1、1突破 2 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2018 福建厦门质检一,20)设 O 为坐标原点,椭圆 C: =1(ab0)的左焦点为 F,离心率为x2a2+y2b2直线 l:y=kx+m(m0)与 C 交于 A,B 两点, AF 的中点为 M,|OM|+|MF|=5.255.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设点 P(0,1), =-4,求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标 .PAPB2.(2018 东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)一模,20)已知椭圆C: =1(ab0)的离心率为 ,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆 C 的左、右焦点, M 为椭圆 C
2、上的任意一x2a2+y2b2 22点, MF1F2的面积的最大值为 1,A、 B 为椭圆 C 上任意两个关于 x 轴对称的点,直线 x= 与 x 轴的交a2c点为 P,直线 PB 交椭圆 C 于另一点 E.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)求证:直线 AE 过定点 .3.(2018 广东一模,20)已知椭圆 C: =1(ab0)的离心率为 ,且 C 过点 1, .x2a2+y2b2 32 32(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点(点 P,Q 均在第一象限),且直线 OP,l,OQ 的斜率成等比数列,证明:直线 l 的斜率为定值 .24.已知定直线 l:y
3、=x+3,定点 A(2,1),以坐标轴为对称轴的椭圆 C 过点 A 且与 l 相切 .(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆的弦 AP,AQ 的中点分别为 M,N,若 MN 平行于 l,则 OM,ON 斜率之和是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由 .5.(2018 江西六校联考,20)已知 F1,F2分别是椭圆 C: =1(ab0)的左、右焦点,其中右焦点为x2a2+y2b2抛物线 y2=4x 的焦点,点 M -1, 在椭圆 C 上 .22(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)设与坐标轴不垂直的直线 l 过 F2与椭圆 C 交于 A,B 两点,过点 M -1, 且平行直线 l
4、的直线交22椭圆 C 于另一点 N,若四边形 MNBA 为平行四边形,试问直线 l 是否存在?若存在,请求出 l 的斜率;若不存在,请说明理由 .6.(2018 辽宁省部分重点中学协作体模拟,20)已知 M 是椭圆 C: =1(ab0)上的一点,3,12 x2a2+y2b2F1,F2是该椭圆的左右焦点,且 |F1F2|=2 3.(1)求椭圆 C 的方程;3(2)设点 A,B 是椭圆 C 上与坐标原点 O 不共线的两点,直线 OA,OB,AB 的斜率分别为 k1,k2,k3,且k1k2=k2.试探究 |OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由 .参考答案突破 2 圆锥曲线
5、中的定点、定值与存在性问题1.解 (1)设椭圆的右焦点为 F1,则 OM 为 AFF1的中位线 .OM= AF1,MF= AF,12 12|OM|+|MF|= =a=5,|AF|+|AF1|2e= = ,c= 2 ,b= ,ca255 5 5 椭圆 C 的方程为 + =1.x225y25(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx+m,x225+y25=1,消去 y 整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0. 0,x1+x2=- ,x1x2= ,10km1+5k2 5m2-251+5k2y 1+y2=k(x1+x2)+2m= ,2m1+5k2y1y2=(kx1+m
6、)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=5k2m2-25k2-10k2m2+m2+5k2m21+5k2= ,-25k2+m21+5k2P (0,1), =-4,PAPB (x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,4 + - +5=0,整理得 3m2-m-10=0,5m2-251+5k2 -25k2+m21+5k2 2m1+5k2解得 m=2 或 m=- (舍去) .53 直线 l 过定点(0,2) .2.(1)解 当 M 为椭圆 C 的短轴端点时, MF1F2的面积的最大值为 1, 2cb=1,12bc= 1,e= = ,a2=b2+
