山东省泰安第一中学2019届高三数学12月学情诊断试题理2019012401117.doc

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1、- 1 -山东省泰安第一中学 2019 届高三数学 12 月学情诊断试题 理一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。1.已知集合 M=x 丨 0,xR ,N=y 丨 y=3x+1,xR ,则 MN 为( )1Ax 丨 x1 Bx 丨 x1 Cx 丨 x1 或 x0 Dx 丨 0x12.已知 , , ,则 , , 的大小关系为( )67a16log7b7log6cabcA B C D cabba3. 已知命题 p:存在 0x ,cos2x+cosx-m=0 为真命题,则实数 m 的2取值范围是( )A- ,-1 B- ,2 C-1,2 D- ,+9898984.若某程序框图

2、如图所示,则该程序运行后输出的 B 等于( )A 7 B 15 C 3 D 63 5.函数 f(x)=x 丨 x+a 丨+b 是奇函数的充要条件为( )A ab=0 B a+b=0 C a+b=0 D a=b6.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足 = +(),(0,+ ),则动点 P 的轨迹一定经过ABC 的( )A 重心 B 垂心 C 外心 D 内心7.若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为的菱形,则该棱柱的体积等于( )06 23428.已知函数 f(x)= 在点(1,2)处的切线与 f(x)的图像有三个2( 1x 0)-

3、4a( )公共点,则 a 的范围( )- 2 -A-8,-4+2 ) B(-4-2 ,-4+2 ) C (-4+2 ,8 D(-4-2 ,-855559.等差数列a 的前 n 项和为 S ,公差为 d,已知(a +1)+2013(a +1)=1,n88(a +1)+2013(a +1)=-1,则下列结论正确的是( )206206A d0 ,S =2013 B d0,S =2013 C d0,S =-2013 D 13 213 213d0,S =-2013210. 设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最大值为( ),xy302xy6zxyA 3 B 4 C 18 D 4011.已知某几何体的三

4、视图如右图所示,则该几何体的体积为( ) A83B3 C103D6 12.已知函数 ,存在 ,使得函数 在区间 上有两个极()elnxfaN()fx(,2)n值点,则实数 的取值范围是( )A B C D 3lne1(,)2l1(,)e32ln(,)e2l1(,)e二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13.若平面向量 =(1,x)和 =(2x+3,-x)互相平行,其中 xR,则 = ab ab14.平面直角坐标系 中,点 在单位圆 上,设 ,若 ,Oy0(,)PxyOxP536,且 ,则 的值为 3sin()65015. 设A B C 的三边长分别为 a ,b ,c ,

5、n=1,2,3若 b c ,b +c =2a ,a =annn11n+1- 3 -,b = ,c = ,则 A 的最大值为 n+1na2n+1nab2n16.已知双曲线 上一点 C,过双曲线中心的直线交双曲线于 A、B 两2xy-0(点,设直线 AC、BC 的斜率分别为 、 ,当 最小时,双曲线的离心1k21212klnl率为 三解答题:本大题共 6 道题,总分共 70 分。17.(10 分)如图,正三角形 ABC 的边长为 2,D、E、F 分别在三边 AB、BC、CA 上,且 D 为 AB 的中点。EDF=90,BDE=(090) (1)当 tanDEF=时,求 的大小;(2)求DEF 的面

6、积 S 的最小值及使得 S 取最小值时 的3值18.(12 分)已知数列a ,a =1, =a - n-n- n1n2132(1)求数列a 的通项公式; (2)证明 + + (nN ).n 1a2n7419.(12 分)已知斜三棱柱 , , , 在底面 上的1ABC90BA2CB1ABC射影恰为 的中点 ,又知 . (1)求证: 平面 ; ACD1(2)求 到平面 的距离;11(3)求二面角 的平面角的余弦值的大小 .B BACD1A1B1C- 4 -20.(12 分)国家质量监督检验检疫局于 2004 年 5 月 31 日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准新标准规定,

7、车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升,小于 80 毫克/百毫升为饮酒驾车,血液中的酒精含量大于或等于 80毫克/百毫升为醉酒驾车经过反复试验,喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下:该函数模型如下: 0.54sin()13,2()9xxfxe根据上述条件,回答以下问题:()试计算喝 1 瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值是多少?()试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车?(时间以整小时计算)(参考数据: )ln52.7,l30.4,ln9.5021.(12 分)已知椭圆 过点 ,且其中一个焦点的坐标为2:10xyEab(2,).1,0()求椭圆

