=x 丨 0，xR ，N=y 丨 y=3x+1，xR ，则 MN 为（ ）1Ax 丨 x1 Bx 丨 x1 Cx 丨 x1 或 x0 Dx 丨 0x12.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）67a16log7b7log6cabcA B C D cabba3. 已知命题 p：存在 0x ，cos2x+cosx-m=0 为真命题,则实数 m 的2取值范围是（ ）A- ,-1 B- ,2 C-1，2 D- ,+9898984.若某程序框图
2、如图所示，则该程序运行后输出的 B 等于（ ）A 7 B 15 C 3 D 63 5.函数 f（x）=x 丨 x+a 丨+b 是奇函数的充要条件为（ ）A ab=0 B a+b=0 C a+b=0 D a=b6.O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足 = +()，（0，+ )，则动点 P 的轨迹一定经过ABC 的（ ）A 重心 B 垂心 C 外心 D 内心7.若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( )06 23428.已知函数 f（x）= 在点（1,2）处的切线与 f（x）的图像有三个2（ 1x 0）-
3、4a（ ）公共点，则 a 的范围（ ）- 2 -A-8，-4+2 ） B（-4-2 ，-4+2 ） C （-4+2 ，8 D（-4-2 ，-855559.等差数列a 的前 n 项和为 S ，公差为 d，已知（a +1）+2013（a +1）=1，n88（a +1）+2013（a +1）=-1，则下列结论正确的是（ ）206206A d0 ，S =2013 B d0，S =2013 C d0，S =-2013 D 13 213 213d0，S =-2013210. 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）,xy302xy6zxyA 3 B 4 C 18 D 4011.已知某几何体的三
4、视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ） A83B3 C103D6 12.已知函数 ，存在 ，使得函数 在区间 上有两个极()elnxfaN()fx(,2)n值点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 3lne1(,)2l1(,)e32ln(,)e2l1(,)e二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若平面向量 =（1，x）和 =（2x+3，-x）互相平行，其中 xR，则 = ab ab14.平面直角坐标系 中，点 在单位圆 上，设 ，若 ，Oy0(,)PxyOxP536，且 ，则 的值为 3sin()65015. 设A B C 的三边长分别为 a ，b ，c ，
5、n=1,2,3若 b c ，b +c =2a ，a =annn11n+1- 3 -，b = ，c = ，则 A 的最大值为 n+1na2n+1nab2n16.已知双曲线 上一点 C，过双曲线中心的直线交双曲线于 A、B 两2xy-0（点，设直线 AC、BC 的斜率分别为 、 ，当 最小时，双曲线的离心1k21212klnl率为 三解答题：本大题共 6 道题,总分共 70 分。17.(10 分)如图，正三角形 ABC 的边长为 2，D、E、F 分别在三边 AB、BC、CA 上，且 D 为 AB 的中点。EDF=90，BDE=（090） （1）当 tanDEF=时，求 的大小；（2）求DEF 的面
6、积 S 的最小值及使得 S 取最小值时 的3值18.（12 分）已知数列a ，a =1， =a - n-n- n1n2132（1）求数列a 的通项公式； （2）证明 + + （nN ）.n 1a2n7419.（12 分）已知斜三棱柱 , , , 在底面 上的1ABC90BA2CB1ABC射影恰为 的中点 ,又知 . (1)求证： 平面 ； ACD1(2)求 到平面 的距离；11(3)求二面角 的平面角的余弦值的大小 .B BACD1A1B1C- 4 -20.（12 分）国家质量监督检验检疫局于 2004 年 5 月 31 日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准新标准规定，
7、车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升，小于 80 毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于 80毫克/百毫升为醉酒驾车经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下： 0.54sin()13,2()9xxfxe根据上述条件，回答以下问题：（）试计算喝 1 瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据： ）ln52.7,l30.4,ln9.5021.（12 分）已知椭圆 过点 ，且其中一个焦点的坐标为2:10xyEab(2,).1,0（）求椭圆
