1、118 圆锥曲线的标准方程与几何性质1.已知椭圆 + =1(ab0)的一个焦点为 F,该椭圆上有一点 A,满足 OAF 是等边三角形( Ox2a2y2b2为坐标原点),则椭圆的离心率是( ).A. -1 B.2-3 3C. -1 D.2-2 2解析 根据题意,设 F(c,0),又由 OAF 是等边三角形,得 A .(c2,32c)因为点 A 在椭圆上,所以 + =1. c24a23c24b2又 a2=b2+c2, 联立 ,解得 c=( -1)a,则其离心率 e= = -1,故选 A.3ca 3答案 A2.直线 l:x-2y-5=0 过双曲线 - =1(a0,b0)的一个焦点且与其一条渐近线平行
2、,则双曲线x2a2y2b2的方程为( ).A. - =1B. - =1x220y25 x25y220C. -y2=1D.x2- =1x24 y24解析 对于直线 l,令 y=0,得 x=5,即 c=5.又 = ,所以 a2=20,b2=5,所以双曲线的方程ba12为 - =1,故选 A.x220y25答案 A3.从抛物线 y2=4x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且 |PM|=9,设抛物线的焦点为 F,则直线 PF 的斜率为( ).A. B. C. D.627 1827 427 227解析 设 P(x0,y0),因为抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 F(1,0),准线
3、方程为 x=-1,|PM|=9,根据抛物线的定义,可得 x0=8,所以 y0=4 .又点 P 在第一象限,所以 P(8,4 ),所以 kPF=2 2,故选 C.4272答案 C4.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 的x24y23 OPFP最大值为( ).A.2 B.3 C.6 D.8解析 设 P(x0,y0),则 + =1,即 =3 .又 F(-1,0),所以 =x0(x0+1)+ =x204y203 y20 (1-x204) OPFP y20+x0+3= (x0+2)2+2.因为 x0 -2,2,所以( )max=6,故选 C.14x2
4、0 14 OPFP答案 C能力 1 巧用定义求解曲线问题【例 1】 已知定点 F1(-2,0),F2(2,0),N 是圆 O:x2+y2=1 上任意一点,点 F1关于点 N 的对称点为 M,线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P,则点 P 的轨迹是( ).A.直线 B.圆C.椭圆 D.双曲线的右支解析 因为 N 为 F1M 的中点, O 为 F1F2的中点,所以 F2M=2ON=2.因为点 P 在线段 F1M 的中垂线上,所以 |PF1|=|PM|,因此 |PF1|-|PF2|=F2M=2ON=2,即点 P 的轨迹是双曲线的右支,故选 D.答案 D求轨迹方程的常用方法:一是定义法,
5、动点满足圆或圆锥曲线的定义;二是直接法,化简条件即得;三是转移法,除所求动点外,一般还有已知轨迹的动点,寻求两者之间的关系是关键;四是交轨法或参数法,如何消去参数是解题关键,且需注意消参过程中的等价性 .椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若线段 PF2的中点在 y 轴上,则 |PF2|是 |PF1|x212y23的( ).3A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍解析 设线段 PF2的中点为 D,则 |OD|= |PF1|,OD PF1,OD x 轴,12PF 1 x 轴, |PF 1|= = = .b2a 323 32又 |PF 1|+|PF2|=4 ,3|PF
6、2|=4 - = ,332 732|PF 2|是 |PF1|的 7 倍,故选 A.答案 A能力 2 会用有关概念求圆锥曲线的标准方程【例 2】 已知双曲线 C: - =1(a0,b0)过点( , ),且实轴的两个端点与虚轴的x2a2y2b2 2 3一个端点组成一个等边三角形,则双曲线 C 的标准方程是( ).A. -y2=1B. - =1x212 x29y23C.x2- =1D. - =1y23 x223y232解析 由题意可得 解得2a2-3b2=1,ba= 3, a=1,b= 3, 双曲线 C 的标准方程是 x2- =1,故选 C.y23答案 C渐近线、焦点、顶点、准线等是圆锥曲线的几何性
