1、1考点规范练 13 万有引力定律及其应用一、单项选择题1.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程,下列说法正确的是( )A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律B.开普勒指出,地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度,对万有引力定律进行了“月地检验”D.卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量,得出了引力常量的数值答案 D解析 开普勒对天体的运行做了多年的研究,最终得出了行星运行三大定律,故 A 错误;牛顿认为行星绕太阳运动是因为受到太阳的引力作用,引力大小与行星到太阳的距离的二次方成反比,故 B 错误
2、;牛顿通过比较月球公转的周期,根据万有引力充当向心力,对万有引力定律进行了“月地检验”,故C 错误;牛顿发现了万有引力定律之后,第一次通过实验准确地测出万有引力常量的科学家是卡文迪许,故 D 正确。2.静止在地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动,下列说法正确的是( )A.物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心B.物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等C.物体做匀速圆周运动的加速度等于重力加速度D.物体对地面压力的方向与万有引力的方向总是相同答案 B解析 物体受到的万有引力和支持力的合力提供物体随地球运动的向心力,指向物体随地球做圆周运动的轨道的圆心,不一定是地心,所以 A 错;物体随
3、地球自转,所以周期一定等于地球自转周期,B 对;圆周运动的加速度和重力加速度只有在赤道上时方向相同,所以 C 错;物体受到的万有引力和物体对地面的压力只有在南北极和赤道上方向相同,所以 D 错。23.嫦娥三号携带玉兔号月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察,并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。玉兔号在地球表面的重力为 G1,在月球表面的重力为 G2;地球与月球均视为球体,其半径分别为 R1、 R2;地球表面重力加速度为 g。则( )A.月球表面的重力加速度为G1gG2B.地球与月球的质量之比为G2R22G1R12C.月球与地球的第一宇宙速度之比为G1R1G2R2D.嫦娥三号环绕月球表面做匀
4、速圆周运动的周期为 2G1R2G2g答案 D解析 玉兔号的质量为 m= ,所以月球表面的重力加速度为 g= ,A 错误;根据黄金代换公式G1g G2m=gG2G1GM=gR2,可得 ,B 错误;第一宇宙速度 v= ,所以在月球上与地球上的第一宇宙速度M地M月 =gR12gR22=G1R12G2R22 gR之比为 ,C 错误;根据万有引力 G =m r,嫦娥三号环绕月球表面做匀速圆周运动,所以轨v2v1= G2R2G1R1 Mmr2 4 2T2道半径等于月球半径 R2,代入得 T=2 ,D 正确。G1R2G2g4.若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体,它
5、们在水平方向运动的距离之比为 2 。已知该行星质量约为地球的 7 倍,地球的半径为 R。由此可7知,该行星的半径约为( )A. R B. R C.2R D. R12 72 72答案 C解析 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动,即 x=v0t,在竖直方向上做自由落体运动,即 h= gt2,所12以 x=v0 ,两种情况下,抛出的速率相同,高度相同,所以 ,根据公式 G =mg 可得 g= ,故2hg g行g地 =74 MmR2 GMR2,解得 R 行 =2R,故 C 正确。g行g地 =M行R行 2M地R地 2=7435.过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“51 peg b”
6、的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为 4 天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 。则该中心恒星与太阳的质量比约为 ( )120A. B.1 C.5 D.10110答案 B解析 行星绕中心恒星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,由万有引力提供向心力得 G =m r,则Mmr2 4 2T2= 3 2= 3 21,选项 B 正确。M1M2 r1r2 T2T1 120 36546.(2018河南洛阳期中)理论上认为质量分布均匀的球壳对球壳内的物体的万有引力为零,如图所示,一半径为 R、质量分布均匀的实心球, O 为球心,以 O 点为原点建立坐标轴
