1、第 十七章 勾股定理,数学8年级下册 R,17.1 勾股定理,相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C面积之间的数量关系进而发现直角三角形三边的某种数量关系,我们也来观察右图中的地面，你也能发现A、B、C面积之间有什么数量关系吗？,课前导入,1、你曾见过这个图案吗?,活动1 欣赏图片了解历史,赵爽弦图,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称之为“赵爽弦图”,学习新知,2、你听说过“勾股定理”吗？,如：勾三，股四，弦五,在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。,对于等腰直角三角形有这
2、样的性质：两直边的平方和等于斜边的平方.,那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？,请大家画一个任意的直角三角形，量一量，算一算。,命题：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。,图2,图3,4,9,13,9,25,34,sA+sB=sC,两直角边的平方和 等于斜边的平方,探究：你会求出图形的面积吗？,两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨它的证明，因此不断涌现新的证法。下面我们一起学习几种证明勾股定理的方法。,勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
3、a2+b2=c2,赵爽的“弦图”,早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用左边的图形验证了“勾股定理”。 在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.,思考:你能验证吗？,赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实。加差实，亦成弦实。,赵爽弦图,朱实,朱实,朱实,C,朱实,C2=,(2,ab）,+,(a-b)2,a2+b2,=,2 ,知识拓展,(4),(3),(2),(1),(a-b)2,(a-b)2,=,a2+b22ab = c22ab,b,c,a,这四个直角三角形还能怎样拼？,证法一,想一想,
4、大正方形的面积该怎样表示?,(a+b)2,=,a2 + b2 + 2ab = c2+2ab,可得: a2 + b2 = c2,证法二, a2 + b2 = c2,a2,b2,a2,c2,毕达哥拉斯证法,证 法 三,你还想知道勾股定理的其它证法吗？ 请上网查询，你一定会有精彩的发现。若你再能写一点有关勾股定理的小文章，那就更漂亮了。,例：(教材例1)一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?,解:如图所示,在RtABC中,根据勾股定理,得AC2=AB2+BC2=12+22=5. AC= 2.24. 因为AC大于木板的宽2.2 m,所以木板能从门框内
5、通过.,解题策略 在遇到木板进门或将物体放入立体图形内的问题,常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断是否可以通过(放入).,例：如图所示,一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B也外移0.5 m吗?,解:可以看出,BD=OD-OB. 在RtAOB中,根据勾股定理,得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,OB= =1. 在RtCOD中,根据勾股定理,得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,OD= 1.77. BD=OD-OB1.77-1=0.7
6、7. 所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时,梯子底端并不是也外移0.5 m,而是外移约0.77 m.,解题策略已知直角三角形的两边长,可以根据勾股定理求出第三边长.已知直角三角形的一边长及两边之间的关系,也可以求出各边长.在求锐角三角形或钝角三角形的边长时,可以将其转化为直角三角形,应用勾股定理求解.,定理：经过证明被确认为正确的命题叫做 定理。,勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 分别为a、，斜边为，那么 a 2 +b2 =c2 。,如图，在RtABC中，C=90，则 a 2 +b2 =c2,常用的勾股数：3，4，5；,5，12，13；,6，8，10；,7，24，25。,勾股定理的各种表达式
7、：,在RtABC中，C=90, A 、B、 C的对边分别为a 、b 、c ,则:,c2=a2+b2 a2=c2-b2 b2=c2-a2,c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2,c=,a=,b=,“赵爽弦图”表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理。,（1） 在直角三角形中，两条直角边分别为a,b, 斜边为c，则c2=_ .,a2+b2,（2） 在RtABC中C=90,若a=4,b=3,则c=_; 若c=13,b=
8、5,则a=_; 若 c=17,a=8,则b=_.,5,12,15,一 填空题：,检测反馈,（3）等边三角形的边长为12，则它的高为_.,（4）在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么 另一边为_.,5或,二 选择题：,如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ，那么直角三角形的其它两边长是（ ） A. 1， B. 1,3 C. 1， D. 1,5,如图，在RtABC中，C=90, B=45,AC =1,则AB= ( ) A. 2 B . 1 C. D.,A,C,A,B,C,（3）一个正方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，那么它的宽是 （ ） A. B. C. D. ,B,（4） 直角
9、三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 （ ） A.6厘米 B. 8厘米 C. 80/13厘米 D. 60/13厘米,D,D,A,2、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）,G,F,E,某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来10米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火?,应用举例,解:如图,在RtABC中，C=90, AC=9米 , BC=2.5米,则AB= 9.3 因为10米大于9.3米 所以消防队能进入三楼灭火,1）本节课我们学习了什么?,3）了解用面积法证明勾股定理,勾股定理,2）利用勾股定理，,已知直角三角形,的某两边长，会根据条件求另一边,课堂小结,
