1、ICS 21 .020; 03.120.30 VDl-RICHTLINIEN April 1999VEREINDEUTSCHERINGENIEUREMonte-Carlo-Simulation VDI 4008Blatt 6Monte-Carlo-SimulationInhalt Seite1 Zweck und Anwendungsbereich 22 Mathematische Grundlagen der /lonte-Carlo-Methode 32.1 Allgemeines Schema der Monte-Carlo-Methode 32.2 Statistische Siche
2、rung von Monte-Carlo-Ergebnissen 42.3 Notvendige Anzahl von Durchlufen bei vorgegebener Genauigkeitsforderung 52.4 Methoden zur Modellierung allgemeiner Verteilungen 62.5 Varianzreduzierende Monte-Carlo-Verfahren 93 Anwendung der Monte-Carlo-IVIethode zur Ermittlung der Zuverlssigkeitsmerkmale techn
3、ischer Systeme 123.1 Modelle zur Simulation des Ausfallverhaltens eines Systems mitHilfe der Monte-Carlo-Methode . . . 123.2 Auswertung von Simulationsablufen 173.3 Ein spezieller Algorithmus zur Berechnung der Unverfgbarkeit U t) 193.4 Manahmen zur Herabsetzung der Dauer eines Monte-Carlo-Durchlauf
4、s 203.5 Anwendung varianzreduzierender Verfahren 214 Anwendung des Monte-Carlo-Verfahrens zur Bercksichtigung vonUnsicherheiten der Eingangsdaten bei Zuverlssigkeitsuntersuchungen 244.1 Modellbeschreibung 254.2 Statistische Sicherung und Interpretation der gewonnenen Ergebnisse 265 Anwendung von Mon
5、te-Carlo-Verfahren zur Ermittlung der mechanischen Zuverlssigkeit von Strukturen 28Formelzeichen 30Schrifttum 30VDI-Gesellschaft Systementwicklung und ProjektgestaltungAusschu Technische ZuverlssigkeitVDI-Handbuch Technische ZuverlssigkeitB974908A824A6748CAAAA99BAB349F63B2C88DD9B0D2BF8368C461B1CCB65
6、CD15BE74F0686BD19CFC1FA2DEF1929BEST BeuthStandardsCollection - Stand 2016-11- 2 - VDI 4008 Blatt 6 Alle Rechte vorbehalten Verein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 19991 Zweck und AnwendungsbereichDie Monte-Carlo-Methode kann als Methode zurModellierung von Zufallsgren mit dem Ziel, spezielleEigenscha
7、ften ihrer Verteilungen zu berechnen, definiert werden. In der Regel wird diese Modellierung aufPersonal-Computern verwirklicht, obwohl in einigenFllen die Methode auch von Hand“ unter Zuhilfenahme einer Aufstellung von Zufallsziffem angewandtwerden kann.Die Monte-Carlo-Methode zeichnet sich dadurch
8、 aus,da sie einfach und allgemein verwendbar ist. Gegenber anderen numerischen Verfahren zeichnet sie sichferner dadurch aus, da sie die Lsung sehr komplexerAufgaben gestattet. Das zu untersuchende System kanngleichzeitig Elemente mit stetiger und diskreter Wirkung enthalten, es kann dem Einflu viel
9、fltiger Faktoren komplizierter Natur unterworfen sein, es kanndurch beraus umfangreiche Wechselbeziehungen beschrieben sein usw.In Zusammenhang mit Problemen aus der Zuverlssigkeitstheorie knnen Fragestellungen wie z. B.- beschrnkte Wartungs- und Reparaturkapazitten,- Abhngigkeiten zwischen dem Ausf
10、all- und Reparaturverhalten von Systemkomponenten,- beliebige Ausfall- und Reparaturverteilungsfunktionen der Systemkomponenten,- komplizierte Wartungs- und Reparatur Strategien,systemgetreu modeUiert werden.Der wesentliche Nachteil der Methode ist die langsameKonvergenz, die allerdings unter bestim
11、mten Voraussetzungen durch entsprechende Modifikationen verbessert werden kann. Dabei wird allerdings die numerischeProzedur komplizierter und nhert sich in ihrer Kompliziertheit anderen Prozeduren der numerischen Mathematik an.Neben dem erwhnten Nachteil der schwachen Konvergenz, ist die Monte-Carl
12、o-Methode, wie jede numerische Methode, mit einem weiteren Nachteil behaftet.Die Lsung trgt immer speziellen Charakter; sieentspricht nmlich den fixierten Werten der Systemparameter und Anfangsbedingungen. Um ein System zuanalysieren, mu sein Funktionsproze mehrmals modeUiert werden, indem die Ausga
13、ngsdaten der Aufgabejeweils verndert werden.Ungeachtet dieser Nachteile bleibt die Monte-Carlo-Methode bisweilen die einzige praktisch zugnglicheMethode zur Untersuchung komplexer Systeme, besonders im Stadium ihrer Projektierung. Dabei mubemerkt werden, da der Aufwand an Arbeitszeit undmateriellen
14、Mitteln fr die Reahsierung statistischerModelle im allgemeinen unbedeutend ist im Vergleichzu den Anforderungen, die mit natrhchen Experimenten verbunden sind.Beim Vergleich der Anwendungsbereiche der Monte-Carlo-Methode mit den Anwendungsbereichen der inden RichthnienVDI 4008 Bl. 2 Boolesches Model
