1、1第 24 章 圆24.1 旋转第 1 课时 旋转的概念与性质知识要点基础练知识点 1 旋转的相关概念1.下列图案中,不能由一个图形通过旋转而构成的是 (B)2.下列现象属于旋转的是 (C)A.摩托车在急刹车时向前滑动B.飞机起飞后冲向空中的过程C.幸运大转盘转动的过程D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车知识点 2 旋转的性质3.一个图形经过旋转变换后,有以下结论: 对应线段的长度不变; 对应角的大小不变; 位置不变; 各点旋转的角度相同 .其中正确的结论有 (B)A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个4.(宜宾中考)如图,将 AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45后得到 COD,若 AO
2、B=15,则 AOD 的度数是 60 . 知识点 3 旋转对称图形25.风力发电机可以在风力作用下发电 .如图的转子叶片图案绕中心旋转 n后能与原来的图案重合,那么 n 的值可能是(D)A.45 B.60 C.90 D.120知识点 4 简单的旋转作图6.如图,在 44 的方格纸中, ABC 的三个顶点都在格点上 .在图中画出 ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90后的 ECD.并指出点 A 的对应点, A 的对应角,旋转中心及旋转角 .答案图解:如图所示, ECD 即为所求 .其中点 A 的对应点为点 E, A 的对应角为 E,点 C 为旋转中心, ACE, DCB 均为旋转角 .综合能
3、力提升练7.如图,将木条 a,b 与 c 钉在一起,1 =70,2 =50,要使木条 a 与 b 平行,木条 a 旋转的度数至少是 (B)A.10 B.20 C.50 D.708.(天津中考)如图,将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 60得 DBE,点 C 的对应点 E 恰好落在 AB延长线上,连接 AD.下列结论一定正确的是 (C)3A. ABD= E B. CBE= CC.AD BC D.AD=BC9.如图,在 Rt ABC 中, ACB=90, A=60,AC=6,将 ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到 ABC,此时点 A恰好在 AB 边上,则点 B与点 B 之间的距离为(D)A.12
4、 B.6 C.6 D.62 310.如图, E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点,把 ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到 ABF 的位置 .若四边形 AECF 的面积为 25,DE=2,则 AE 的长为 (D)A.5 B. C.7 D.23 2911.如图, O 为正方形的旋转中心,正方形的边长是 6 cm,一个足够大的直角 AOB 的顶点与点 O 重合,直角的两边与正方形的边分别交于点 A,B,则图中阴影部分的面积为 9 cm2 . 12. 如图,将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 150,得到 ADE,这时点 B,C,D 恰好在同一直线上,则 B 的度数为 15 . 413.如图,在
5、矩形 ABCD 中, AD=3,将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转,得到矩形 AEFG,点 B 的对应点 E 落在 CD 上,且 DE=FF,则 AB 的长为 3 . 214.(宁波中考)在 44 的方格纸中, ABC 的三个顶点都在格点上 .(1)在图 1 中画出与 ABC 成轴对称且与 ABC 有公共边的格点三角形;(画出一个即可)(2)将图 2 中的 ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90,画出旋转后的三角形 .解:(1)如图所示 .(答案不唯一,画出一个即可)(2) ACB如图所示 .15.已知在 ABC 中, AB=10,DE AC 交 AB 于点 D,交 BC 于点 E.5
