1、124.6 正多边形与圆第 1 课时 正多边形与圆知识要点基础练知识点 1 正多边形的相关概念1.正八边形的每个外角等于 (C) A.18 B.36 C.45 D.602.下列多边形中,是正多边形的为 (D)A.各边都相等的多边形B.有一个角为 120的等边多边形C.各角都相等的四边形D.每个角都是 108的等边多边形3.一个外角等于它的一个内角的正多边形是 正方形 . 4.正十五边形的其中一个内角的度数等于 156 . 知识点 2 正多边形与圆5.下列正多边形,通过直尺和圆规不能作出的是 (C)A.正三角形 B.正方形C.正五边形 D.正六边形6.正六边形的半径为 6 cm,则该正六边形的内
2、切圆面积为 (D)A.48 cm 2 B.36 cm 2C.24 cm 2 D.27 cm 2【变式拓展】正六边形 ABCDEF 内接于 O,正六边形的周长是 12,则 O 的半径是(B)2A. B.23C.2 D.22 37.用量角器将圆五等分,得到正五边形 ABCDE(如图), AC,BD 相交于点 P, APB 等于 (C)A.36 B.60 C.72 D.1088.如图是对称中心为点 O 的正八边形 .如果用一个含 45角的直角三角板的角,借助点 O(使角的顶点落在点 O 处)把这个正八边形的面积 n 等分 .那么 n 的所有可能的值有 (B)A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5
3、 个9.(株洲中考)如图,正五边形 ABCDE 和正三角形 AMN 都是 O 的内接多边形,则 BOM= 48 . 10.如果要画一个正十二边形,那么用量角器将圆 十二 等分,每一份的圆心角是 30 .综合能力提升练311.高斯用直尺和圆规作出了正十七边形,如图,正十七边形的一边所对的外接圆的圆心角 AOB 的度数近似于 (C)A.11 B.17C.21 D.2512.(陕西中考)如图,在正五边形 ABCDE 中, AC 与 BE 相交于点 F,则 AFE 的度数为 72 . 13.将一块正六边形硬纸片(如图 )做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面,如图 ),需在每一个
4、顶点处剪去一个四边形,如四边形 AGAH,那么 GAH 的大小是 60 . 14.如图,五边形 ABCDE 内接于 O, A= B= C= D= E.求证:五边形 ABCDE 是正五边形 .证明: A= B= C= D= E, A 对着 , B 对着 , ,BDE CDABDE= CDA ,BDE- CDE= CDA- CDE4即 ,BC=AE.BC=AE同理可证其余各边都相等, 五边形 ABCDE 是正五边形 .15.已知 O 和 O 上的一点 A.(1)作 O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH;(2)在(1)的作图中,如果点 E 在 上,求证: DE 是 O 内接正十二
5、边形的一边 .AD解: (1)作法: 作直径 AC; 作直径 BD AC; 依次连接 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 即为 O 的内接正方形; 分别以 A,C 为圆心,以 OA 长为半径作弧,交 O 于点 E,H,F,G; 顺次连接 A,E,F,C,G,H 各点,六边形 AEFCGH 即为 O 的内接正六边形 .(2)如图,连接 OE,DE. AOD= =90, AOE= =60,3604 3606 DOE= AOD- AOE=90-60=30,DE 为 O 的内接正十二边形的一边 .拓展探究突破练516.某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是不是正多边形”时,进行了如下讨论:
6、甲同学:这种多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形;乙同学:我发现边数是 6 时,它也不一定是正多边形,如图 1, ABC 是正三角形, ,可AD=BE=CF证明六边形 ADBECF 的各内角相等,但它未必是正六边形;丙同学:我能证明边数是 5 时,它是正多边形,我想边数是 7 时,它可能也是正多边形 .(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等;(2)请你证明各内角都相等的圆内接七边形 ABCDEFG(如图 2)是正七边形;(不必写已知、求证)(3)根据以上探索过程,提出你的猜想 .(不必证明)解:(1)由题图 1 知 AFC 所对的弧为 , DAF 所对的弧为 ,ABC DEF ,CF=DA
7、 ,DEF= DBC+FC= DBC+AD= ABC AFC= DAF.同理可证,其余各角都等于 AFC. 题图 1 中六边形各内角相等 .(2)由题图 2 知 A 所对的弧为 , B 所对的弧为 .BEG CEA A= B, , .CEA= BEGBC=AG6同理, ,BA=CD=EF=AG=BC=DE=FG 各内角都相等的圆内接七边形 ABCDEFG 是正七边形 .(3)猜想:当边数是奇数时(或当边数是 3,5,7,9,时),各内角都相等的圆内接多边形是正多边形 .第 2 课时 正多边形的性质知识要点基础练知识点 1 正多边形的性质1.如果一个正多边形的中心角是 60,那么这个正多边形的边
8、数是 (B)A.5 B.6 C.7 D.8【变式拓展】若正六边形外接圆的半径为 4,则它的边长为 (C)A.2 B.4 C.4 D.23 32.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有 (C) 正三角形; 正方形; 正五边形; 正六边形; 线段; 圆; 菱形; 平行四边形 .A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个3.如图,该正多边形绕它的中心至少旋转 n后,能和原来的图形重合,则 n= 45 . 知识点 2 正多边形的计算4.古代数学家祖冲之和他的儿子根据刘徽的“割圆术”(用圆内接正多边形的周长代替圆周长),来计算圆周率 的近似值 .他从正六边形算起,一直算到正 24576 边