15、lVDI 4008 Bl. 3 Markoff-Zustandsnderungs-modelle mit endlich vielen ZustndenVDI 4008 Bl. 5 ZustandsflugraphenVDI 4008 Bl. 7 Strukturfunktionen und ihreAnwendungbehandelten rein analytischen Methoden der quantitativen Zuverlssigkeitsanalyse, lt sich generell sagen,da analytische und simulative Method
16、en sich derartergnzen, Bild 1 , da bei sehr kleinen Eintrittswahrscheinlichkeiten die analytischen Verfahren vorteilhafter sind, da sie von statistischen Unsicherheiten des,Monte-Carlo-Verfahrens frei sind und krzere Rechenzeiten erfordern. Dagegen sind die simulativen Methoden dann gnstiger, wenn d
17、ie Systeme gro sind undkomplizierte Randbedingungen bercksichtigt werdenmssen.SimulationAnalytisch 11 110- 10 10- 10-Zuverlssigkeitsmerkmale U(t) bzw. Q(t)Unbercksichtigt ist bei der Simulationsmethodedie Mglichkeit der gewichteten Stichproben.Bild 1 . Vergleich der Einsatzbereiche von analytischen
18、und simulativen VerfahrenB974908A824A6748CAAAA99BAB349F63B2C88DD9B0D2BF8368C461B1CCB65CD15BE74F0686BD19CFC1FA2DEF1929BEST BeuthStandardsCollection - Stand 2016-11Alle Rechte vorbehalten Verein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 1999 VDI 4008 Blatt 6 - 3 -2 Mathematische Grundlagen derMonte-Carlo-Method
19、e2.1 Allgemeines Schema derMonte-Carlo-MethodeDie grundlegende numerische Aufgabe, die gewhnlichmit der Monte-Carlo-Methode gelst wird, ist dieSchtzung des Erwartungswertes einer Zufallsgre.Die Verteilungsfunktion der betrachteten Zufallsgrekann sehr komplizierter Natur sein; sie wird im allgemeinen
20、 implizit als Komposition einfacher Verteilungen angegeben (z.B. die Verteilungsfunktion der Systemlebensdauer setzt sich zusammen aus den Verteilungsfunktionen der Lebensdauern der Systemkomponenten).Im folgenden wird ausschlielich der Fall betrachtet,da ein zweites Moment der untersuchten Zufallsg
21、reexistiert.AnmerkungDurch Anwendung geeigneter Transformationen kann die Monte-Carlo-Methode auch zur Erwartungsberechnung von Zufallsgrenmit unendlichem zweiten Moment herangezogen werden. In Zusammenhang mit Fragestellungen aus der Zuverlssigkeitstechnik habensolche Flle keine praktische Bedeutun
22、g.Das einfachste Rechenschema fr diese Aufgabe bestehtnun im folgenden:Man berechne N unabhngige Realisierungen der Zufallsgre und schtzt ihren Erwartungswert durch dasarithmetische Mittel dieser Realisierungen ab.Werden mit S die nachzubildende Zufallsgre und miti= 1,2,. . N die entsprechenden unab
23、hngigenRealisierungen, d. h. die Ergebnisse der Monte-Carlo-Simulation bezeichnet, so folgt aus dem Gesetz dergroen Zahlen, da die Gre S mit. 1 E = - y (2.1)eine asymptotisch erwartungstreue Schtzung fr dengesuchten Erwartungswert E = E E liefert, d.h.lim E = E 5 (2.2)NooAuch in Fllen, in denen die
24、Wahrscheinlichkeit P(A)fr das Eintreten eines bestimmten Ereignisses A gesucht wird, kann das oben beschriebene Schema herangezogen werden. Die Zufalls variable E kann jetzt alseine Indikatorvariable mit dem binren Wertevorrat 0und 1 interpretiert werden gem1 Ereignis A eingetreten. (2.3)Wegen der B
25、eziehungEE = 0 PE = 0) + 1 PE = 1) = PiA) (2.4)kann das oben beschriebene Schema direkt bernommen werden.Fr ein fundiertes Verstndnis des Monte-Carlo-Verfahrens, besonders aber fr die Ableitung und Entwicklung von varianzreduzierenden Methoden, ist die Darstellung des oben beschriebenen Rechenschema
26、s inIntegralform von fundamentaler Bedeutung. Dies entspricht formelmig ausgedrckt der Berechnung desIntegrals (Handelt es sich bei E um eine diskreteZufallsvariable, so geht das Integral in ein Summenzeichen ber.)+ 00E = ES= i (2.5) 00wobei fi) die Dichtefunktion der Zufallsgre Ebedeutet. Betrachte
27、t vom Blickwinkel der numerischenMathematik, liefert die Monte-Carlo-Methode einealternative Berechnungsmglichkeit dieses Integrals.Wie bereits erwhnt ist in den meisten Anwendungsfllen die Dichtefunktion f) nicht explizit bekannt.Vielmehr ist die Zufallsgre E eine Funktion mehrererZufallsgren i,2,.