7、 Ox。质量一定的小物块(可视为质点)沿坐标 Ox 运动,则小物体在坐标 x1= R 与 x2= R 处所受到实心球对它的万有引力分12 32别为 F1、 F2,则 F1、 F2的比值为( )A.98 B.89C.19 D.9 1答案 A解析 设地球的密度为 ,地球的质量为 M,则有 M= R3。43在 x1= R 处,小物块受到的引力为 F1= ,其中 M= ,可得 F1= ;在 x2= R 处,小物块12 GMm(R2)2 43 (R2)3 GMm2R2 32受到的引力为 F2= ,所以 F1F 2=9 8,故 A 正确,B、C、D 错误。GMm(3R2)27.假设地球可视为质量分布均匀的
8、球体,已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0,在赤道的大小为 g;地球自转的周期为 T,引力常量为 G。则地球的密度为( )A. B.3 (g0-g)g0GT2 3 g0GT2(g0-g)C. D.3GT2 3 g0gGT24答案 B解析 在地球两极万有引力等于重力,即 mg0=G ,由此可得地球质量 M= 。在赤道处万有引力与支持MmR2 g0R2G力的合力提供向心力,由牛顿第二定律得 G -mg=m R,而密度公式 = ,= ,故 BMmR2 4 2T2 MV g0R2G43 R3= 3 g0GT2(g0-g)正确。8.(2018安徽安庆期末)金星是天空中较亮的星,其大小、质量、密度都
9、与地球非常接近,其半径约为地球半径的 0.95,质量约为地球质量的 0.82,而且两者几乎都由同一星云同时形成,天文学家将它们当作姐妹行星。金星绕太阳运行的轨道在地球绕太阳运行的轨道以内。关于地球和金星(行星的运动近似看作匀速圆周运动),下列说法正确的是( )A.金星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度B.金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期C.金星做匀速圆周运动的加速度小于地球做匀速圆周运动的加速度D.金星做匀速圆周运动的线速度小于地球做匀速圆周运动的线速度答案 B解析 由 ,得行星的第一宇宙速度表达式 v= ,已知金星半径约为地球半径的 0.95、质量约GMmR2=mv2R GMR
10、为地球质量的 0.82,则 =0.93,金星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙v1v2= GM1R1GM2R2=M1M2R2R1= 0.820.95速度,故 A 错误;因为金星半径 r 金 小于地球半径 r 地 ,根据开普勒第三定律 ,可知金星绕太r金 3T金 2=r地 3T地 2阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期,故 B 正确;根据万有引力定律 G =ma,可得 a= ,G 和太M太 mr2 GM太r2阳质量 M 太 均为定值,故 r 越大向心加速度越小,故金星做匀速圆周运动的加速度大于地球做匀速圆周运动的加速度,故 C 错误;根据万有引力定律 G =m ,可得 v= ,G 和太阳质量 M
11、太 均为定值,M太 mr2 v2r GM太r故 r 越大线速度越小,故金星做匀速圆周运动的线速度大于地球做匀速圆周运动的线速度,故 D 错误。二、多项选择题59.(2018河南许昌期末)由多颗星体构成的系统,叫作多星系统。有这样一种简单的四星系统:质量刚好都相等的四个星体 A、 B、 C、 D,A、 B、 C 分别位于等边三角形的三个顶点上, D 位于等边三角形的中心。在四者相互之间的万有引力作用下, D 静止不动, A、 B、 C 绕共同的圆心 D 在等边三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动。若四个星体的质量均为 m,三角形的边长为 a,引力常量为 G,则下列说法正确的是( )A.A、 B
12、、 C 三个星体做圆周运动的半径均为 a32B.A、 B 两个星体之间的万有引力大小为Gm2a2C.A、 B、 C 三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为(3+3)Gma2D.A、 B、 C 三个星体做圆周运动的周期均为 2 aa(3+ 3)Gm答案 BC解析 由几何关系知,它们的轨道半径为 r= a,故 A 错误;根据万有引力定律可得 A、 B 两个星a232= 33体之间的万有引力大小为 F=G ,故 B 正确;设向心加速度为 a0,其中一颗星受到其他两颗星的万有引m2a2力的合力与中间 D 星给的万有引力的合力提供向心力, F=G =ma0,轨道半径为 r= a,联立m2r2+ 3Gm2
