1、- 1 -湖南省湘东六校 2018 年下期高三联考理科数学试题总分:150 时量：120 分钟 考试时间：2018 年 12 月 8 日由醴陵市一中浏阳市一中攸县一中株洲市八中株洲市四中株洲市二中联合命题姓名： 考号： 第 I 卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数 iZi2,31，则 21Z在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若集合 ， ，则0|xA0)(log|2xBBAA. B. C. D.1|x1|x1|x3.函数 的图象大致为xeysinA B C D
2、4.已知向量 )2,1(B， )21(，C，则 A的面积为A.53B.4 C. 23D.25.已知函数 ，则下列说法不正确的是A. 的图象关于直线 对称 B. 的周期为)(xf 2x)(xfC. 是 的一个对称中心 D. 在区间 上单调递减0,f f2,46.在 中， 的对边分别为 ，其中 ，且 ，ABC、 cba、 acBCsinsi则其最小角的余弦值为- 2 -A. B. C. D.4242825437.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为 63，则判断框中应填入的条件为A. B.4i5iC. D.678.过抛物线 的焦点 F 的直线交抛物线于 两点，2yx,AB且 ，则直线 的斜率为
3、BAF1AA. B. 223C. 或 D. 或 （第 7 题图）9.右图为一个正四面体的侧面展开图，G 为 BF 的中点，则在原正四面体中，直线 EG 与直线 BC 所成角的余弦值为A. B.336C. D. （第 9 题图）610.如图，在平面直角坐标系 中， 为正十边形xOy的中心， 在 轴正半轴上，任取不同的10321A1两点 、 （其中， ，且 ），ij 0,ji Nji,点 P 满足 ，则点 P 落在第二象限ji的概率是A. B.457458C. D. （第 10 题图）19211.己知函数 ，若关于 的方程 恰有 3 个不同的实数xef)( 01)()(2mxff- 3 -解，则实
4、数 的取值范围是mA. B. C. D. )2,0()2,1(e1,42e)1,4(2e12.已知双曲线 的两顶点分别为 ， 为双曲线的一个焦点，)0,(2bayx 21,AF为虚轴的一个端点,若在线段 上（不含端点）存在两点 ，使得BBFP，则双曲线的渐近线斜率 的平方的取值范围是2121APkA. B. C. D.)5,()13,()215,0()213,(第 II 卷二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知曲线 ，则曲线在(0, )处的切线与坐标轴围成的图形面积为 .2xef)( (0f14.若变量 x，y 满足 ，且 的最小值为 ，则实数 的值为 .31
5、2yyaxz1a15.在平面直角坐标系 中，点 在单位圆 上，设 ，Oy),(0POxP且 )43,(若 ，则 的值为 12cos0x16. 如图，四棱锥 中， ，矩形 的ABCDP1PABCD周长为 8，当三棱锥 的体积最大时，该三棱锥-的外接球半径与内切球半径分别为 R和 r，则rR1的值为 .（第 16 题图）三、解答题（本大题共 7 小题共 70 分，其中第 22，23 题为选做题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必做题：共 60 分.图3PDCB A- 4 -17.（本小题 12 分）已知数列 的前 项和 满足 )2(1NnSn， ，且nanS。1a（）求数列的通
6、项公式 ；（）记 ， 为 的前 项和，求使 成立的 的最小值.1nabTnbnT218.（本小题 12 分）如图， 为多面体，平面 与平面 垂直，点 在ABEDFCABEDCFO线段 上， ， ， ， 都是正三角形。AD1,2,OOO（）证明：直线 面 ；（）在线段 上是否存在一点 ，使得二面角M的余弦值是 ，若不存在请说明EM13理由，若存在请求出 点所在的位置。（第 18 题图）19.（本小题 12 分）某市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校 200 名高中学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，数据如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)将学生日均
7、课外体育运动时间在40，60)上的学生评价为“课外体育达标”.()请根据上述表格中的统计数据填写下面 22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？平均每天锻炼的时间(分钟)0，10) 10，20) 20，30)30，40)40，50)50，60总人数 20 36 44 50 40 10OFEDCBA- 5 -（）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取 10 名学生，再从这 10 名学生中随机抽取 3 人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的 3 人中男生的人数为随机变量为 ， 求 的分布列和数学期望。X()将上述调
8、查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中，抽取 4 名学生，求其中恰好有 2 名学生是课外体育达标的概率。参考公式： ，其中)()(2 dbcabnK dcban参考数据：20.（本小题 12 分）已知椭圆 C：12byax)0(的离心率 21e，点 )0,(bA，点分别为椭圆的上顶点和左焦点，且 .FB、 6|BAF（）求椭圆 的方程；（）若过定点 的直线 与椭圆 交于 两点（ 在 之间）设直线)2,0(MlCHG,M,的斜率 ，在 轴上是否存在点 ，使得以 为邻边的平行四边形为菱lkx)0,(mPP,形？如果存在，求出 的取值范围？如果不存在，请说明理由课外体育不达
