1、1第 12 讲 万有引力与天体运动一、开普勒三定律1.开普勒第一定律:所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个 上 . 2.开普勒第二定律:对于每一个行星而言,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的 相等 . 3.开普勒第三定律:所有行星的轨道的 的三次方跟 的二次方的比值都相等 .二、万有引力定律1.内容:自然界中任何两个物体都互相吸引,引力的大小与物体的质量的乘积成 ,与它们之间距离的二次方成 . 2.公式: (其中引力常量 G=6.6710-11Nm2/kg2). 3.适用条件:公式适用于质点之间以及均匀球体之间的相互作用,对均匀球体来说, r 是两球心间的距离 .三、天
2、体运动问题的分析1.运动学分析:将天体或卫星的运动看成 运动 . 2.动力学分析:(1)由万有引力提供 ,即 F 向 =G =man=m =m 2r=m r. Mmr2 v2r (2T)2(2)在星球表面附近的物体所受的万有引力近似等于 ,即 G =mg(g 为星球表面Mmr2的重力加速度) . 【辨别明理】(1)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量 . ( )(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越小 . ( )(3)近地卫星距离地球最近,环绕速度最小 . ( )(4)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空 . ( )(5)极地卫星通过地球两极,且始终和地球某
3、一经线平面重合 . ( )(6)发射火星探测器的速度必须大于 11.2km/s. ( )2考点一 万有引力及其与重力的关系例 1(多选)设宇宙中某一小行星自转较快,但仍可近似看作质量分布均匀的球体,半径为 R.宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量,第一次在极点处,弹簧测力计的读数为 F1=F0;第二次在赤道处,弹簧测力计的读数为 F2= .假设第三次在赤道平面内深度F02为 的隧道底部,示数为 F3;第四次在距星表高度为 R 处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中,示R2数为 F4.已知均匀球壳对壳内物体的引力为零,则以下判断正确的是 ( )A.F3= B.F3=F04 15F04
4、C.F4=0 D.F4=F04题根分析1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力 F 表现为两个效果:一是重力 mg,二是提供物体随地球自转的向心力F 向 ,如图 12-1 所示 .图 12-1(1)在赤道处: G =mg1+m 2R.MmR2(2)在两极处: G =mg2.MmR2(3)在一般位置:万有引力 G 等于重力 mg 与向心力 F 向 的矢量和 .MmR2越靠近南、北两极, g 值越大 .由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即 G =mg.MmR22.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)在地球表面附近的重力加速度 g(不考虑地球自转):3mg
5、=G ,得 g= .MmR2 GMR2(2)在地球上空距离地心 r=R+h 处的重力加速度 g:mg=G ,得 g= ,Mm(R+h)2 GM(R+h)2所以 = .gg(R+h)2R2变式网络变式题 1(多选)火箭载着宇宙探测器飞向某行星,火箭内平台上还放有测试仪器,如图 12-2所示 .火箭从地面起飞时,以加速度 竖直向上做匀加速直线运动( g0为地面附近的重力加速g02度),已知地球半径为 R,升到某一高度时,测试仪器对平台的压力刚好是起飞时压力的 ,此1727时火箭离地面的高度为 h,所在位置重力加速度为 g,则 ( )图 12-2A.g= B.g=2g03 4g09C.h=R D.h
6、=R2变式题 2 假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体,一矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 ( )A.1- B.1+dR dRC. D.(R-dR)2 (RR-d)2变式题 3 假设地球可视为质量均匀分布的球体 .已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为 g,地球自转的周期为 T,引力常量为 G,则地球的密度为 ( )A.3(g0-g)GT2g04B.3g0GT2(g0-g)C.3GT2D.3g0GT2g考点二 天体质量及密度的计算(1)利用卫(行)星绕中心天体做匀速圆周运动求中心天体的质量计算天体的质