6、(1)将 BDE 顺时针旋转到 BDE的位置,连接 DD和 EE,如图 1,试探究 BDD与 BEE之间的数量关系,并说明理由;(2)将 BDE 顺时针继续旋转,点 D 的对应点 D落在边 BC 上,如图 2,若 BE=8,DC=6,求 BC的长 .解:(1) BDD= BEE.理由:由旋转知 BDE BDE,BD=BD ,BE=BE, DBE= DBE, DBD= EBE,又 BDD= , BEE= , BDD= BEE.180- DBD2 180- EBE2(2)DE AC, BDE BAC, .由题意可得 BE=BE=8,BD=BD=BC-DC=BC-BDBA=BEBC6,AB=10.设
7、 BC=x,则 ,解得 x1=3+ ,x2=3- (不合题意,舍去),故 BC 的长为 3+x-610=8x 89 89.89拓展探究突破练16.【问题解决】数学课上,老师提出了一个这样问题:如图 1,P 是正方形 ABCD 内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出 APB 的度数吗?小明他通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将 PBC 绕点 B 逆时针旋转 90,得到 PBA,连接 PP,求出 APB 的度数;思路二:将 APB 绕点 B 顺时针旋转 90,得到 CPB,连接 PP,求出 APB 的度数 .请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程 .【类比探究】如图 2,
8、若 P 是正方形 ABCD 外一点, PA=3,PB=1,PC= ,求 APB 的度数 .116解:【问题解决】如答图 1,将 PBC 绕点 B 逆时针旋转 90,得到 PBA,连接 PP.PB=PB= 2, PBP=90,PP= 2 , BPP=45.2又 AP=CP= 3,AP=1,AP 2+PP2=1+8=9=PA2, APP=90, APB=45+90=135.【类比探究】如答图 2,将 PBC 绕点 B 逆时针旋转 90,得到 PBA,连接 PP.PB=PB= 1, PBP=90,PP= , BPP=45.2又 AP=CP= ,AP=3,AP 2+PP2=9+2=11=PA2,11
9、APP=90, APB=90-45=45.第 2 课时 中心对称与中心对称图形知识要点基础练知识点 1 中心对称概念及性质1.下列说法正确的是 (C)A.全等的两个图形成中心对称B.能够完全重合的两个图形成中心对称C.旋转 180后能够完全重合的两个图形成中心对称D.旋转后能够重合的两个图形成中心对称2.7如图, ABC 与 ABC关于点 O 成中心对称,下列结论中不成立的是 (D)A.OC=OCB.OA=OAC.BC=BCD. ABC= ACB知识点 2 中心对称图形3.下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是 (B)【变式拓展】在等边三角形、等腰梯形、平行四边形和正五边形中,是中心对称
10、图形的是(C)A.等边三角形 B.等腰梯形C.平行四边形 D.正五边形4.如图,已知图形是中心对称图形,则对称中心是 (D)A.点 C B.点 DC.线段 BC 的中点 D.线段 FC 的中点知识点 3 中心对称(图形)的画法5.如图 1,在 1010 网格中,四边形 ABCD 是格点四边形(顶点在网格线的交点上) .(1)以点 A 为对称中心,画出四边形 ABCD 关于点 A 成中心对称的四边形 AB1C1D1;8(2)点 N 是四边形 ABCD 内一格点,如图 2,以点 N 为对称中心,画出四边形 ABCD 关于点 N 成中心对称的四边形 A2B2C2D2.(3)若格点四边形 ABCD 与
11、格点四边形 EFGH 关于点 O 成中心对称,点 A 的对称点是点 E,如图3,请在网格中标出点 O 的位置 .解:(1)如图 1,四边形 AB1C1D1即为所求 .(2)如图 2,四边形 A2B2C2D2即为所求 .(3)如图 3,点 O 即为所求 .图 1图 29图 3综合能力提升练6.(长沙中考)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (A)7.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标,其中属于中心对称图形的有 (B)A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个8.(呼和浩特中考改编)下图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是 ABC 进行了一次变换之后得到