9、标 课外体育达标 合计男女 20 110合计 )(02kKP0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828- 6 -21.（本小题 12 分）已知函数 .xaxf )1(2ln)()当 时，求 在区间 的最大值；0axf1,0()若函数 有两个极值点 ,求证： .fg)( )(21x、axgln2)(1（二）选做题（请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）22.（本小题 10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)在xOyltyx27以坐标原点为极点，
10、轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： .C4sin()求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；lC()设曲线 与直线 的交点为 是曲线 上的动点，求 面积的最大值ClQBA, ABQ23.（本小题 10 分）已知函数 .Raxxf |,2|1|()当 时，解不等式 ；3a()当 时， 恒成立，求 的取值范围.)1,(x0)(xf- 7 -湖南省湘东六校 2018 年下期高三联考理科数学答案一、选择题AABDC CBCCB DA二、填空题13. 14.2 15. 16.21267325第 15 题：【解析】点 在单位圆 上，且 ， ，),(0yxPOxP0cosx，0siny又 ，且 ，则 ，
11、)43,(13)4cos(135)4sin(.2674sin)i(co)()(cos0 x三 解答题17.解：（）由已知有 ， 数列 为等差数列，且 ，1nSnS11aS，即 ，3 分nS2n当 时， ，212)(1nSa又 也满足上式， ；6 分1n（）由（1）知，)12()12(nb，9 分513(2 nTn由 有 ，有 ，所以 ，n242n6)(25的最小值为 5.12 分18.解：（）依题意，在平面 中， ，ADFC，60FODFAC/又 平面 ， 平面 ；OFE/EOFEDCBA- 8 -同理，在平面 中，ABED，60EOD， 平面 ；O/F面 ， 面 ，ABC,ACOEF面 ，
12、面 ，EE由可得，平面 平面 ./OF又 面 ，所以直线 面 .5 分BCABC（本题可先证明 后得证；也可建立空间直角坐标系得证，请酌情给分。）/E（）设 的中点为 ，以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、ODGEGDFxy轴建立空间直角坐标系。易知， z， ， , .6 分)0,1(),3(E)30,(F)0,1(设 ， .可得 ，M1M设 为平面 的法向量，),(zyxnO由 有 ，可取 ，0E03)2(yxz)2,3(n又面 的法向量可取 ，8 分D)1,(m所以 ，10 分22)(4|,cos|31n所以 ，又 ， 。0)(21,存在满足条件的点 ， 为 中点。12 分MD
13、F19.解： () 6.0606.635，2K32019051)26(课外体育不达标 课外体育达标 合计男 60 30 90女 90 20 110合计 150 50 200- 9 -所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.4 分（）易知，所抽取的 10 名学生中，男生为 名，女生为 6 名.41506可取 0,1,2,3.且 , ,X)0(316CXP21)(306CXP,)2(310246)(3104的分布列为：X.9 分56)(XE（3）设所抽取的 4 名学生中，课外体育达标的人数为 ，表中学生课外体育达标的概率为 ， ， .1205)1,(B128
14、7)43()2(24CxP4 名学生中，恰好有 2 名学生是课外体育达标的概率为 .12 分20.解：（）设椭圆焦距为 ，依题意， 有 ，c21eca由 有 ，有 ，62|BAF62ba3b又 ， 由可得 ， ，2cba42椭圆 C的方程 .4 分1342yx（）设直线 的方程为 ，l )0(k0 1 2 360XP- 10 -6 分 ,210416)43(134)0(22 kkxyxk设 ，则 ，)(),(21yxHG3421k，)(,21xkmP，(,),( 121 xkyx由于菱形对角线垂直，则 ，0)(GHP解得 ，10 分024)(1212mkxk 342k即 ， ，（当且仅当 时，
15、等号成立）.km363,k4所以存在满足条件的实数 ， 的取值范围为 .12 分m063m21.解：()由已知得 的定义域为 ,)(xf)0(，1 分xaaxf 11当 时, ， 在 上单调递增, 的最大值为 .0)(xf0)(xf 12)(af当 时, 在 上单调递增,在 单调递减，1a)(f1a1(，a的最大值为 .)(xf 2ln)(f综上，当 时， 的最大值为 ，10a)(f1a当 时， 的最大值为 .4 分)(xf 2ln- 11 -() ，则 的定义域为 ，axxfg2ln)( )(g),0(.ax1x12若 有两个极值点 ，则方程 的判别式)(g21,)(2012ax042a且
16、，因而 ，6 分0,122axx4又 ， ，即 ，21121 ax12211lnln)( xaxxg 1112)ln(ax设 ,其中 ,8 分ttth2l ),0(ax由 得 ,由于 ，0)(att21 在 上单调递增,在 上单调递减,)(th2)(a即 的最大值为 ，)(taahln2ln2)( 从而 成立.12 分xgl)(2122.解：()由 消去 得 ，所以直线 的普通方程为 ，ty705yxl 05yx由 ，得 ，)4sin(2cos4sincos4sin2化为直角坐标方程得： ，所以曲线 的直角坐标方程为yx2C.5 分8)2()(yx()由()知，曲线 是以 为圆心， 为半径的圆
17、，直线 过定点 ， 在C),(2l)2,3(P- 12 -圆内，将直线的参数方程可化为 ，代入圆的普通方程，得 .tyx27 0329tt设 ， 所对应的 值分别为 ，则 ，7 分ABt1,t 3,9211t所以 ，22124)(|30又因为圆心到直线的距离 ，|5|d所以ABQ 面积的最大值为 .10 分215)2(301ABQS23.解：（I）当 时， ，有3a2xf,|3| xxf所以 或 或 ，21x231x21x所以 或 或 ，04综上，不等式解集为 .5 分0|x或（）当 时， 恒成立，有 .)1,(xf 021ax恒成立. 或 恒成立.|2|ax1或 恒成立，3x1当 时， 或 恒成立，),(3xa1xa解得 不存在；解得： .2综上知， .10 分2
