1、1福建省厦门外国语学校 2019 届高三数学 1 月月考试题 理一、选择题1.已知集合 ， ，则 （ ）240,AxxZ2,BymABA B C D0,116040,4162. “ ”是“ ”的 （ ）xln()xA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3.数列 为等差数列， 是其前 项的和，若 ，则 （ ）nanS7143S4sinaA B C D 32122324. 若 ， （常数 ） ，则点 的轨迹是 （ 12,0,F14PFa0P）A 椭圆 B 线段 C. 椭圆或线段 D椭圆或直线5.已知实数 yx,满足 062yx，则 xy2的最小值为（ ）A 1
2、B 3 C 4 D 66. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作品完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒” “李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？” ，右图为该问题的程序框图，若输出的 S值为 0，则开始输入的 S值为 （ ）A. B. C. D.4354871657.已知函数 的最大值为 2，且满足sin2cos20fxax， f则 （ ）A B C. 或 D 或633265开 始结 束输 入 S输 出 i =+12-3?是否28.已知直线 与双曲线 交于 两点，且线
3、段 的中1xy )0,(12bayxBA,AB点 的横坐标为 ，则该双曲线的离心率为 M（ ）A B C. D23259.已知函数 exfm( 为自然对数的底数)，若 0fx在 ,上恒成立，则实数 的取值范围是 （ ）A ,2 B ,eC2e,4D2,4e10.已知等腰直角 中， ，斜边 ，点 D 是斜边 上一点（不同C09AABAB于点 A、B） ， D沿线段 折起形成一个三棱锥 ，则三棱锥 体积的最大值是（ DC）A. 1 B. C. D. 21316111. 给定两个单位向量 OA， B，且 2AO，点 C在以 O为圆心的圆弧AB上运动， OCxyB，则 3xy的最小值为 （ ）A. 3
4、 B. 1 C. D. 012. 已知数列 的前 项和为 ，数列 为nanSna，122421,345 ,若 ，则 ( )kSkA. B. C. D. 8781929二、填空题13. 已知 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数 i iaz12 a14. 过直线 与抛物线 的两个交点，并且与抛物线准线相切的圆的 2y28xy3为 15. 如图，网格纸上小正方形的边长为 l，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积为 16.已知直线上 与函数 的图象交于三点,:10lkxy321(),xxfa其横坐标分别是 。若对任意的 ， 恒成立,则实数 a 的取1
5、23, k123值范围是_三、解答题17. （本小题 12 分）已知数列 和 对任意的 满足 ，若数列nabNn12.3nba是等比数列，na且 .2,112b（）求数列 和 的通项公式；na（）设 ，求数列 的前 项和 .)(NbcnncnS18.（本小题 12 分）在平面直角坐标系 xOy中，角 的顶点是原点，始边与 x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点 D，且 0,，点 E的坐标为 1,3（I）若 OE，求点 的坐标；（II）若 ()t，且在 ABC中，角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，2=B， 3b，求 ac的最大值419.（本小题 12 分）如图， 为多面体，平面 与平面 垂
6、直，点ABEDFCABEDCF在线段 上， ， ， ， 都是正三角O1,2,OOO形。（）证明：直线 面 ；（）在线段 上是否存在一点 ，使得二面角FME的余弦值是 ，若不存在请说明理由，若存在请求出13点所在的位置。M20. （本小题 12 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 1C上的点均在曲线2:430Cxy外，且对 1C上任意一点 P， 到直线 y的距离等于该点与曲线 2上点的距离的最小值（1）求动点 的轨迹 1的方程；（2）若点 是曲线 的焦点，过 的两条直线 关于 轴对称，且分别交曲线 于FF12,ly1C，若四,ACBD边形 的面积等于 ，求直线 的方程.2812,lOFEDCBA5