12、的,其中是通过中心对称得到的是 (C)A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)109.如图所示,已知菱形 ABCD 与菱形 EFGH 关于直线 BD 上某个点成中心对称,则点 B 的对称点是 (D)A.点 E B.点 FC.点 G D.点 H10.(乐山中考)如图,直线 a,b 垂直相交于点 O,曲线 C 关于点 O 成中心对称,点 A 的对称点是点 A,AB a 于点 B,AD b 于点 D.若 OB=3,AB=2,则阴影部分的面积之和为 6 . 11.(安徽中考)如图,已知 A(-3,-3),B(-2,-1),C(-1,-2)是直角坐标平面上的三点 .(1)请画出 ABC 关于原点
13、O 对称的 A1B1C1;(2)请写出点 B 关于 y 轴对称的点 B2的坐标,若将点 B2向上平移 h 个单位,使其落在A1B1C1内部,指出 h 的取值范围 .解:(1) A1B1C1如图所示 .(2)点 B2的坐标为(2, -1).观察可知, h 的取值范围为 2h3.5.1112.如图,在 ABCD 中,以 A 为圆心, AB 长为半径画弧交 AD 于点 F;再分别以 B,F 为圆心,大于BF 的相同长为半径画弧,两弧交于点 P;连接 AP 并延长交 BC 于点 E,连接 EF,则所得四边形12ABEF 是菱形 .(1)根据以上尺规作图的过程,求证四边形 ABEF 是中心对称图形;(2
14、)若四边形 ABEF 的周长为 16,AE=4 ,求 C 的大小 .3解:连接 BF,设 BF 与 AE 交于点 O.(1)由作图过程可知, AB=AF,AE 平分 BAD. BAE= EAF. 四边形 ABCD 为平行四边形, BC AD, AEB= EAF, BAE= AEB,AB=BE ,BE=AF. BOE= FOA, BOE FOA,OB=OF ,OE=OA,即点 B 与点 F,点 E 与点 A 都关于点 O 对称, 四边形 ABEF 为中心对称图形 .(2)由(1)得 OB=OF,OE=OA, 四边形 ABEF 为平行四边形,又 AB=AF , 四边形 ABEF 为菱形,BF 与
15、AE 互相垂直平分, BAE= FAE,OA= AE=2 . 菱形 ABEF 的周长为12 316,AF= 4, cos OAF= ,OAAF= 32 OAF=30, BAF=60. 四边形 ABCD 为平行四边形, C= BAD=60.拓展探究突破练13.如图,中心对称图形圆(图 1)和平行四边形(图 2),图 1 中过圆心的一条直线将圆分成A,B 两部分,图 2 中过平行四边形的中心(对角线的交点)任作两条直线形成 A,B 两部分 .12(1)图 1、图 2 中的 A,B 两部分的面积相等吗?(2)利用(1)中的结论,工人师傅需把图 3 所示的一块木板分成面积相等的两部分,你认为应该怎样分
16、?请画出示意图,并做简要说明 .解:(1)图 1、图 2 中的 A,B 两部分的面积都相等 .(2)如图,先将木板分成两个矩形,过这两个矩形的对角线的交点作直线即可 .(答案不唯一)第 3 课时 平面直角坐标系下的旋转变换知识要点基础练知识点 1 用坐标表示旋转1.(绵阳中考)在平面直角坐标系中,以原点为对称中心,把点 A(3,4)逆时针旋转 90,得到点 B,则点 B 的坐标为 (B)A.(4,-3) B.(-4,3)C.(-3,4) D.(-3,-4)【变式拓展】在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为( -1, ),以原点 O 为中心,将点 A 顺时针3旋转 150得到点 A,则点 A的坐标
17、为 (D)A.(0,-2) B.(1,- ) C.(2,0) D.( ,-1)3 3知识点 2 图案设计132.如图,按要求涂阴影:(1)将图形 平移到图形 ;(2)将图形 沿图中虚线翻折到图形 ;(3)将图形 绕其右下方的顶点旋转 180得到图形 .解:(1)如图 所示 .(2)如图 所示 .(3)如图 所示 .3.如图是一个 44 的正方形网格,每个小正方形的边长为 1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形,通过平移、对称或旋转变换,设计一个精美图案,使其满足: 既是轴对称图形,又是以点 O 为对称中心的中心对称图形; 所作图案用阴影标识,且阴影部分的面积为 4.答案图解:如图所示 .(