28、 fc laut = gcD,co2,- (fc) =Der funktionale Zusammenhang zwischen und kann zwar in geschlossener analytischen Form vorhanden sein, wird aber in den meisten Anwendungenimplizit durch den jeweiligen Simulationsalgorithmusgegeben. Sind die einzelnen Zufalls variablen2, . . . , fc unabhngig voneinander,
29、so reichen zuihrer Beschreibung die Dichtefunktionen /(coi),/2(2)? Beim Vorhandensein vonAbhngigkeiten, mu die mehrdimensionale Verbunddichtefunktion i(c0i,c02, . . cOfc) =/() zugrunde gelegt werden. Die Beziehung (2.5) kann somitgeschrieben werden als+ 00S = S= j 00+ 00 + 00 + 00= 1 1 j g ig) faico
30、) do) (2.6) 00 00 00BeispielIn dem n-fachen Seriensystem, Bild 2, soll die mittlereLebensdauer berechnet werden.K; KoI I 1 I CZZZZZZo0 Ereignis A nicht eingetreten Bild 2. A7-faches SeriensystennB974908A824A6748CAAAA99BAB349F63B2C88DD9B0D2BF8368C461B1CCB65CD15BE74F0686BD19CFC1FA2DEF1929BEST BeuthSta
31、ndardsCollection - Stand 2016-11-4- VDI 4008 Blatt 6 Alle Rechte vorbehalten Verein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 1999Gegeben sind die Verteilungsdichtefunktionen frSn) der Lebensdauern der Systemkomponenten. Die einzelnen Komponenten sollen unabhngig voneinander sein. Fr die Verbunddichtegem Glei
32、chung (2.6) folgt daraus mit= tu-;Q = fr (ti) fT2ih) i= 1Werden mit . . ., die 7-ten Realisierungender Komponentenlebensdauern bezeichnet, so lt sichdie 7-te Systemlebensdauer mit= Min TV Ti. . . , 7angeben.Die Beziehung (2.6) nimmt somit folgende Gestalt anX=et,00 00 00 fi= 1 1 -1 t flfT,iti)dti0 0
33、 0 i=lEs ist daraus zu erkennen, da die Dichtefunktion deruntersuchten Zufallsgre 7 nicht bentigt wird, sondern durch die bekannten Verteilungsdichtefunktionender Systemkomponenten ber den funktionalen Zusammenhang gif): = Min implizit ersetztwerden kann.Reicht zur Beschreibung der Zufallsgre S die
34、Schtzung des Erwartungswertes nicht aus, so lt sich dieMonte-Carlo-Methode auch zur Gewinnung von weiteren statistischen Charakteristika, z.B. zweites Moment, Varianz, Schiefe usw., anwenden. Die umfassendste Information wird durch Berechnung der empirischen Verteungsfunktion F () gegeben. Bei N dur
35、chgefhrten Monte-Carlo-Durchlufen errechnet sich dieempirische Verteilungsfunktion F) zuhi) = k/N sonst (2.7)Ii i Max . . , 3wobei die im i-ten Durchlauf gewonnene Realisierung der Zufallsvariable E und k die Anzahl derRealisierungen die kleiner oder gleich sind,bedeuten.Die Wahrscheinlichkeitstheor
36、etische Grundlage frdiese Vorgehensweise liefert der folgende Satz vonGlivenko-Cantelli:Satz: Die Zufallsgren seien dieGlieder einer Stichprobe aus einer statistischenGesamtheit, d. h. unabhngige Zufallsgren mitderselben Verteilung F(). Ferner bezeichnetF) die empirische Verteilungsfunktion derStich
37、probe gem Beziehung (2.7), und es seiA= sup FAO-FiO (2.8)Dann giltP(lim zl = 0) = 1. (2.9)NooDer obengenannte Satz ist gleichbedeutend mit derAussage, da die empirische Verteilungsfunktion einerStichprobe mit Wahrscheinlichkeit 1 lngs der gesamten Zahlengeraden gleichmig gegen die Verteilungsfunktio
38、n der statistischen Gesamtheit konvergiert,wenn die Anzahl der Stichprobenelemente ber alleGrenzen wchst.Leider mu die durch die empirische Verteilungsfunktion gewonnene Mehrinformation ber die Zufallsgre S mit einem erheblichen Mehraufwand, d.h. miteiner viel greren Anzahl von Durchlufen gegenberz.
