1、1湖南省邵阳二中 2019 届高三数学上学期第六次月考试题 理一选择题（共 12 小题，共 60 分）1若全集 U1，2，3，4且 UA2，3，则集合 A 的真子集共有（ ）A3 个 B5 个 C7 个 D8 个2设复数 z 满足（1+ i） z i，则 z 的共轭复数 （ ）A + i B i C + i D i3设等比数列 an满足 a1+a212， a1 a36，则 a1a2an的最大值为（ ）A32 B128 C64 D2564若函数 f（ x） x 1g（ mx+ ）为偶函数，则 m（ ）A1 B1 C1 或 1 D05元朝时，著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着
2、游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 x0，问一开始输入的 x（ ）A B C D6已知 A（2，3） ， B（4，3）且 ，则 P 点的坐标为（ ）A （6，9） B （3，0） C （6，9） D （2，3）7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）2A B C48 D8设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z|3 x+y| 的最大值为（ ）A4 B6 C8 D109若当 x 时，函数 f（ x）3sin x+4cosx 取得最大值，则 cos（ ）
3、A B C D10在三棱锥 P ABC 中，平面 PAB平面 ABC， CA平面PAB， PA PB AB2 ， AC4，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为（ ）A24 B32 C48 D6411已知 F1， F2是双曲线的左、右焦点，点 F1关于渐近线的对称点恰好落在以 F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A B C2 D312已知函数 f（ x） ex（ ax1） ax+a（ a0） ，若有且仅有两个整数 xi（ i1，2） ，使得 f（ xi）0，则 a 的取值范围为（ ）A ，1 ） B ，1）C （ ， D （ ， 二填空题（共 4 小题，共 20 分
4、）13已知向量 与 的夹角为 120，且 则向量 在向量 方向上的,5|),42(ba投影为 14 （ x+2y） （ x y） 6的展开式中， x4y3的系数为 （用数字作答） 15 已知点 M 抛物线 y24 x 上的一点，F 为抛物线的焦点，点 A 在圆 C:3上，则 的最小值 1)()3(22yx |MFA16如图，在 ABC 中， ABC90， AC2 CB2 ， P 是 ABC 内一动点， BPC120，则 AP 的最小值为 三解答题（共 6 小题，共 70 分）17（12 分)设等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，已知 a59， S749（1）求数列 an的通项公式
5、；（2）令 bn an2n，求数列 bn的前 n 项和18（12 分)在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD， PA PD2，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， A60， E 是 D 的中点（1）求证： BE平面 PAD；（2）求平面 PAB 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值19已知 A， B 为椭圆 + 1 上的两个动点，满足 AOB90（1）求证：原点 O 到直线 AB 的距离为定值；（2）求 + 的最大值；（3）求过点 O，且分别以 OA， OB 为直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹方程20一只药用昆虫的产卵数 y 与一定范围内的温度 x 有关，现收集了该种药
6、用昆虫的 6 组观测数据如表：4温度 x/C 21 23 24 27 29 32产卵数 y/个 6 11 20 27 57 77经计算得： ， ， ， ，线性回归模型的残差平方和， e8.06053167，其中 xi， yi分别为观测数据中的温度和产卵数， i1，2，3，4，5，6（）若用线性回归模型，求 y 关于 x 的回归方程 x+ （精确到 0.1） ；yba（）若用非线性回归模型求得 y 关于 x 的回归方程为 0.06 e0.2303x，且相关指数R20.9522（ i）试与（）中的回归模型相比，用 R2说明哪种模型的拟合效果更好（ ii）用拟合效果好的模型预测温度为 35C 时该种
7、药用昆虫的产卵数（结果取整数） 附：一组数据（ x1， y1） ， （ x2， y2） ， （ xn， yn） ，其回归直线 x+ 的斜率和截yba距的最小二乘估计 ， ；axniiniiiyyR1212)()(2相 关 指 数21已知函数 f（x）lnxmx（m 为常数） （1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）当 时，设 g（x）2f（x）+x 2的两个极值点 x1，x 2， （x 1x 2）恰为 h（x）lnxcx 2bx 的零点，求 的最小值)()(121hxy5选做题（二选一，从 22,23 中任选一题，10 分.）22已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos以极点为平面直角坐标系的原
8、点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 （t 为参数） （）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且|AB| ，求直线 l 的倾斜角 的值23已知函数 f（x）|2x+1|（xR） （）解不等式 f（x）1；（）设函数 g（x）f（x）+f（x1）的最小值为 m，且 a+bm， （a，b0） ，求的范围日期：2019/1/2 7:21:12；用户：胡朝辉；邮箱：；学号：14583326参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1-5 ABCCB 6-10 CBCBB 11-12DB 解法：若有且仅有两个整数
9、xi（ i1，2） ，使得 f（ xi） g（ xi）成立，则 a（ xex x+1） ex有两个整数解因为 y x（ ex1）+1，当 x0 时， ex10， x（ ex1）+10；当 x0 时， ex10， x（ ex1）+10， a 有两个整数解（8 分）设 g（ x） ，则 ，令 h（ x）2 x ex，则 h（ x）1 ex0，又 h（0）10， h（1）1 e0，所以 x0（0， 1） ，使得 h（ x0）0， g（ x）在（， x0）为增函数，在（ x0，+）为减函数， a 有两个整数解的充要条件是：，解得 a1故选： B二填空题（共 4 小题）13 514 （ x+2y） （