18、答案不唯一)综合能力提升练144.如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别是 A(3,0),B(0,4),把线段 AB 绕点 A 旋转后得到线段 AB,使点 B 的对应点 B落在 x 轴的正半轴上,则点 B的坐标是 (B)A.(5,0) B.(8,0) C.(0,5) D.(0,8)5.(宜昌中考)如图,在平面直角坐标系中,把 ABC 绕原点 O 旋转 180得到 CDA,点 A,B,C的坐标分别为( -5,2),(-2,-2),(5,-2),则点 D 的坐标为 (A)A.(2,2) B.(2,-2) C.(2,5) D.(-2,5)6.(聊城中考)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OA
19、BC 的两边 OA,OC 分别在 x 轴和 y 轴上,并且 OA=5,OC=3.若把矩形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转,使点 A 恰好落在 BC 边上的点 A1处,则点C 的对应点 C1的坐标为 (A)A. B.(-95,125) (-125,95)C. D.(-165,125) (-125,165)7.如图,将 ABC 绕点 C(0,1)旋转 180得到 ABC,设点 A 的坐标为( a,b),则点 A的坐标15为 (D)A.(-a,-b)B.(-a,-b-1)C.(-a,-b+1)D.(-a,-b+2)8.如图,把平面内一条数轴 x 绕原点 O 逆时针旋转 (0 90)角得到另一条数轴
20、 y,x轴和 y 轴构成一个平面斜坐标系 .规定:过点 P 作 y 轴的平行线,交 x 轴于点 A,过点 P 作 x轴的平行线,交 y 轴于点 B,若点 A 在 x 轴上对应的实数为 a,点 B 在 y 轴上对应的实数为 b,则称有序实数对( a,b)为点 P 的斜坐标,在某平面斜坐标系中,已知 = 60,点 M 的斜坐标为(3,2),点 N 与点 M 关于 y 轴对称,则点 N 的斜坐标为 (-3,5) . 9.如图,正方形 OABC 的两边 OA,OC 分别在 x 轴, y 轴上,点 D(5,3)在边 AB 上,以点 C 为中心,把 CDB 旋转 90,则旋转后点 D 的对应点 D的坐标是
21、 (-2,0)或(2,10) . 10.(温州中考)如图, P,Q 是方格纸中的两格点,请按要求画出以 PQ 为对角线的格点四边形 .(1)在图 1 中画出一个面积最小的 PAQB.(2)在图 2 中画出一个四边形 PCQD,使其是轴对称图形而不是中心对称图形,且另一条对角线 CD 由线段 PQ 以某一格点为旋转中心旋转得到 .16解:(1)画法不唯一,如图 , 等 .(2)画法不唯一,如图 , 等 .11.如图是由边长为 1 的小正方形组成的 84 网格,每个小正方形的顶点叫做格点,点A,B,C,D 均在格点上,在网格中将点 D 按下列步骤移动:第一步:点 D 绕点 A 顺时针旋转 180得
22、到点 D1;第二步:点 D1绕点 B 顺时针旋转 90得到点 D2;第三步:点 D2绕点 C 顺时针旋转 90回到点 D.(1)请用圆规画出点 D D1 D2 D 经过的路径;(2)所画图形是 轴 对称图形 . 解:(1)点 D D1 D2 D 经过的路径如图所示 .12.(黑龙江龙东地区中考)如图,在平面直角坐标系中, ABC 的三个顶点都在格点上,点 A的坐标为(2,2) .请解答下列问题:(1)画出 ABC 关于 y 轴对称的 A1B1C1,并写出点 A1的坐标;17(2)画出 ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后得到的 A2B2C2,并写出点 A2的坐标;(3)画出 A2B2C2关于原
23、点 O 成中心对称的 A3B3C3,并写出点 A3的坐标 .答案图解:(1) A1B1C1如图所示,此时点 A1的坐标为( -2,2).(2) A2B2C2如图所示,此时点 A2的坐标为(4,0) .(3) A3B3C3如图所示,此时点 A3的坐标为( -4,0).拓展探究突破练13.如图,在平面直角坐标系中, ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(-3,2),B(-1,4),C(0,2).(1)将 ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180,画出旋转后的 A1B1C;(2)平移 ABC,若点 A 的对应点 A2的坐标为( -5,-2),画出平移后的 A2B2C2;(3)若将 A2B2C2绕某一点旋转可以得到 A1B1C,请直接写出旋转中心的坐标 .解:(1) A1B1C 如图所示 .(2) A2B2C2如图所示 .(3)如图所示,旋转中心的坐标为( -1,0).18