9、形,将圆周率精确7到小数后七位,在世界上领先一千多年 .根据这个办法,由圆内接正六边形算得的圆周率 的近似值是 (B)A.2.9 B.3 C.3.1 D.3.145.一个正六边形的半径为 R,边心距为 r,那么 R 与 r 的关系是 (A)A.r= R B.r= R32 22C.r= R D.r= R34 536.同圆的内接正 n 边形与外切正 n 边形的边长的比值是 cos . 180n7.如图,将正六边形纸片按下列要求分割 .(每次分割,纸片均不得有剩余)第一次分割:将正六边形纸片分割成三个全等的菱形,然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形;第二次分割:将第一次分割
10、后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形,然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形 .按上述方法继续分割 .(1)请你在图中画出第一次分割的示意图 .(2)若原正六边形的面积为 a,请你通过操作和观察,将第 1 次,第 2 次,第 3 次分割后所得的正六边形的面积填入下表:分割次数 n 1 2 3 正六边形的面积 S a4a16a64(3)观察所填表格,并结合操作,请你猜想:分割后所得的正六边形的面积 S 与分割次数 n 有何关系?( S 用含 a 和 n 的代数式表示,不需要写出推理过程)8解:(1)如图所示 .(3)S= .a4n综合能力提升练8.(德阳中考)已知圆内
11、接正三角形的面积为 ,则该圆的内接正六边形的边心距是 (B)3A.2 B.1 C. D.3329.正五边形绕其中心旋转下列各角度,所得正五边形与原正五边形不重合的是 (C)A.216 B.144 C.120 D.7210.以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形是 (C)A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【变式拓展】以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是 (A)A. B. C. D.22 32 2 311.(呼和浩特中考)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为
12、1 . 212.一元钱的硬币的直径约为 24 mm,则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 12mm.(保留根号) 313.(贵阳中考)如图, M,N 分别是正五边形 ABCDE 的两边 AB,BC 上的点 .且 AM=BN,点 O 是正五边形的中心,则 MON 的度数是 72 度 . 914.如图,用扳手上螺帽,已知正六边形的螺帽的边长为 a,当扳手开口的最大值是 10 cm 时,求能拧下最大正六边形的螺帽的边长 a 的值 .答案图解:如图所示,在正六边形 ABCDEF 中,连接 DF,作 EG DF 于点 G.由已知可得 DF=10 cm,在 Rt DEG 中, DG=5 cm, DE
13、G=60,DE= =5 cm,DGsin60 23=1033 能拧下最大正六边形的螺帽的边长 a 的值为 cm.103315.如图 1、图 2 分别是两个相同的正方形、正六边形,其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心 O 处 .(1)求图 1 中重叠部分面积与阴影部分面积之比;(2)求图 2 中重叠部分面积与阴影部分面积之比 .(直接写出答案)解:(1)连接 OA,OB,过点 O 作 OM AB,垂足为 M. 点 O 是正方形 ABCD 外接圆的圆心,OA=OB ,OM= AB,S ABO= S 正方形 ABCD.12 14 AOB=90, AOC=90, AOF+ AOB= AOB
14、+ BOE=90, AOF= BOE,10 OAF= OBE=45, AOF BOE.S AOF=S BOE, 重叠部分面积 =S BOF+S BOE=S BOF+S AOF=S ABO= S 正方形 ABCD,S 阴影 = S 正方形 ABCD.14 34 重叠部分面积与阴影部分面积之比为 1 3.(2)1 2.拓展探究突破练16.(河北中考)如图 1,作 BPC 平分线的反向延长线 PA,现要分别以 APB, APC, BPC 为内角作正多边形,且边长均为 1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案 .例如,若以 BPC 为内角,可作出一个边长为 1 的正方形,此时 BPC=90,
15、而 =45是 360(多边902形外角和)的 ,这样就恰好可作出两个边长均为 1 的正八边形,填充花纹后得到一个符合要18求的图案,如图 2 所示 .(1)图 2 中的图案外轮廓周长为 14 ; (2)在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,求会标的外轮廓周长 .解:(2)设 BPC=2x, 以 BPC 为内角的正多边形的边数为 ,以 APB 为内角的正多边形的边数为360180-2x= 18090-x,360x 图案外轮廓周长为 -2+ -2+ -2= -6.18090-x 360x 360x 18090-x+720x根据题意可知,2 x 的值只能为 60,90,120,144,当 x 越小时,周长越大, 当 x=30 时,周长最大,此时图案定为会标,则会标的外轮廓周长为 -6=21.18090-30+7203011