10、x y） 6的展开式中， x4y3的系数为 10 （用数字作答） 15316如图，在 ABC 中， ABC90， AC2 CB2 ， P 是 ABC 内一动点， BPC120，则 AP 的最小值为 1 7【解答】解：设 PBC，则： ACP+ BCP60， PBC+ BCP60，所以： ACP PBC在 PBC 中，由正弦定理得： 2 ，所以： PC2sin在 PBC 中， AP2 PC2+AC22 PCACcos，即： ， ，且 ，由于：060，则：02120，由三解答题（共 7 小题）17设等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，已知 a59， S749（1）求数列 an的通项公
11、式；（2）令 bn an2n，求数列 bn的前 n 项和【分析】 （1）由 S749 结合等差数列的性质求得 a47，再求等差数列的公差和通项式；（2） bn an2n（2 n1）2 n，用错位相减法求数列 bn的前 n 项和为 Tn【解答】解：（1）在等差数列 an中，由 S77（ a1+a7）49，得： a47，又 a59，公差 d2， a11，数列 an的通项公式 an2 n1 （ nN +） ，（2） bn an2n（2 n1）2 n，令数列 bn的前 n 项和为 Tn，Tn12 1+322+523+（2 n3）2 n1 +（2 n1）2 n82 Tn12 2+323+（2 n5）2
12、n1 +（2 n3）2 n+（2 n1）2 n+1 Tn2+2（2 2+23+2n1 +2n）（2 n1）2 n+12+2 n+28+（2 n1）2 n+1； Tn（2 n3）2 n+1+618证明：（1）连接 BD，由 PA PD2， E 是 AD 的中点，得 PE AD，由平面 PAD平面 ABCD，可得 PE平面 ABCD， PE BE，又由于四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， A60， BE AD， BE平面 PAD（6 分）解：（2）以 E 为原点， EA， EB， EP 为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，P（0，0， ） ， A（1，0，0） ，B（0， ，0） ，
13、 C（2， ，0） ，（1，0， ） ， （0， ） ， （2， ） ，令平面 PAB 的法向量为 （ x， y， z） ，则 ，取 y1，得 （ ） ，（9 分）同理可得平面 PBC 的一个法向量为 （0，1，1） ，所以平面 PAB 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为：|cos | （12 分）19 （1）证明：当直线 AB 的斜率不存在时，由 y x 代入椭圆方程可得： 1，解9得 x ，此时原点 O 到直线 AB 的距离为 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y kx+t， A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） 联立 ，化为（ b2+a2k2） x2+2a
14、2ktx+a2t2 a2b20，0，则 x1+x2 ， x1x2 ， AOB90 x1x2+y1y2 x1x2+（ kx1+t） （ kx2+t）0，化为（1+ k2） x1x2+kt（ x1+x2）+ t20，化为 +t20，化为 ，原点 O 到直线 AB 的距离 d 综上可得：原点 O 到直线 AB 的距离为定值 （2）解：由（1）可得 |OA|OB| |AB|，| OA|OB| |AB|， + ，当且仅当| OA| OB|时取等号 + 的最大值为 （3）解：如图所示，过点 O，且分别以 OA， OB 为直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹满足：10OP PA， OP PB因此 P， A，
15、B 三点共线由（1）可知：原点 O 到直线 AB 的距离为定值 分别以 OA， OB 为直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹方程为 x2+y2 20解：（）依题意， n6， ，（2 分）336.626138.6，（3 分） y 关于 x 的线性回归方程为 6.6 x138.6（4 分）（） （ i ）利用所给数据， ， 得，线性回归方程 6.6 x138.6的相关指数 R2 （6 分）0.93980.9522，（7 分）因此，回归方程 0.06 e0.2303x比线性回归方程 6.6 x138.6 拟合效果更好（8分）（ ii）由（ i ）得温度 x35 C 时， 0.06 e0.2303350
16、.06 e8.0605（9 分）又 e8.06053167，（10 分）11 0.063167190（个）（11 分）所以当温度 x35 C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为 190 个（12 分）21 解：（1） ，当 m0 时，1 mx0 故 f（ x）0，即 f（ x）在（0，+）上单调递增，当 m0 时，由 1 mx0 解得 ，即当 时， f（ x）0， f（ x）单调递增，由 1 mx0，解得 ，即当 时， f（ x）0， f（ x）单调递减，所以 f（ x）的单调递增区间为 ，单调递减区间减区间为（2） g（ x）2 f（ x）+ x22 lnx2 mx+x2，则 ，所以 g（ x）
17、的两根 x1， x2即为方程 x2 mx+10 的两根因为 ，所以 m240， x1+x2 m， x1x21，又因为 x1， x2为 h（ x） lnx cx2 bx 的零点，所以 ，两式相减得 ，得 ，而 ，12 ，令 ，由 得因为 x1x21，两边同时除以 x1+x2，得 ，因为 ，故 ，解得 或 t2，所以 ，设 ，所以 ，则 y G（ t）在 上是减函数，所以 ，即 的最小值为 22解：（）由 4cos 得 24cos x2+y2 2， xcos， ysin曲线 C 的直角坐标方程为： x2+y24 x0，即（ x2） 2+y24（）将直线的方程 代入 x2+y24 x0，的方程，化简为： t22 tcos30 （ A、 B 对应的参数为 t1和 t2）故： ，0，） 23解：（） f（ x）1，即|2 x+1|112 x+11 ，解得 x1，0；不等式 f（ x）1 的解集为1，013（） g（ x） f（ x）+ f（ x1）|2 x+1|+|2x1|2 x+1（2 x1）|2， a+b2（ a， b0） ， ，当且仅当 ，即 时等号成立，综上： 的范围为