7、质,这些性质往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,只有正确把握和理解这些性质,才能通过待定系数法求解圆锥曲线的方程 .已知双曲线 - =1 的离心率为 ,且双曲线与抛物线 x2=-4 y 的准线交于 A,B 两点,y2a2x2b2 2 3S ABO= ,则双曲线的实轴长为( ).34A. B.2 C.2 D.42 2 2解析 因为抛物线的方程为 x2=-4 y,3所以准线方程为 y= .3因为 S ABO= ,所以 2|xA| = ,312 3 3所以 xA=1,所以 A(1, )或 A(-1, ).3 3因为双曲线 - =1 的离心率为 ,y2a2x2b2 2所以 a=b,所
8、以 - =1,故 a= ,3a21a2 2因此双曲线的实轴长为 2 ,故选 C.2答案 C能力 3 会用几何量的关系求离心率【例 3】 已知椭圆 E: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、 F2,y 轴上的点 P 在椭圆x2a2y2b2外,且线段 PF1与椭圆 E 交于点 M,若 |OM|=|MF1|= |OP|,则椭圆 E 的离心率为( ).33A. B.12 32C. -1 D.33+12解析 因为 |OM|=|MF1|= |OP|,所以 F1PO=30, MF1F2=60,连接 MF2 ,则可得33三角形 MF1F2为直角三角形 .在 Rt MF1F2中,易知 MF1=c,MF2
9、= c,则 c+ c=2a,所以离心3 3率 e= = = -1,故选 C.ca 21+ 3 3答案 C求离心率一般有以下几种方法: 直接求出 a,c,从而求出 e; 构造 a,c 的齐次式,求出e; 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; 根据圆锥曲线的统一定义求解 .本题中,根据特殊直角三角形可以建立关于焦半径和焦距的关系,从而找出 a,c 之间的关系,求出离心率 e.5过双曲线 - =1(ab0)的左焦点 F 作某一渐近线的垂线,分别与两条渐近线相交于x2a2y2b2A,B 两点,若 = ,则双曲线的离心率为( ).|AF|BF|12A. B.2 C. D.233 3 5解析 因为
10、ab0,所以交点 A,B 在 F 的两侧 .由 = 及角平分线定理知 = = .|AF|BF|12 |AO|BO|AF|BF|12由 AB AO 知 cos AOB= = ,所以 AOB=60, AOF=30,|OA|OB|12据此可知渐近线的方程为 y= x,33而双曲线 - =1 的渐近线方程为 y= x,x2a2y2b2 ba故 = ,则双曲线的离心率 e= = ,故选 A.ba 33 1+(ba)2233答案 A能力 4 能紧扣圆锥曲线的性质求最值或取值范围【例 4】 设 O 为坐标原点, P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px(p0)上任意一点, M 是线段 PF 上的点,且 |
11、PM|=2|MF|,则直线 OM 的斜率的最大值为( ).A. B. C. D.133 23 22解析 设 P ,由题意知 F ,显然当 y00,(y202p,y0) (p2,0)则 = + = + = + ( - )= + = ,OMOFFMOF13FPOF13OPOF13OP23OF(y206p+p3,y03)可得 kOM= = = ,当且仅当 =2p2,即 y0= p 时取等号,故选 C.y03y206p+p3 2y0p+2py0 222 22 y20 2答案 C解题时一定要注意分析条件,根据条件 |PM|=2|MF|,利用向量的运算可知 M ,(y206p+p3,y03)从而写出直线的
12、斜率的表达式,注意均值不等式的使用,特别是要分析等号是否成立,否则易出问题 .6如图,圆 O 与离心率为 的椭圆 T: + =1(ab0)相切于32 x2a2y2b2点 M(0,1),过点 M 引两条互相垂直的直线 l1,l2,两条直线与两曲线分别交于点 A,C 与点 B,D(均不重合) .若 P 为椭圆上任意一点,记点 P 到两条直线的距离分别为 d1,d2,则 +d21的最大值是( ).d22A.4 B.5 C. D.163 253解析 易知椭圆 T 的方程为 +y2=1,圆 O 的方程为 x2+y2=1.设 P(x0,y0),因为 l1 l2,x24所以 + =PM2= +(y0-1)2