8、 的方程;()过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于两点 ,在 轴上是否存在点 ,使得EFl,ABxM为定值?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由MABM- 5 -22.(12 分).已知函数 f(x)=ln(1+x)- x,g(x)=xlnx,(1)求函数 f(x)的最大值;(2)设 01)n1 n-1S两式相减再除 2,有 a =n(a -a )-n(n+1) n1nn+1n+1a= =4 =1 成立 =n =n(nN )2a21na(2) =n(nN )原式=1+ + + 1+ + + +n2132134- 7 -1( n)=1+ + - + - = - 成立原式得证4231n741

9、9.解法 :(1) 平面 ,平面 平面 ,又1ADBC1ABC, 平面 , 得 ,又 ,BC1 1 平面11(2) ,四边形 为菱形,故 ,A1AC12AC又 为 中点,知 .取 中点 ,则 平面 ,从而面 面DC60F1BF1AB过 作 于 ,则 面 ,在 中, ,故BFHBFH1BRt32C,即 到平面 的距离为21711A27C(3)过 作 于 ,连 ,则 ,从而 为二面角 的平面角,在GBG1ABGH1AB中, , 在 中, ,故二面角1RtAC122CRt427sinC的平面角余弦的大小为B7解法 :(1)如图,取 的中点 ,则 , , ,2ABE/DBADE又 平面 ,以 为 轴建

10、立空间坐标系, 1ADC1,xyz则 , , , , , ,(0,)(10)(2)(0)t1(2)Ct1(03)t, ,由 ,知 ,12BtB1ABAB又 ,从而 平面1AC1(2) 由 ,得 .设平面 的法向量为 ,230t3t1()nxyz, , ,设 ,则 点 到平面1(0)()B102nAyzBx 311CAC1A1B1CDGHFBACD1A1B1Cxyz- 8 -的距离1AB1|27ACnd(3) (3)设面 的法向量为 , , ,1()mxyz13(0,)CA(2,0)B302myzCBx设 ,则 ,故 ,根据法向量的方向1z3(1) 7|cos,mn可知二面角 的平面角余弦的大小

11、为1AB720.解:()由图可知,当函数 取得最大值时, ,此时()fx02x, 2 分()40sin()3fxx当 ,即 时,函数 取得最大值为 4 分32()fxmax4135y故喝一瓶啤酒 1.5 小时血液中的酒精含量达到最大值 毫克/百毫升5 分5()由题意知,当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车,此时2x由 ,得 ,两边取自然对数,得 8 分0.59142xe0.51xe0.51lnlxe即 ,所以 , 11 分.lnln2.75.4.故喝啤酒后需 个小时后才可以合法驾车12 分6注:如果根据图象猜 6 个小时,可给结果分 2 分21. 解:()由已知得 ,

12、,则 的方程为 ;.42,1ac3bE2143xy分()假设存在点 ,使得 为定值,0()MxAB当直线 的斜率不为 时,可设直线 的方程为 ,l l1xmy联立 , 得 6 分2143xym2(4)690y- 9 -设 ,则 ,7 分12(,)(,)AxyB12122269,3434myy010(,)Mx2 221120120()()()()xyyxmyx .2 002296(1)()3434mmx20265934.9 分要使上式为定值, 即与 无关,应有 0615934x解得 ,此时 .11 分018x4MAB当直线 的斜率为 时,不妨设 ,当 的坐标为 时l (2,0)(,M1(,0)8

13、3564AB综上,存在点 使得 为定值.121(,0)813564AB分22.(1)函数 f(x)的定义域是(-1,), ,令 ,解得 x=01()fx()0fx当-10时, ,又 f(0)=0,故当且仅当 x=0时,f(x)取得最大()0fx0值,最大值是0(2)证法一 .2g()2()ln()lnllnabababagb由(1)的结论知 ,由题设 0a 时 ,0()0FxF(x)在(a,+)上为增函数从而,当 x=a 时,F(x)有极小值 F(a) F(a)=0,ba, F(b)0,即 ()()2abgag设 ,则()()ln2GxFxalnlnl()xGxxa当 x0时, ,G(x)在(0,+)上为减函数,0G(a)=0,ba G(b)0.即 ()2()()l2abgg

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