1、14.4 解三角形挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2016 天津,3利用余弦定理解三角形2015 天津,13利用余弦定理解三角形三角形面积公式1.正弦、余弦定理的应用1.理解正弦定理与余弦定理的推导过程2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2014 天津,122014 天津文,16正弦定理、余弦定理2.解三角形的综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2018 天津,152017 天津,15利用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等变换分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面
2、几何图形中有关量的问题时,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决实际生活中的相关问题.本节内容在高考中常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中.破考点【考点集训】考点一 正弦、余弦定理的应用1.在ABC 中,a=1,A= ,B= ,则 c=( ) 6 42A. B. C. D.6+ 22 6- 22 62 22答案 A 2.在ABC 中,A= ,BC=3,AB= ,则C= . 3 6答案 43.在ABC 中,a=2,c=4,且 3sinA=2sinB,
3、则 cosC= . 答案 -14考点二 解三角形的综合应用4.在ABC 中,a=1,b= ,且ABC 的面积为 ,则 c= . 732答案 2 或 2 35.在ABC 中,a=5,c=7,cosC= ,则 b= ,ABC 的面积为 . 15答案 6;6 66.在ABC 中,a=3,C= ,ABC 的面积为 ,则 b= ;c= . 23 334答案 1; 13炼技法【方法集训】方法 1 三角形形状的判断1.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 c-acosB=(2a-b)cosA,则ABC 的形状是( )A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直
4、角三角形答案 D 2.在ABC 中,若 = ,则ABC 的形状是( )tanAtanBa2b2A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.等腰三角形 D.不能确定答案 B 方法 2 解三角形的常见题型及求解方法3.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 A= ,a= ,b=1,则 c= . 3 3答案 234.(2014 课标,16,5 分)已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ABC 面积的最大值为 . 答案 35.在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos2
5、B+cosB=0.(1)求角 B 的值;(2)若 b= ,a+c=5,求ABC 的面积.7解析 (1)由已知得 2cos2B-1+cosB=0,即(2cosB-1)(cosB+1)=0.解得 cosB= 或 cosB=-1.12因为 0b,a=5,c=6,sinB= .35(1)求 b 和 sinA 的值;(2)求 sin 的值.(2A+ 4)解析 (1)在ABC 中,因为 ab,所以 AB,故由 sinB= ,可得 cosB= .由已知及余弦定理,有35 45b2=a2+c2-2accosB=13,所以 b= .13由正弦定理得 sinA= = .asinBb 31313所以,b 的值为 ,
6、sinA 的值为 .1331313(2)由(1)及 a0,所以 c=3.故ABC 的面积为 bcsinA= .12 332解法二:由正弦定理,得 = ,7sin 3 2sinB从而 sinB= ,217又由 ab,知 AB,所以 cosB= .277故 sinC=sin(A+B)=sin(B+ 3)10=sinBcos +cosBsin = . 3 332114所以ABC 的面积为 absinC= .12 3328.(2015 湖南,17,12 分)设ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btanA.(1)证明:sinB=cosA;(2)若 sinC-sinAcosB= ,
7、且 B 为钝角,求 A,B,C.34解析 (1)证明:由 a=btanA 及正弦定理,得 = = ,所以 sinB=cosA.sinAcosAabsinAsinB(2)因为 sinC-sinAcosB=sin180-(A+B)-sinAcosB=sin(A+B)-sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=cosAsinB,所以 cosAsinB= .34由(1)知 sinB=cosA,因此 sin2B= .34又 B 为钝角,所以 sinB= ,故 B=120.32由 cosA=sinB= 知 A=30.32从而 C=180-(A+B)=30.综上所述,A=30,
8、B=120,C=30.评析本题考查了正弦定理,三角恒等变换,考查了运算求解能力,熟练、准确地应用公式是求解关键.C 组 教师专用题组考点一 正弦、余弦定理的应用1.(2017 山东,9,5 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若ABC 为锐角三角形,且满足 sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( )A.a=2b B.b=2aC.A=2B D.B=2A答案 A 2.(2015 广东,11,5 分)设ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a= ,sinB= ,C= ,312 6则 b= . 答案 1113.
9、(2015 安徽,16,12 分)在ABC 中,A= ,AB=6,AC=3 ,点 D 在 BC 边上,AD=BD,求 AD 的34 2长.解析 设ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosBAC=(3 )2+62-23 6cos =18+36-(-36)=90,所2 234以 a=3 .10又由正弦定理得 sinB= = = ,bsinBACa 33101010由题意知 00,2cosB=-1,可得 cosB=- ,12B 是三角形的内角,即 B(0,),B= .23(2) sin cos -sin2 = ,3 (A2+ 6) (A2+
10、 6) (A2+ 6)1126 sin - = ,32 (A+ 3)12(1-cos(A+ 3)112616 sin +cos = ,3 (A+ 3) (A+ 3)2413sin = ,即 cosA= ,(A+ 3+ 6)1213 1213A 为三角形的内角,即 A(0,),sinA= = .1-cos2A513B= ,23cosC=cos =cos cosA+sin sinA= + = .( 3-A) 3 3 12 121332 51312+532615.(2018 天津耀华中学第一次月考,15)已知函数 f(x)=2sin2x-2sin2 ,xR.(x- 6)(1)求函数 y=f(x)的最
11、小正周期;(2)已知在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 b=3,c=4,f = ,求边(B2+ 6)b+c2aa 的值.解析 (1)f(x)=2sin 2x-2sin2(x- 6)=1-cos2x-1-cos2(x- 6)=cos -cos2x(2x- 3)= cos2x+ sin2x-cos2x12 32=sin ,(2x- 6)函数 y=f(x)的最小正周期 T= =.2(2)f = ,(B2+ 6)b+c2asin = ,即 sinB+ cosB= , asinB+acosB=b+c,(B+ 6)b+c2a 32 12 b+c2a 3由正弦定理可得 sinAsinB+sinAcosB=sinB+sinC,又3A+B+C=, sinAsinB=sinB+cosAsinB,3sinB0, sinA-cosA=1,即 sin = ,3 (A- 6)120A,- A- ,A- = ,A= , 6 656 6 6 3由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=9+16-234 =13,故 a= .12 13
