1、1第四节 导数与函数的极值、最值A 组 基础题组1.(2018 辽宁鞍山一中模拟)已知函数 f(x)=x3-3x-1,在区间-3,2上的最大值为 M,最小值为 N,则 M-N=( ) A.20 B.18 C.3 D.0答案 A f(x)=3x 2-3=3(x-1)(x+1),f(x)在(-,-1)和(1,+)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,又 f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,M=1,N=-19,M-N=1-(-19)=20,选 A.2.函数 f(x)=aex-sinx 在 x=0 处有极值,则 a 的值为( )A.-1 B.0 C.1 D.e答案 C f
2、(x)=ae x-cosx,若函数 f(x)=aex-sinx 在 x=0 处有极值,则 f(0)=a-1=0,解得 a=1,经检验a=1 符合题意,故选 C.3.从边长为 10cm16cm 的矩形纸板的四个角截去四个相同的小正方形,制作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( )A.12cm3 B.72cm3 C.144cm3D.160cm3答案 C 设盒子的容积为 ycm3,盒子的高为 xcm,则 x(0,5).则 y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,所以 y=12x2-104x+160.令 y=0,得 x=2 或 (舍去).203当 00,当 20;当 x=-
3、2 时,f(x)=0;当-22 时,f(x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值,在 x=2处取得极小值.5.若函数 f(x)= x3+x2- 在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数 a 的取值范围是( )13 23A.-5,0) B.(-5,0)C.-3,0) D.(-3,0)答案 C 由题意,f(x)=x 2+2x=x(x+2),故 f(x)在(-,-2),(0,+)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其大致图象如图所示,令 x3+x2- =- ,得 x=0 或 x=-3,则结合图象可知, 解得 a-3,0).13 23 23 -3 a0, 6.函数 y=xln
4、x 有极 值,为 . 答案 小;-1e解析 y=lnx+1(x0),当 y=0 时,x=e -1;当 y0 时,xe -1.y=xlnx 在(0,e -1)上是减函数,在(e -1,+)上是增函数.y=xlnx 有极小值,为 y =- .|x=e-11e7.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=- x3+81x-234,则使13该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件. 答案 9解析 y=-x 2+81,令 y=0,得 x=9 或 x=-9(舍去).当 00,函数单调递增;当 x9 时,y0.故 x=-2 是 g(x)的极小值点.当-21 时,g
5、(x)0,故 x=1 不是 g(x)的极值点.所以 g(x)的极小值点为 x=-2,无极大值点.10.(2019 山西长治期末)已知函数 f(x)=lnx- .ax(1)若 a0,试判断 f(x)在定义域内的单调性;(2)若 f(x)在1,e上的最小值为 ,求实数 a 的值.32解析 (1)由题意得 f(x)的定义域是(0,+),且 f(x)= ,因为 a0,所以 f(x)0,故 f(x)在(0,+)x+ax2上单调递增.(2)由(1)可得 f(x)= ,x+ax2若 a-1,则 x+a0,即 f(x)0 在1,e上恒成立,此时 f(x)在1,e上单调递增,所以 f(x)min=f(1)=-a
6、= ,所以 a=- (舍去).32 32若 a-e,则 x+a0,即 f(x)0 在1,e上恒成立,此时 f(x)在1,e上单调递减,所以 f(x)min=f(e)=1- = ,ae324所以 a=- (舍去).e2若-e0,所以 f(x)在(-a,e)上单调递增,所以 f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= ,32所以 a=- ,e综上,a=- .eB 组 提升题组1.已知函数 f(x)= -k ,若 x=2 是函数 f(x)的唯一一个极值点 ,则实数 k 的取值范围为( )exx2 (2x+lnx)A.(-,e B.0,eC.(-,e) D.0,e)答案 A f(x)= -k =
7、(x0).设 g(x)= ,则 g(x)= ,则 g(x)在(0,1)内x2ex-2xexx4 (-2x2+1x)(x-2)(exx-k)x2 exx (x-1)exx2单调递减,在(1,+)内单调递增.g(x)在(0,+)上有最小值,为 g(1)=e,结合 g(x)= 与 y=k 的图象可知,要满足题意,只需 ke,故选 A.exx2.(2018 课标全国,16,5 分)已知函数 f(x)=2sinx+sin2x,则 f(x)的最小值是 . 答案 -332解析 解法一:由 f(x)=2sinx+sin2x,得 f(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2,令 f(x)=0
8、,得 cosx= 或12cosx=-1,可得当 cosx 时,f(x)0,f(x)为增函数,(-1,12) (12,1)所以当 cosx= 时,f(x)取最小值,此时 sinx= .又因为 f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),12 321+cosx0 恒成立,f(x)取最小值时,sinx=- ,f(x) min=2 =- .32 (- 32) (1+12) 332解法二:f(x)=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),f 2(x)=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3.令 cosx=
9、t,t-1,1,设 g(t)=4(1-t)(1+t)3,5g(t)=-4(1+t) 3+12(1+t)2(1-t)=4(1+t)2(2-4t).当 t 时,g(t)0,g(t)为增函数;(-1,12)当 t 时,g(t)2 时,f(x)0,即 f(x)单调递增.所以 f(x)只有极小值,且在 x=2 时,f(x)取得极小值 f(2)=4-4ln2.所以当 a=-4 时,f(x)只有极小值 4-4ln2,无极大值.(2)因为 f(x)= ,所以当 a0,x(0,+)时,f(x)0,即 f(x)在(0,+)上单调递增,没有最小值.a+2xx当 a0,得 x- ,所以 f(x)在 上单调递增;a2 (-a2,+ )由 f(x)1,所以当 x 时,p(x)0,34 2, 所以 p(x)在 上单调递增, 2, 因为 p =- 0,( 2) 2所以 p(x)在 上存在唯一零点,记为 . 2, 又由(1)知,当 x 时,p(x)0.所以当 x0,时,f(x)有唯一极值点 , 为极小值点.
