1、1第 11 讲 函数与方程1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 y=f(x)(x D),把使 的实数 x 叫作函数 y=f(x)(x D)的零点 . (2)等价关系方程 f(x)=0 有实数根函数 y=f(x)的图像与 有交点 函数 y=f(x)有 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y=f(x)在区间 a,b上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间 内有零点,即存在 c( a,b),使得 ,这个 也就是方程 f(x)=0 的根 . 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图像与零点的关系 0 = 0 0)的图像与 x 轴的交点无交点零点个数
2、 常用结论1.在区间 D 上单调的函数在该区间内至多有一个零点 .2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点 .2题组一 常识题1.教材改编 函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点的个数是 . 2.教材改编 如果函数 f(x)=ex-1+4x-4 的零点在区间( n,n+1)(n 为整数)内,则 n= . 3.教材改编 函数 f(x)=x3-2x2+x 的零点是 . 4.教材改编 若函数 f(x)=x2-4x+a 存在两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 .题组二 常错题索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在 R 上无零点的充要条件(判别式小于零) .5
3、.函数 f(x)=x+ 的零点个数是 . 1x6.函数 f(x)=x2-3x 的零点是 . 7.若二次函数 f(x)=x2-2x+m 在区间(0,4)上存在零点,则实数 m 的取值范围是 . 8.若二次函数 f(x)=x2+kx+k 在 R 上无零点,则实数 k 的取值范围是 . 探究点一 函数零点所在区间的判断例 1 (1)函数 f(x)=ex-x-2 在下列哪个区间上必有零点 ( )A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3) (2)已知函数 f(x)=lg x+ x-5 在区间( n,n+1)(nZ)上存在零点,则 n= . 54总结反思 判断函数零点所在区间的方法:(
4、1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与 x 轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断 .变式题 2018南昌模拟 函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的区间为( )2x23A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)探究点二 函数零点个数的讨论例 2 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f - +x =f ,当 x 时, f(x)32 (32+x) (0,32)=ln(x2-x+1),则函数 f(x)在区间0,6上的零点个数是 ( )A.3 B.5 C.7
5、 D.9(2)2018河南中原名校模拟 函数 f(x)=sin 2x+ -log3 x 的零点个数为 . 2总结反思 函数零点个数的讨论,基本解法有:(1)直接法,令 f(x)=0,有多少个解则有多少个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图像法,一般是把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数 .变式题 (1)2018重庆巴蜀中学月考 函数 f(x)= -2e-x的零点个数为 ( )3xA.0 B.1 C.2 D.3(2)已知函数 f(x)= 则函数 g(x)=f(x)2-3f(x)+2 的零点个数为 . lnx,x0,ex,x 0
6、,探究点三 函数零点的应用例 3 (1)设函数 f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数 a,b 满足 f(a)=g(b)=0,则 ( )A.f(b)1,2-ex,x 1,m(x-1)有两个零点,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(-2,0) B.(-1,0)C.(-2,0)(0, + ) D.(-1,0)(0, + )总结反思 函数零点的应用主要体现在三类问题中:一是函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;三4是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题 .这三类问题一般是通过数形结合或分
7、离参数求解 .变式题 (1)2018山东、湖北部分重点中学二模 若函数 f(x)=cos x+2|cos x|-m,x0,2恰有两个零点,则 m 的取值范围为 ( )A.(0,1 B.1C.0(1,3 D.0,3(2)若 x1,x2分别是函数 f(x)=x-2-x,g(x)=xlog2x-1 的零点,则下列结论成立的是 ( )A.x1=x2 B.x1x2C.x1+x2=1 D.x1x2=1第 11 讲 函数与方程考试说明 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数 .【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)f(x)=0 (2)x 轴 零点 (3)f(a)f
8、(b)0,故存在唯一零点 .2.0 解析 函数 f(x)单调递增,且 f(0)0,故其零点在区间(0,1)内,则 n=0.53.0,1 解析 由 f(x)=x3-2x2+x=0,解得 x1=0,x2=1,所以函数的零点是 0,1.4.(- ,4) 解析 = 16-4a0,解得 a0 时, f(x)0,当 x0 即可,即 -1+m0 且 8+m0,解得 -80,故选 C.1e(2)f(x)=lg x+ x-5 是定义在(0, + )上的增函数,54根据零点存在性定理,可得 因为 f(1)= -50. 54 52 1545=lg 40,所以函数 f(x)在(3,4)上存在零点,故 n=3.变式题