7、c2,ca 22a= ,b=1,2 椭圆 C 的标准方程为 +y2=1.x22(2)证明设 B(x1,y1),E(x2,y2),A(x1,-y1),且 x1 x2,x= =2,P (2,0),由题意知 BP 的斜率必存在,设直线 BP 的方程为 y=k(x-2),代入 +y2=1 得a2c x22(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0,由 0 得 k20.设点 P,Q 的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= ,-8km1+4k2 4(m2-1)1+4k2y 1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 直线 OP,l
8、,OQ 的斜率成等比数列,k 2= =y2x2 y1x1,k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2整理得 km(x1+x2)+m2=0, +m2=0,-8k2m21+4k2又 m0,所以 k2= ,14结合图像(图略)可知 k=- ,故直线 l 的斜率为定值 .124.解 (1)设椭圆 C 的方程为 mx2+ny2=1(m0,n0,m n),椭圆 C 过点 A,所以 4m+n=1. 将 y=x+3 代入椭圆方程化简得( m+n)x2+6nx+9n-1=0.因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 = (6n)2-4(m+n)(9n-1)=0, 解 可得 m= ,n= .16 13所以椭圆的标
9、准方程为 + =1.x26y23(2)设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则有 M , ,N , .x1+22 y1+12 x2+22 y2+12由题意可知 PQ MN,所以 kPQ=kMN=1.设直线 PQ 的方程为 y=x+t(-30,所以 x1+x2= -4t3,x1x2=2t2-63 ,6kOM+kON= + = + ,y1+1x1+2y2+1x2+2x1+t+1x1+2 x2+t+1x2+2通分后可变形得到 kOM+kON= ,2x1x2+(t+3)(x1+x2)+4t+4x1x2+2(x1+x2)+4将 式代入得 kOM+kON= = =0.2(2t2-6)+(t+3)(-4
10、t)+12t+122t2-6+2(-t)+12 02t2-8t+6当 t=0 时,直线 PQ 的方程为 y=x,易得 P( , ),Q(- ,- ),则2 2 2 2M , ,N , ,所以 kOM+kON= + =0.2+ 22 1+ 22 2- 22 1- 22 1+ 22+ 21- 22- 2所以 OM,ON 斜率之和为定值 0.5.解 (1)由 y2=4x 的焦点为(1,0)可知椭圆 C 的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),又点 M -1, 在椭圆上,22所以1a2+ 12b2=1,a2=b2+c2,c=1, 解得 a2=2,b2=1,所以椭圆 C 的标准方程为 +y2=1.x
11、22(2)由题意可设直线 l 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由 x22+y2=1,y=k(x-1),消去 y,得(1 +2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,所以 x1+x2= ,x1x2= .4k21+2k2 2k2-21+2k2所以 |AB|= = .1+k2 (x1+x2)2-4x1x222(1+k2)1+2k2设直线 MN 的方程为 y- =k(x+1),M(x3,y3),N(x4,y4),22由x22+y2=1,y- 22=k(x+1),消去 y,得(1 +2k2)x2+(4k2+2 k)x+(2k2+2 k-1)=0,因为 x3=-1,所以 x4
12、=- ,|MN|=2 22k2+22k-11+2k2|x3-x4|=1+k2.1+k2|22k-2|1+2k27因为四边形 MNBA 为平行四边形,所以 |AB|=|MN|,即 = ,k=- ,22(1+k2)1+2k2 1+k2|22k-2|1+2k2 24但是,直线 l 的方程 y=- (x-1),即 x+2 y-1=0 过点 M -1, ,即直线 AB 与直线 MN 重合,不24 2 22符合题意,所以直线 l 不存在 .6.解 (1)由题意,知 F1(- ,0),F2( ,0),根据椭圆定义得 |MF1|+|MF2|=2a,3 3所以 2a= + =4,( 3+ 3)2+(12-0)2
13、 ( 3- 3)2+(12-0)2所以 a2=4,b2=a2-c2=1,所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.x24(2)|OA|2+|OB|2为定值 .设直线 AB:y=kx+m(km0), A(x1,y1),B(x2,y2),由消去 y 得y=kx+m,x24+y2=1,(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,则 = (8km)2-16(m2-1)(4k2+1)0,x1+x2=- ,x1x2= ,8km1+4k2 4m2-41+4k2因为 k1k2=k2,所以 =k2,kx1+mx1 kx2+mx2即 km(x1+x2)+m2=0(m0),解得 k2= ,14所以 |OA|2+|OB|2= + + + = -2x1x2+2=5x21x22y21y2234(x1+x2)2所以 |OA|2+|OB|2=5.8