7、21. （本小题 12 分）已知函数 2()xfae，其中 为自然对数的底数（1）若 时，求曲线 的单调区间；0agx（2）若关于 x的不等式 22()1xxf在 (,0上恒成立，求实数 a的取值范围【请从 22，23 题中任选一题答在 22 题位置】22 （本小题 10 分）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为xOy1C（ 为参数） ；在以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲1cosinxy线 的极坐标方程为 2C2cosin（1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；12C（2）若射线 与曲线 的交点分别为 （ 异于原点） ，当斜率:(0)lykx 1,AB,时，求
8、的取值范围(,3kOAB23.（本小题 10 分）已知函数 .Raxxf |,2|1|()当 时，解不等式 ；3a()当 时， 恒成立，求 的取值范围.)1,(x0)(f61.已知集合 ， ，则 （ A ）240,AxxZ2,BymABA B C D0,116040,4162. “ ”是“ ”的 （ B ）xln()xA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3.数列 为等差数列， 是其前 项的和，若 ，则 （ D ）nanS7143S4sinaA B C D 32122324. 若 ， （常数 ） ，则点 的轨迹是 （ C 12,0,F14PFa0P）A 椭圆
9、 B 线段 C. 椭圆或线段 D椭圆或直线5、已知实数 yx,满足 062yx，则 xy2的最小值为（ C ）A 1 B 3 C 4 D 66. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作品完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒” “李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？” ，右图为该问题的程序框图，若输出的 S值为 0，则开始输入的 S值为 （ C ）A. B. C. D.4354871657.已知函数 的最大值为 2，且满足sin2cos20fxax， f则 （ C ）A
10、B C. 或 D 或6332658.已知直线 与双曲线 交于 两点，且线段 的中1xy )0,(12bayxBA,AB开 始结 束输 入 S输 出 i =+12-3?是否7点 的横坐标为 ，则该双曲线的离心率为 M1（ B ）A B C. D23259已知函数 exfm( 为自然对数的底数)，若 0fx在 ,上恒成立，则实数 的取值范围是 （ D ）A ,2 B ,eC2e,4D2,4e10. 已知等腰直角 中， ，斜边 ，点 D 是斜边 上一点（不AC09ABAB同于点 A、B） ， D沿线段 折起形成一个三棱锥 ，则三棱锥 体积的最大值是（ D C）A. 1 B. C. D. 213161
11、11. 给定两个单位向量 OA， B，且 2AO，点 C在以 O为圆心的圆弧AB上运动， OCxyB，则 3xy的最小值为 （ B ）A. 3 B. 1 C. 2 D. 08因为 506， 71sin,31,23632xy 所以3xy有最小值-1.12. 已知数列 的前 项和为 ，数列 为nanSna，12123412,345 ,若 ，则 ( D )kSkA. B. C. D. 878192913. 已知 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数 1i iaz12 a14. 过直线 与抛物线 的两个交点，并且与抛物线准线相切的圆的方程为 2y28xy 22()16x15. 如图，网格纸上小正方形的边长
12、为 l，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积 为 20916已知直线上 与函数 的图象交于三点,:10lkxy321(),xxfa其横坐标分别 是 。若对任意的 ， 恒成立,则实数 a 的123, k123取值范围是_ 6a17. （本小题 12 分）已知数列 和 对任意的 满足 ，若数列nbNn12.3nba是等比数列，na且 .2,112b（）求数列 和 的通项公式；na（）设 ，求数列 的前 项和 .)(NbcnncnS解：（）由条件可知 ，得 ，于是 ， ，131ab32321ba解得 ，32a又数列 是等比数列，则公比为 ，于是
13、，n 312a1na又 ，于是 ， 解得 . nba321 nbn32)1()(20 2)1(n（）由题意得 ， 3)1(11cnn 1231231 nS nnn . 12nn18.（本小题 12 分）在平面直角坐标系 xOy中，角 的顶点是原点，始边与 x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点 D，且 0,，点 E的坐标为 1,3（I）若 OE，求点 的坐标；（II）若 ()t，且在 ABC中，角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，102=B， 3b，求 ac的最大值试题解析：（I）由题意， 13OE， cos,inD，因为 OED，所以 cosi0，即 3ta又 0,，所以 =6， 32，
