1、1突破 1 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018江西上饶一模,20)已知椭圆 M: =1(ab0)的离心率为 ,点 P 1, 在椭圆 M上 .x2a2+y2b2 12 32(1)求椭圆 M的方程;(2)经过椭圆 M的右焦点 F的直线 l与椭圆 M交于 C,D两点, A,B分别为椭圆 M的左、右顶点,记ABD与 ABC的面积分别为 S1和 S2,求 |S1-S2|的取值范围 .2.(2018宁夏银川一中四模,20)已知椭圆 C: =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 M在椭x2a2+y2b2圆上,有 |MF1|+|MF2|=4,椭圆的离心率为 e=12.(1)求椭圆 C的标
2、准方程;(2)已知 N(4,0),过点 N作斜率为 k(k0)的直线 l与椭圆交于 A,B不同两点,线段 AB的中垂线为 l,记l的纵截距为 m,求 m的取值范围 .3.(2018北京海淀区二模,20)已知椭圆 C:x2+2y2=1的左右顶点分别为 A1,A2.(1)求椭圆 C的长轴长与离心率;(2)若不垂直于 x轴的直线 l与椭圆 C相交于 P,Q两点,直线 A1P与 A2Q交于点 M,直线 A1Q与 A2P交于点 N.求证:直线 MN垂直于 x轴 .24.(2018广东珠海质检,20)已知抛物线 C1:y2=2px(p0),圆 C2:x2+y2=4,直线 l:y=kx+b与抛物线 C1相切
3、于点 M,与圆 C2相切于点 N.(1)若直线 l的斜率 k=1,求直线 l和抛物线 C1的方程;(2)设 F为抛物线 C1的焦点,设 FMN, FON的面积分别为 S1,S2,若 S1=S 2,求 的取值范围 .5.(2018重庆巴蜀中学适应性考试(七),20)已知椭圆 =1(ab0)与直线 y= x-2 相切,设椭x2a2+y2b2 22 2圆的上顶点为 M,F1,F2是椭圆的左、右焦点,且 MF1F2为等腰直角三角形 .(1)求椭圆的标准方程;(2)直线 l过点 N 0,- 交椭圆于 A,B两点,直线 MA、 MB分别与椭圆的短轴为直径的圆交于 S,T两23点,求证: O,S,T三点共线
4、 .6.(2018河北衡水联考,20)已知椭圆 =1(ab0)的离心率 e= ,左、右焦点分别为 F1,F2,且 F2x2a2+y2b2 33与抛物线 y2=4x的焦点重合 .(1)求椭圆的标准方程;(2)若过 F1的直线交椭圆于 B,D两点,过 F2的直线交椭圆于 A,C两点,且 AC BD,求 |AC|+|BD|的最小值 .3参考答案高考大题专项五 直线与圆锥曲线 压轴大题突破 1 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解 (1)因为 e= = ,椭圆 M过点 P 1, ,所以 c=1,a=2.ca12 32所以椭圆 M方程为 + =1.x24y23(2)当直线 l无斜率时,直线方程为 x=
5、1,此时 C 1,- ,D 1, , ABD, ABC面积相等, |S1-32 32S2|=0;当直线 l斜率存在(显然 k0)时,设直线方程为 y=k(x-1),设 C(x1,y1),D(x2,y2).由 x24+y23=1,y=k(x-1),消去 y得(3 +4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,显然 0,方程有根,且 x1+x2= ,x1x2= ,8k23+4k2 4k2-123+4k2此时 |S1-S2|=2|y2|-|y1|=2|y2+y1|= ,12|k|3+4k2因为 k0,则上式 = = = k= 时等号成立 ,所以 |S1-S2|的最大值为123|k|+4|k| 122
6、3|k|4|k| 122123 32,3所以 0 |S1-S2| .32.解 (1)因为 |MF1|+|MF2|=4,所以 2a=4,所以 a=4.因为 e= ,所以 c=1,12所以 b2=a2-c2=3,所以椭圆 C的标准方程为 + =1.x24y23(2)由题意可知直线 l的斜率存在,设 l:y=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去 y得y=k(x-4),x24+y23=1,4(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,x1+x2= ,x1x2= ,32k24k2+3 64k2-124k2+3又 = -4(4k2+3)(64k2-12)0,解得 - 0恒成立
7、,-16k2+12(4k2+3)2 12所以 m= 在 k 0, 上为增函数,所以 00,由 l与 C2相切知, C2(0,0)到 l的距离 d= =2,得 b=2 ,所b2 2以 l:x-y+2 =0.将 l与 C1的方程联立消 x得 y2-2py+4p =0,2 25其 = 4p2-16 p=0得 p=4 ,2 2C 1:y2=8 x.2综上所述, l:x-y+2 =0,C1:y2=8 x.2 2(2)不妨设 k0,根据对称性, k0得到的结论与 k0,又知 p0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 y=kx+b,y2=2px,消去 y得 k2x2+2(kb-p)x+b2=0,由
8、= 4(kb-p)2-4k2b2=0,得 p=2kb,M , ,p2k2pk由 l与 C2切于点 N知 C2(0,0)到 l:kx-y+b=0的距离 d= =2,得 b=2 ,则 p=4kb1+k2 1+k2,1+k2故 M ,4 .21+k2k 1+k2由 得 N - , ,故 |MN|= |xM-xN|= + =y=kx+b,x2+y2=4, 2k1+k2 21+k2 1+k2 1+k221+k2k 2k1+k2.4k2+2kF ,0 到 l:kx-y+b=0的距离 d0= =2k2+2,p2 pk2+b1+k2所以 S1=S FMN= |MN|d0= ,12 2(2k2+1)(k2+1)
9、k又因为 S2=S FON= |OF|yN|=2k,所以 = = = +2 (k2+1)=2k2+ +32 +3,当12 S1S2(2k2+1)(k2+1)k2 1k2 1k2 2且仅当 2k2= 即 k= 时取等号 ,与上同理可得, k0.(83k)2 649 649设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= ,83k1+2k2 -6491+2k2又 M(0,2), =x1x2+(y1-2)(y2-2)MAMB=x1x2+ kx1- kx2-83 83=(1+k2)x1x2- k(x1+x2)+83 649=- - +649 1+k21+2k2649 k21+2
10、k2649= - +1 =0.649 1+k2+k21+2k2MA MB, SMT= .2 圆的直径为椭圆的短轴, 圆心为原点 O, 点 O,S,T三点共线 .6.解 (1)抛物线 y2=4x的焦点为(1,0),所以 c=1,又因为 e= = = ,所以 a= ,ca1a 33 37所以 b2=2,所以椭圆的标准方程为 + =1.x23y22(2) 当直线 BD的斜率 k存在且 k0 时,直线 BD的方程为 y=k(x+1),代入椭圆方程 + =1,x23y22化简得(3 k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= ,6k
11、23k2+2 3k2-63k2+2|BD|= |x1-x2|1+k= (1+k2)(x1+x2)2-4x1x2= .43(k2+1)3k2+2易知直线 AC的斜率为 - ,所以 |AC|= = ,1k 43(1k2+1)31k2+243(k2+1)2k2+3|AC|+|BD|=4 (k2+1) + =313k2+2 12k2+3 203(k2+1)2(3k2+2)(2k2+3)203(k2+1)2(3k2+2)+(2k2+3)2 2= = ,203(k2+1)225(k2+1)24 1635当 k2=1,即 k=1时,上式取等号,故 |AC|+|BD|的最小值为 .1635 当直线 BD的斜率不存在或等于零时,易得 |AC|+|BD|= .1033 1635综上所述, |AC|+|BD|的最小值为 .16358