13、.又因为 + =1,所以 + =4-4 +(y0-1)2=-3 + .因为 -d21d22 x20x204y20 d21d22 y20 (y0+13)21631 y01,所以当 y0=- 时, + 取得最大值 ,此时点 P 的坐标为 ,故选 C.13 d21d22 163 (423,-13)答案 C一、选择题1.抛物线 y=4x2的准线方程为( ).A.y=-1 B.y=1C.y= D.y=-116 116解析 将 y=4x2化为 x2= y,则该抛物线的准线方程为 y=- ,故选 D.14 116答案 D2.已知焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m=( ).x2my23 1
14、2A.6 B. C.4 D.267解析 由焦点在 x 轴上的椭圆 + =1,可得 a= ,c= .由离心率为 可得 =x2my23 m m-3 12 m-3m,解得 m=4,故选 C.12答案 C3.已知椭圆的中心在原点,离心率 e= ,且它的一个焦点与抛物线 y2=-4x 的焦点重合,则椭圆12的方程为( ).A. + =1 B. + =1x24y23 x28y26C. +y2=1D. +y2=1x22 x24解析 由题意可设椭圆的方程为 + =1(ab0),由已知可得抛物线的焦点为( -1,0),x2a2y2b2所以 c=1.又离心率 e= = ,解得 a=2,所以 b2=a2-c2=3,
15、所以椭圆的方程为 + =1,故选 A.ca12 x24y23答案 A4.已知正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 + =1 上,若椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的x2a2y2b2离心率的取值范围是( ).A. B.(5-12 ,1) (0,5-12 )C. D.(3-12 ,1) (0,3-12 )解析 设正方形 ABCD 的边长为 2m,因为椭圆的焦点在正方形的内部,所以 mc.又正方形的四个顶点都在椭圆 + =1 上,x2a2y2b2所以 + =1 + =e2+ =e2+ ,m2a2m2b2 c2a2c2b2 c2a2-c2 e21-e2所以 e4-3e2+10,所以 e20)为焦点的抛
16、物线 C 的准线与双曲线 x2-y2=2 相交于 M,N 两点,若 MNF 为正(0,p2)三角形,则抛物线 C 的标准方程为( ).A.y2=2 x B.y2=4 x6 6C.x2=4 y D.x2=2 y6 68解析 将 y= 代入双曲线 x2-y2=2 中,可得 x= .p2 2+p24 MNF 为正三角形, p= 2 .32 2+p24p 0,p= 2 ,6 抛物线 C 的方程为 x2=4 y,故选 C.6答案 C6.设 F 是椭圆 C: + =1(ab0)的一个焦点, P 是 C 上的点,圆 x2+y2= 与直线 PF 交于 A,B 两x2a2y2b2 a29点,若 A,B 是线段
17、PF 的两个三等分点,则椭圆 C 的离心率为( ).A. B.33 53C. D.104 175解析 如图,取 AB 的中点 H,设椭圆另一个焦点为 E,连接 PE,OH,OA.且 H 是 AB 的中点, OH AB.A ,B 三等分线段 PF, 设 |OH|=d,则 |PE|=2d,|PF|=2a-2d,|AH|= ,a-d3于是在 Rt OHA 中, |OA|2=|OH|2+|AH|2,解得 a=5d.于是在 Rt OHF 中, |FH|= a,|OH|= a,|OF|=c,45 15由 |OF|2=|OH|2+|FH|2,化简得 17a2=25c2,则 = .ca 175即椭圆 C 的离
18、心率为 .故选 D.175答案 D7.已知 F1、 F2是双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点, F1的坐标为( - ,0),双曲线右支上x2a2y2b2 7的点 P 满足 |PF1|-|PF2|=4,则双曲线的渐近线方程为( ).A.y= x B.y= x32 232C.y= xD.y= x34 439解析 F 1的坐标为( - ,0),c= .7 7 双曲线右支上的点 P 满足 |PF1|-|PF2|=4, 2a=4,即 a=2,b 2=c2-a2=7-4=3,即 b= ,则双曲线的渐近线方程为 y= x,故选 A.332答案 A8.已知 F1、 F2分别是双曲线 - =1(a0,b