8、 的方程；（）过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于两点 ，在 轴上是否存在点 ，使得EFl,ABxM为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由MABM- 5 -22.（12 分）.已知函数 f(x)=ln(1+x)- x,g(x)=xlnx,(1)求函数 f(x)的最大值；(2)设 01)n1 n-1S两式相减再除 2，有 a =n（a -a ）-n（n+1） n1nn+1n+1a= =4 =1 成立 =n =n（nN ）2a21na（2） =n（nN ）原式=1+ + + 1+ + + +n2132134- 7 -1（ n）=1+ + - + - = - 成立原式得证4231n741
9、9.解法 ：(1) 平面 ,平面 平面 ,又1ADBC1ABC, 平面 , 得 ,又 ,BC1 1 平面11(2) ,四边形 为菱形,故 ,A1AC12AC又 为 中点,知 .取 中点 ,则 平面 ,从而面 面DC60F1BF1AB过 作 于 ,则 面 ,在 中, ,故BFHBFH1BRt32C,即 到平面 的距离为21711A27C(3)过 作 于 ,连 ,则 ,从而 为二面角 的平面角,在GBG1ABGH1AB中, , 在 中, ,故二面角1RtAC122CRt427sinC的平面角余弦的大小为B7解法 ：(1)如图,取 的中点 ,则 , , ,2ABE/DBADE又 平面 ,以 为 轴建
10、立空间坐标系, 1ADC1,xyz则 , , , , , ,(0,)(10)(2)(0)t1(2)Ct1(03)t, ,由 ,知 ,12BtB1ABAB又 ,从而 平面1AC1(2) 由 ,得 .设平面 的法向量为 ,230t3t1()nxyz, , ,设 ,则 点 到平面1(0)()B102nAyzBx 311CAC1A1B1CDGHFBACD1A1B1Cxyz- 8 -的距离1AB1|27ACnd(3) (3)设面 的法向量为 , , ,1()mxyz13(0,)CA(2,0)B302myzCBx设 ,则 ,故 ,根据法向量的方向1z3(1) 7|cos,mn可知二面角 的平面角余弦的大小
11、为1AB720.解：（）由图可知，当函数 取得最大值时， ，此时()fx02x， 2 分()40sin()3fxx当 ，即 时，函数 取得最大值为 4 分32()fxmax4135y故喝一瓶啤酒 1.5 小时血液中的酒精含量达到最大值 毫克/百毫升5 分5（）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车，此时2x由 ，得 ，两边取自然对数，得 8 分0.59142xe0.51xe0.51lnlxe即 ，所以 ， 11 分.lnln2.75.4.故喝啤酒后需 个小时后才可以合法驾车12 分6注：如果根据图象猜 6 个小时，可给结果分 2 分21. 解：（）由已知得 ，
12、，则 的方程为 ；.42,1ac3bE2143xy分（）假设存在点 ,使得 为定值，0()MxAB当直线 的斜率不为 时，可设直线 的方程为 ，l l1xmy联立 , 得 6 分2143xym2(4)690y- 9 -设 ，则 ，7 分12(,)(,)AxyB12122269,3434myy010(,)Mx2 221120120()()()()xyyxmyx .2 002296(1)()3434mmx20265934.9 分要使上式为定值, 即与 无关，应有 0615934x解得 ，此时 .11 分018x4MAB当直线 的斜率为 时，不妨设 ，当 的坐标为 时l (2,0)(,M1(,0)8
13、3564AB综上，存在点 使得 为定值.121(,0)813564AB分22.(1)函数 f(x)的定义域是(-1,), ，令 ，解得 x=01()fx()0fx当-10时, ，又 f(0)=0，故当且仅当 x=0时，f(x)取得最大()0fx0值，最大值是0(2)证法一 .2g()2()ln()lnllnabababagb由(1)的结论知 ，由题设 0a 时 ，0()0FxF(x)在(a,+)上为增函数从而，当 x=a 时，F(x)有极小值 F(a) F(a)=0,ba, F(b)0,即 ()()2abgag设 ,则()()ln2GxFxalnlnl()xGxxa当 x0时, ,G(x)在(0,+)上为减函数，0G(a)=0,ba G(b)0.即 ()2()()l2abgg