9、B 解析 f(x)=ln(x+1)- 在(0, + )上单调递增,且 f(1)=ln 2-20,则 f(1)f(2)0)图像的交点个数,利用数形结合可得结果 .(1)D (2)6 解析 (1) f (x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f =f ,f(-32+x) (32+x)- +x+ =f +x+ ,可得 f(x+3)=f(x),32 32 32 32则函数 f(x)的周期为 3.当 x 时, f(x)=ln(x2-x+1),(0,32)6令 f(x)=0,则 x2-x+1=1,解得 x=0(舍去)或 1,又 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, 在区间 上,有 f(-1)=-f(1
10、)=0,f(0)=0.(-32,32)由 f =f ,取 x=0,得 f =f ,又 f =-f ,f =f =0,(-32+x) (32+x) (-32) (32) (32) (-32) (32) (-32)f =f(-1)=f(0)=f(1)=f =0.(-32) (32)又 函数 f(x)是周期为 3 的周期函数, 函数 f(x)在区间0,6上的零点有 0,1, ,2,3,4, ,5,6,共 9 个 .32 92(2)函数 f(x)=sin -log3 x=cos 2x-log3 x 的零点个数就是 y=log3 x 与 y=cos (2x+ 2)2x(x0)图像的交点个数 .在同一坐标
11、系内作出 y=log3 x 与 y=cos 2x(x0)的图像,如图,由图可知, y=log3 x 与 y=cos 2x(x0)的图像有 6 个交点,所以函数 f(x)=sin -log3 x 的零点个数为 6.(2x+ 2)变式题 (1)B (2)3 解析 (1) y= 单调递增, y=-2e-x单调递增,3xf (x)= -2e-x单调递增 .3xf (0)=-20,2e8 由零点存在性定理可得, f(x)= -2e-x的零点个数为 1,故选 B.3x(2)函数 g(x)=f(x)2-3f(x)+2 的零点个数即为方程 f(x)2-3f(x)+2=0 的解的个数,解方程得 f(x)=1 或
12、 f(x)=2.由 f(x)=1 得 ln x=1(x0)或 ex=1(x0),解得 x=e 或 x=0;同理,由f(x)=2 得 ln x=2(x0)或 ex=2(x0),解得 x=e2.所以函数 g(x)共有 3 个零点 .例 3 思路点拨 (1)首先确定函数 f(x)和 g(x)的单调性,然后结合函数的性质计算即可;(2)先转化为函数 y=f(x)的图像与 y=m(x-1)的图像有且仅有两个交点,数形结合即可得答案 .(1)B (2)D 解析 (1)易知 f(x)是增函数, g(x)在(0, + )上也是增函数 .由于 f(0)=-10,所以 00,所以 1f(1)0,g(a)0 时,满
13、足条件;当 m=-1 时,直线 y=m(x-1)与 y=2-ex(x1)的图像相切,可得当 -10)与曲线 y=log2x 交点的横坐标 . 1x因为曲线 y= 关于直线 y=x 对称,1x8且曲线 y=2x与曲线 y=log2x 关于直线 y=x 对称,所以点 与点 关于直线 y=x 对称,(x1,1x1) (x2,1x2)所以 =-1,1x2-1x1x2-x1可得 x1x2=1,故选 D.【备选理由】 例 1 考查将函数的零点问题转化为两函数图像的交点问题,通过分析交点横坐标得零点所在区间;例 2 结合函数的奇偶性、周期性,考查函数的零点个数,需要数形结合处理,综合性强;例 3 为有关方程
14、的解的问题,考查换元法、数形结合思想等 .例 1 配合例 1 使用 2018运城二模 已知 x0是函数 f(x)=2sin x-ln x(x(0,)的零点,则 ( )A.x0(0,1) B.x0(1,e)C.x0(e,3) D.x0(e,)解析 B 设 h(x)=2sin x(x(0,), g(x)=ln x(x(0,),则 g(1)=0,g(e)= 2,作出函数 h(x)与 g(x)的图像(图略)可知,交点在区间(1,e)内,即 x0(1,e) .例 2 配合例 2 使用 2018茂名模拟 已知定义在 R 上的函数 y=f(x+2)的图像关于直线 x=-2 对称,且函数 f(x+1)是偶函数
15、 .若当 x0,1时, f(x)=sin x,则函数 g(x)=f(x)-e- 2|x|在区间 -2018,2018上的零点个数为 ( )A.2017 B.2018C.4034 D.4036解析 D 函数 g(x)=f(x)-e-|x|在区间 -2018,2018上的零点个数,就是 y=f(x)的图像与y=e-|x|的图像在区间 -2018,2018上的交点个数 . 函数 y=f(x+2)的图像关于直线 x=-2 对称, 函数 y=f(x)的图像的对称轴为直线 x=0,故 y=f(x)是偶函数,即 f(-x)=f(x).又函数 f(x+1)是偶函数,f (x+1)=f(-x+1),故 f(x+
16、2)=f(-x)=f(x),9 函数 f(x)是周期为 2 的偶函数 .又当 x0,1时, f(x)=sin x,画出 y=f(x)与 y= 的部分图像如图所示, 2 (1e)|x|由图像可知,在每个周期内两函数的图像有 2 个交点, 函数 g(x)=f(x)-e-|x|在区间 -2018,2018上的零点个数为 20182=4036.故选 D.例 3 配合例 3 使用 函数 y=g(x)(xR)的图像如图所示,若关于 x 的方程 g(x)2+mg(x)+2m+3=0 有三个不同的实数解,则 m 的取值范围是 . 答案 (-32,-43解析 设 g(x)=t, 关于 x 的方程 g(x)2+mg(x)+2m+3=0 有三个不同的实数解, 关于 t 的方程 t2+mt+2m+3=0 有两个实数根,且一个在(0,1)上,一个在1, + )上 .设 h(t)=t2+mt+2m+3, 当有一个根为 1 时, h(1)=1+m+2m+3=0,解得 m=- ,此时另一个根为 ,符合题意;43 13 当没有根为 1 时,则 解得 - 0,h(1)=1+m+2m+30, 32 43综上可得, m 的取值范围是 .(-32,-43
