1、1大题精做 10 圆锥曲线：定点、定值问题2019甘肃联考已知椭圆 2:10xyCab的右焦点为 F，上顶点为 M，直线 F的斜率为 2，且原点到直线 FM的距离为 63（1）求椭圆 C的标准方程；（2）若不经过点 的直线 :0,lykxm与椭圆 C交于 A， B两点，且与圆 21xy相切试探究 ABF 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】 （1）213xy；（2） 3【解析】 （1）由题可知， ,0c， ,Mb，则 2c，直线 FM的方程为 1xyb，即 0xy，所以 263b，解得 1b， 2c，又 23a，所以椭圆 C的标准方程为213xy（2）因为直线 :0,l
2、ykxm与圆 2相切，所以 21k，即 22设 1,Axy， 2,Bxy，联立213xykm，得 22316310kxkm，所以 2222236140kmk，12xk， 2123xk，所以22 21131ABkm又 22mk，所以 26ABk因为 2221111 163xAFxyxx，同理 263BFx所以 1263B，2所以 ABF 的周长是 126623231mkx，则 的周长为定值 12019安庆期末已知椭圆 2:10xyCab过点 61,2，焦距长 2，过点 1,0Q的直线 l交椭圆 C于 A， B两点（1）求椭圆 的方程；（2）已知点 7,04P，求证： PAB为定值22019东莞期
3、末已知椭圆 C的中心在坐标原点，左右焦点分别为 1,0F和 21,，且椭圆 C经过点31,M（1）求椭圆 C的标准方程；3（2）过椭圆的右顶点 D作两条相互垂直的直线 1l， 2，分别与椭圆交于点 A， B（均异于点 D） ，求证：直线 AB过定点，并求出该定点的坐标32019漳州一模已知椭圆 C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，且椭圆 C的一个顶点与抛物线24xy的焦点重合，离心率为 12（1）求椭圆 C的标准方程；（2）过椭圆 的右焦点 F且斜率存在的直线 l交椭圆 C于 P， Q两点，线段 P的垂直平分线交 x轴于 M点，4证明： MFPQ为定值51 【答案】 （1）214xy；（2）
4、56【解析】 （1）由条件焦距为 ，知 2c，从而将 61,2代入方程21xya，可得 24a， 2b，故椭圆方程为 4xy（2）当直线 l的斜率不为 0 时，设直线 :1lm交椭圆于 1,Axy， 2,Bxy，由 21 4xmy，可得 230y，12， 12ym， 17,4PAxy， 27,4PBxy，211217394 6PABx m ，化简得 23695，当直线 l斜率为 0 时， ,A， 2,0B， 151,0,46PAB，即证 PAB为定值，且为 1562 【答案】 （1）243xy；（2 ）见解析【解析】 （1）设椭圆 C的标准方程为21xyab，21 5MF， 223MF， 21
5、34a， a， 22413bac，所以椭圆的标准方程为21xy（2）直线 AB斜率存在，设直线 :ABykxm， 1,Axy， 2,Bxy，联立方程 2 143ykxm，消去 得 22348430，2260kk， 20km，6122122834 mkx，又 22 212121134mkykxmkxmx，由 ADB，得 ADBk，即 121yx， 121240yxx， 22234364mkmk， 227160解得 1， 27k，且均满足 2340km，当 1k时，直线 AB的方程为 ykx，直线过定点 ,0，与已知矛盾；当 27m时，直线 的方程为 7，直线过定点 2,7由椭圆的对称性所得，当直
6、线 1l， 2的倾斜角分别为 45， 13，易得直线 1:2lyx，2:lyx，直线 1l， 2分别与椭圆交于点 2,7A， 2,7B，此时直线 AB斜率不存在，也过定点 ,0，综上所述，直线 恒过定点 ,73 【答案】 （1）2143xy；（2）详见解析【解析】解法一：（1）设椭圆 C的标准方程为 210xyab，由抛物线 2xy的焦点为 0,，得 3b， 又 2ce，由及 2abc，解得 a，所以椭圆 C的标准方程为2143xy（2）依题意设直线 l的方程为 k，设点 1,Pxy， 2,Qxy，当 0时，联立方程21 43ykx，得 2234841kk， 22281410kkk，所以 12
7、2x，213x， PQ的中点坐标为223,，7PQ的垂直平分线为2231443kkyx，令 0y，得23Mxk，224Fkk，又 2 22 21 164334kPQ，所以 14MFPQ，当 0k时，点 与原点重合，则 1MF， 4PQ，所以 FP；综上所述， MFPQ为定值 14解法二：（1）同解法一（2）依题意，当直线 l的斜率不为 0 时，设直线的方程为 10xmy，设点 1,Pxy， 2,Qxy，联立方程 21 43xmy，得 2469，所以 22236410m，12y， 1293y， 222212 163644mmPQ ，12122283xmy，所以 P的中点坐标为 4,m，Q的垂直平分线为 22433yx，令 0y，得 214Mx，所以 221134mF，所以 14MFPQ；当直线 l的斜率为 0 时，点 与原点重合，则 M， ，所以 ；综上所述， FPQ为定值 148