13、a2 33可得向心加速度大小 a0= ,故 C 正确;万有引力的合力提供向心力, F=G =m r,联(3+3)Gma2 m2r2+ 3Gm2a2 4 2T2立可得三个星体做圆周运动的周期 T=2 a ,故 D 错误。a3(1+ 3)Gm10.6如图所示,两星球相距为 l,质量之比为 mAm B=1 9,两星球半径远小于 l。沿 A、 B 连线从星球 A向 B 以某一初速度发射一探测器,只考虑星球 A、 B 对探测器的作用。下列说法正确的是( )A.探测器的速度一直减小B.探测器在距星球 A 为 处加速度为零l4C.若探测器能到达星球 B,其速度可能恰好为零D.若探测器能到达星球 B,其速度一
14、定大于发射时的初速度答案 BD解析 设探测器距星球 A 的距离为 x 时,两星球对探测器的引力相等,即 G =G ,解得 x= l,根据mAmx2 mBm(l-x)2 14牛顿第二定律可得,此时探测器的加速度为零,选项 B 正确;探测器先减速后加速,故选项 A、C 错误,选项 D 正确。11.经长期观测,人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成,每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离,而且双星系统一般远离其他天体。如图所示,两颗星球组成的双星,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为 l,质量之比为 m1m
15、 2=2 3,下列说法正确的是( )A.m1、 m2做圆周运动的线速度之比为 3 2B.m1、 m2做圆周运动的角速度之比为 3 2C.m1做圆周运动的半径为2l5D.m2做圆周运动的半径为2l5答案 AD7解析 双星相互间的万有引力提供向心力,角速度相等,根据 =m1r1 2, =m2r2 2知, m1r1=m2r2,Gm1m2l2 Gm1m2l2得 r1r 2=m2m 1=3 2,则 m1做圆周运动的半径为 l,m2做圆周运动的半径为 l,故 B、C 错误,D 正确;根35 25据 v=r 知,线速度之比为 3 2,故 A 正确。三、计算题12.宇航员到达某星球后,试图通过相关测量估测该星
16、球的半径。他在该星球上取得一矿石,测得其质量为 m0,体积为 V0,重力为 G0,若所取矿石密度等于该星球的平均密度,引力常量为 G,该星球视为球形,请用以上物理量推导该星球半径的表达式。 球体体积公式为 V= R3,式中 R 为球体半径43答案 R=3G0V04 Gm02解析 设矿石的密度为 0,由题意易知 0=m0V0该星球表面的重力加速度 g=G0m0在该星球表面,万有引力等于重力 G =m0gMm0R2该星球的平均密度为 = ,据题意有 = 0,V= R3MV 43联立以上各式解得 R= 。3G0V04 Gm0213.如图所示, P、 Q 为某地区水平地面上的两点,在 P 点正下方一球
17、形区域内储藏有石油,假定区域周围岩石均匀分布,密度为 ;石油密度远小于 ,可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向(即 PO 方向)上的投影相对于正常值的偏离叫作“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量,常会利用到 P 点附近重力加速度的反常现象。已知引力常量为 G。8(1)设球形空腔体积为 V,球心深度为 d(远小于地球半径), =x,求空腔所引起的 Q 点处的重力加速PQ度反常。(2)若在水平地面上半径为 l 的范围内发现,重力加速度反常值在 与
18、k (k1)之间变化,且重力加速度的最大值出现在半径为 l 的范围的中心。如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。答案 (1) (2)GVd(d2+x2)32 lk23-1 l2kG(k23-1)解析 (1)如果将近地表的球形空腔填满密度为 的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值。因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算, G =m g Mmr2式中 m 是 Q 点处某质点的质量, M 是填充后球形区域的质量, M=V 而 r 是球形空腔中心 O 至 Q 点的距离 r= d2+x2 g 在数值上等于由于存在球形空腔所引起的 Q 点处重力加速度改变的大小。 Q 点处重力加速度改变的方向沿 OQ 方向,重力加速度反常 g是这一改变在竖直方向上的投影 g= g dr联立 式得 g= 。 GVd(d2+x2)32(2)通过分析可知,重力加速度反常 g的最大值出现在空腔的上方, g的最小值出现在半径为 L 的圆周上。由 式得,重力加速度反常 g的最大值和最小值分别为( g)max= GVd2( g)min= GVd(d2+l2)32又因为( g)max=k ,( g)min= 联立 式得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为 d=lk23-1V= 。l2kG(k23-1)