7、量和密度问题的关键是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周运动的向心力 .由 G =m r,解得 M= ;= = = ,R 为Mmr2 4 2T2 4 2r3GT2 MV M43 R33r3GT2R3中心天体的半径,若为近地卫星,则 R=r,有 = .由上式可知,只要用实验方法测出卫星(或3GT2行星)做圆周运动的半径 r 及运行周期 T,就可以算出中心天体的质量 M.若再知道中心天体的半径,则可算出中心天体的密度 .(2)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R,可得天体质量 M= ,天体密度 = = =gR2G MV M43 R3.3g4GR例 2
8、2017北京卷利用引力常量 G 和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是 ( )A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离变式题 1 我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务,进一步获取月球的相关数据 .该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时,经过时间 t,卫星的路程为 s,卫星与月球中心连线扫过的角度是 弧度,引力常量为 G,月球半径为 R,则可推知月球密度的表达式是 ( )A. B.3t24Gs3R3 4 R3Gt23s3C. D.3s
9、34 Gt2R3 4R3Gs33 t2变式题 2 已知“慧眼”卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道半径为 r,运动周期为 T,地球半径为 R,引力常量为 G,则下列说法正确的是 ( )A.“慧眼”卫星的向心加速度大小为4 2rT2B.地球的质量大小为4 2R3GT25C.地球表面的重力加速度大小为4 2RT2D.地球的平均密度大小为3GT2要点总结天体质量和密度的估算问题是高考命题热点,解答此类问题时,首先要掌握基本方法(两个等式: 由万有引力提供向心力; 天体表面物体受到的重力近似等于万有引力),其次是记住常见问题的结论,主要分两种情况:(1)利用卫星的轨道半径 r 和周期 T,可得中心天体的质
10、量 M= ,并据此进一步得到该天体的密度 = = = (R 为中心天体的半径),尤其注意4 2r3GT2 MV M43 R33r3GT2R3当 r=R 时, = .(2)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R,可得天体质量 M= ,天体3GT2 gR2G密度 = = = .MV M43 R3 3g4GR考点三 黑洞与多星系统1.双星系统系统可视天体绕黑洞做圆周运动黑洞与可视天体构成的双星系统两颗可视天体构成的双星系统图示向心力的来源黑洞对可视天体的万有引力彼此给对方的万有引力 彼此给对方的万有引力2.多星系统系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)四星系统图示向心力 另外两
11、星球对其万有 另外两星球对其万有 另外三星球对其万有引力的合力6的来源 引力的合力 引力的合力例 3 天文学家们推测,超大质量黑洞由另外两个超大质量黑洞融合时产生的引力波推射出该星系核心区域 .在变化过程中的某一阶段,两个黑洞逐渐融入到新合并的星系中央并绕对方旋转,这种富含能量的运动产生了引力波 .假设在合并前,两个黑洞互相绕转形成一个双星系统,如图 12-3 所示,若黑洞 A、 B 的总质量为 1.31032kg,球心间的距离为 2105m,产生的引力波周期和黑洞做圆周运动的周期相当,则估算该引力波周期的数量级为( G=6.6710-11Nm2/kg2) ( )图 12-3A.10-1s B
12、.10-2s C.10-3s D.10-4s变式题2018江西新余二模天文观测中观测到有三颗星位于边长为 l 的等边三角形三个顶点上,并沿等边三角形的外接圆做周期为 T 的匀速圆周运动 .已知引力常量为 G,不计其他星体对它们的影响,关于这个三星系统,下列说法正确的是 ( )图 12-4A.它们两两之间的万有引力大小为16 4l49GT4B.其中一颗星的质量为3GT24 2l3C.三颗星的质量可能不相等D.它们的线速度大小均为23 lT要点总结多星问题的解题技巧(1)挖掘一个隐含条件:在圆周上运动的天体的角速度(或周期)相等 .(2)重视向心力来源分析:双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,三星或多星做圆周运动的向心力往往是由多个星的万有引力的合力提供 .(3)区别两个长度关系:圆周运动的轨道半径和万有引力公式中两天体的距离是不同的,不能误认为一样 .7