14、 1in，所以点的坐标为 1,219.（本小题 12 分）如图， 为多面体，平面 与平面 垂直，点ABEDFCABEDCF在线段 上， ， ， ， 都是正三角O1,2,OOO形。（）证明：直线 面 ；（）在线段 上是否存在一点 ，使得二面角FME的余弦值是 ，若不存在请说明理由，若存在请求出13点所在的位置。M解：（）依题意，在平面 中， ，ADFC，60FODFAC/又 平面 ， 平面 ；同理，在平面 中，OFE/EBED，60BA， 平面 ；/BO面 ， 面 ， 面 ，AFC,FACOFF面 ，FE由可得，平面 平面 .又 面 ，所以直线 面 ./EBBEOFEDCBA11（本题可先证明
15、后得证；也可建立空间直角坐标系得证，请酌情给分。）BC/EF（）设 的中点为 ，以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、ODGGDFxy轴建立空间直角坐标系。易知， ， ， , .z )0,1(O),3(E)30,()0,1(D设 ， .可得 ，设 为平面 的法M,0MzyxnMOE向量，由 有 ，可取 ，0OEn03)2(yxz)2,3(n又面 的法向量可取 ，所以D)1,(m，22)(4|,cos|31n所以 ，又 ， 。0)1(21,存在满足条件的点 ， 为 中点。MDF20. （本小题 12 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 1C上的点均在曲线2:430Cxy外，且对 1C上任
16、意一点 P， 到直线 y的距离等于该点与曲线 2上点的距离的最小值（1）求动点 的轨迹 1的方程；（2） （2）若点 是曲线的焦点，过 的两条直线 关于 轴对称，且分别交曲线 于FF12,lxE，若四边形 的面积等于 ，求直线 的方程.,ACBDABC8解：（1）由已知得曲线 2是以 2(0,)为圆心， 1为半径的圆.设 (,)Pxy，则 到直线 1y的距离等于 y，又 到圆 2C上的点的距离的最小值为 222()1PCxy，所以由已知可得 y2()xy，化简得 8， 所以曲线 1C的方程为28xy.（2） 1,k21. （本小题 12 分）已知函数 2()xfae，其中 为自然对数的底数（1
17、）若 ，求曲线 的单调区间；0a()xgx12（2）若关于 x的不等式 22()1xxfe在 (,0上恒成立，求实数 a的取值范围解：（1）略（2） 222()1(1)0xxfeeax，依题意，当 0时， ()， 即当 x时，22xaxe；设 21()xhe，则 221()()xxhaaee，设 2xmxa，则 2xme当 时， 0， 2x，从而 ()0（当且仅当 0x时，等号成立） ， 21()xxae在 (,上单调递增，又 0m，当 0时， )0mx，从而当 0x时， ()0hx， 22()1xhxe在 (,上单调递减，又 ，从而当 0时， ()h，即 2210xae， 于是当 0x时，2
18、2()1xxfe；当 a时，令 ()0m，得 2x， 2ln()a，故当 (ln,2x时， 2()0xae， 21)xae在 (ln),0上单调递减，又 (0m，当 l,a时， ()0mx，从而当 12(ln),0xa时，)hx， 221(xae在 (ln),上单调递增，又 ()h，从而当 ln(),0x时， 0h，即 2210xaxe，13于是当 12(ln),0xa时， 22()1xxfe，不符合题意综上所述，实数 的取值范围为 ,22 （本小题 10 分）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为xOy1C（ 为参数） ；在以原点 为极点，1cosinxy轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
19、 的极坐标方程为 22cosin（1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；1CC（2）若射线 与曲线 的交点分别为 （ 异于原点） ，当斜率:(0)lykx 12,AB,时，求 的取值范围(,3kOAB解：（1）曲线 的直角坐标方程为 ，即 ，将1 2()xy220xycosinxy代入并化简得曲线 的极坐标方程为 ，1C2cos由 ，两边同时乘以 ，得 ，将2cosiincosinxy代入得曲线 的直角坐标方程为 22xy（2）设射线 的倾斜角为 ，则射线的极坐标方程为 ，:(0)lykx 且 联立 ，得 ， tan1,3k2cos12cosOA联立 ，得 2cosi2incsOB所以 ，122icosta2(,3OABk即 的取值范围是 (,323.（本小题 10 分）已知函数 .Rxxf|,|1|()当 时，解不等式 ；3a2()当 时， 恒成立，求 的取值范围.)1,(x0)(fa解：（I）当 时， ，有x,2|3|1| xxf14所以 或 或 ，231x231x231x所以 或 或 ， 综上，不等式解集为04 40|或（）当 时， 恒成立，有 .),(0f a恒成立. 或 恒成立.|2|1axx211x或 恒成立， 当 时， 或 恒3),(3a1xa成立，解得 不存在；解得： . 综上知， .a2a2