19、0)的左、右焦点,过 F1的直线 l 与双曲线的左、x2a2y2b2右两支分别交于点 A、 B.若 ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为( ).A.4 B. C. D.7233 3解析 设 |AB|=m,则 |BF1|-|BF2|=|AF1|=2a,所以 |AF2|-|AF1|=m-2a=2a,m=4a,因此 4c2=(4a+2a)2+(4a)2-26a4acos , 3所以 4c2=28a2,e2=7,所以 e= ,故选 B.7答案 B9.已知 F1、 F2是双曲线 - =1(a0)的左、右焦点,过 F1的直线 l 与双曲线的左支交于点 A,x2a2y26与右支交于点 B,若 |AF1|
20、=2a, F1AF2= ,则 =( ).23 S F1BF2A.6 B.6 C.6 D.122 3解析 由双曲线的定义,得 |AF2|-|AF1|=2a.又 |AF1|=2a,则 |AF2|=4a,在 F1AF2中,4 c2=4a2+(4a)2+22a4a ,即 c2=7a2,即 a2+6=7a2,解得 a=1.12因为 |BF1|-|BF2|=2,且 |BF1|-|BA|=2,所以 |BA|=|BF2|.又 F2AB= ,所以 BAF2为等边三角形 . 3因为 |AF2|=4,所以 = + = 42 + 24 =6 ,故选 C.S F1BF2S ABF2S AF1F212 32 12 32
21、3答案 C1010.已知 F 是抛物线 x2=4y 的焦点, P 为抛物线上的动点,且点 A 的坐标为(0, -1),则 的最|PF|PA|小值是( ).A. B. C. D.14 12 22 32解析 由题意可得,抛物线 x2=4y 的焦点为 F(0,1),准线方程为 y=-1.过点 P 作 PM 垂直于准线, M 为垂足,则由抛物线的定义可得 |PF|=|PM|,则= =sin PAM, PAM 为锐角 .|PF|PA|PM|PA| 当 PAM 最小时, 最小,则当 PA 和抛物线相切时, 最小 .|PF|PA| |PF|PA|设切点 P(2 ,a),又 y= 的导数为 y= ,则 PA
22、的斜率为 2 = = ,ax24 x2 12 a aa+12aa= 1,则 P(2,1),|PM|= 2,|PA|=2 ,2 sin PAM= = ,故选 C.|PM|PA| 22答案 C二、填空题11.若抛物线 y2=ax(a0)上的点 P 到焦点 F 的距离为 2,则 a= . (32,y0)解析 由题意得抛物线的焦点坐标为 ,准线方程为 x=- ,(a4,0) a4由抛物线的焦半径公式得 |PF|=x0+ = + =2,解得 a=2.p232a4答案 212.若 M 为双曲线 C1: - =1(a0,b0)右支上一点, A 和 F 分别为双曲线 C1的左顶点和右焦x2a2y2b2点,且
23、MAF 为等边三角形,双曲线 C1与双曲线 C2: - =1(b0)的渐近线相同,则双曲线x24 y2(b)2C2的虚轴长是 . 解析 由题意知, A(-a,0),F(c,0),M .(c-a2,3(c+a)2 ) - =1,(c-a)24a2 3(c+a)24b2 = -1= ,3(c+a)24(c2-a2)(c-a)24a2 (c-3a)(c+a)4a2 = ,c 2=4ac,3c-ac-3aa2e= 4,即 =4, = .ca ba 1511又双曲线 C1与双曲线 C2的渐近线相同, = ,b= 2 ,b2 15 15则双曲线 C2的虚轴长是 4 .15答案 4 1513.如图,点 F 是抛物线 y2=8x 的焦点,点 A,B 分别在抛物线 y2=8x 及圆( x-2)2+y2=16 的实线部分上运动,且 AB 总是平行于 x 轴,则 FAB 的周长的取值范围是 . 解析 抛物线的准线的方程为 x=-2,焦点为 F(2,0),由抛物线的定义可得 |AF|=xA+2.又圆( x-2)2+y2=16 的圆心为(2,0),半径为 4, FAB 的周长 =|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB.由抛物线 y2=8x 及圆( x-2)2+y2=16 可得交点的横坐标为 2,x B(2,6), FAB 的周长 6+xB(8,12) .答案 (8,12)