39、B. einer Erwartungswertschtzung erkauft werden(siehe Abschnitt 4.2.2).2.2 Statistische Sicherung vonl/lonte-Carlo-ErgebnissenZumeist wird der Stichprobenaufwand N, d.h. dieAnzahl der Monte-Carlo-Durchlufe, nicht so grosein, da ohne Bedenken S = E gesetzt werden kann.Zur Beurteilung der Genauigkeit d
40、er Schtzung S ausBeziehung (2.1) bei endlichem N dient folgende Fassungdes zentralen Grenzwertsatzes:Sind die i = 1,2,. . ., AT vollstndig unabhngige Zufallsvernderlichen mit derselben Verteilung und existieren der Erwartungswert S und dieVarianz al, so gt fr die Zufallsvernderliche. 1 _ y N itrdie
41、Limesrelationlim p(S S p(S - 5 recht genaunormalverteilt, wenn E eine Gleich Verteilung besitzt. Esist offensichtlich, da allgemein die Approximation umso besser sein wird, je weniger die Wahrscheinlichkeitsverteilung von E von der Normalverteilung abweicht.Fr die in der Praxis in Betracht kommenden
42、 Verteilungen wird meistens mit einem Stichprobenumfang vonN 30 gerechnet.Wird das Monte-Carlo-Verfahren zur Schtzung derWahrscheinlichkeit P (A) eines Ereignisses A eingesetzt,d. h. ist E die in (2.3) definierte binre Indikatorvariable,so mu unter Umstnden der Stichprobenumfangbetrchtlich grer gewh
43、lt werden. Der Grund hierfrliegt in der Tatsache, da die diskrete zweiwertigeVerteilungsfunktion der Variable E sehr stark von derNormalverteilung differiert.Folgende Faustregel fhrt in der Regel auf vernnftigeApproximationen_ 4 4E = PA) 1/2N H r?bzw. (2.12)= PA) 1/2 =N-1-E 1- sZu bemerken sei, da a
44、ufgrund der Beziehungal = E - E = EE-E = E1-E)= P(A)1-P(A) (2.13)die Varianz der Zufallsgre E in diesem Fall nur vonE = P (A), also dem zu schtzenden Parameter, abhngt. Darber hinaus folgt die Schtzgre E einerlinear transformierten Binomialverteilung mit derStreuung = und dem Erwartungswert E. Daher
45、l/ivknnen im Prinzip exakte Konfidenzintervalle beibeliebigem Stichprobenumfang N konstruiert werden.Befolgt N die Beziehung (2.12), so kann allerdings dieNormalverteilung anstelle der Binomialverteilung eintreten.2.3 Notwendige Anzahl von Durchlufen beivorgegebener GenauigkeitsforderungIm folgenden
46、 wird vorausgesetzt, da der Stichprobenumfang N im Sinne der in Abschnitt 2.2 aufgestellten Kriterien hinreichend gro ist, so da die Approximation durch die Nor mal Verteilung bzw. die Beziehungen (2.11) zugrunde gelegt werden knnen.Bei der praktischen Durchfhrung einer Monte-Carlo-Simulationsrechnu
47、ng ist die Frage nach der notwendigen Anzahl von Durchlufen N, um einen relativenFehler s nach = (2.14)mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit nicht zubersteigen, von zentraler Bedeutung.Aus den Beziehungen (2.11) mit x = 1 berechnet sichdas minimal erforderliche iV, um einen relativen Fehler nach
48、 Beziehung (2.14) mit einer Wahrscheinlichkeitvon 68% nicht zu bersteigen, zu(2.15)und ist somit dem Quadrat des geforderten relativenFehlers umgekehrt proportional. Um den relativenFehler auf die Hlfte oder auf ein Zehntel herabzudrcken, ist der Stichprobenumfang auf das Vierfachebzw. das Hundertfache zu erweitern.Zur Abschtzung des absoluten Fehlers in den Beziehungen (2.11) sowie in der Beziehung (2.15) wird dieKenntnis von Gw, der Stand
